Cách nhân phân số.
Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.
$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}.$
Ví dụ 1: Tính:
a) $\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{7}{3}.$
b) $\dfrac{-7}{9}\cdot\dfrac{2}{3}.$
Giải:
a) $\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{7}{3}=\dfrac{2\cdot 7}{5\cdot 3}=\dfrac{14}{15}.$
b) $\dfrac{-7}{9}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{(-7)\cdot 2}{9\cdot 3}=\dfrac{-14}{27}.$
Ví dụ 2: Tính diện tích một hình chữ nhật có chiều dài là $\dfrac{1}{4}$ km và chiều rộng là $\dfrac{1}{8}$ km.
Giải:
Ta cần tính: $\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{8}$ $=\dfrac{1\cdot 1}{4\cdot 8}$ $=\dfrac{1}{32}.$
Vậy diện tích hình chữ nhật đó là $\dfrac{1}{32}$ km2.
Ta có: $m\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{m}{1}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{m\cdot c}{d}$ (trong đó, $m,c,d\in\mathbb{Z}$ và $d\neq 0).$
Từ đó ta rút ra quy tắc nhân một số nguyên với một phân số:
Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu của phân số đó.
Chẳng hạn:
+) $7\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{7\cdot 5}{6\cdot 5}=\dfrac{35}{30};$
+) $\dfrac{-13}{5}\cdot(-11)=\dfrac{(-13)\cdot(-11)}{5}=\dfrac{141}{5}.$
Ví dụ 3: Nước khoáng thường được đóng chai với thể tích mỗi chai là $\dfrac{1}{2}$ lít nước. Hỏi $6$ chai nước khoáng như vậy chứa bao nhiêu lít nước?
Giải:
Ta cần tính: $6\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{6\cdot 1}{2}=\dfrac{6}{2}=3.$
Vậy $6$ chai nước khoáng như vậy chứa $3$ lít nước.
Cách chia phân số.
Phân số nghịch đảo.
Phân số nghịch đảo của phân số $\dfrac{a}{b}$ là phân số $\dfrac{b}{a}$ (với $a,b$ là các số nguyên khác $0).$
Chẳng hạn: phân số nghịch đảo của $\dfrac{4}{-7}$ là $\dfrac{-7}{4}.$
Ta có: $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}=\dfrac{ab}{ba}=1.$
Vậy tích của một phân số với phân số nghịch đảo của nó thì bằng $1.$
Ví dụ 4: Tìm phân số nghịch đảo của mỗi phân số sau:
a) $\dfrac{3}{20}.$
b) $\dfrac{-79}{5}.$
c) $\dfrac{11}{-3}.$
Giải:
a) Phân số nghịch đảo của $\dfrac{3}{20}$ là $\dfrac{20}{3}.$
b) Phân số nghịch đảo của $\dfrac{-79}{5}$ là $\dfrac{5}{-79}.$
c) Phân số nghịch đảo của $\dfrac{11}{-3}$ là $\dfrac{-3}{11}.$
Cách chia phân số.
Muốn chia một phân số cho một phân số khác $0,$ ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia.
$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}.$
Nhận xét: Mọi phép chia phân số đều có thể chuyển thành phép nhân phân số nhờ quy tắc vừa nêu.
Ví dụ 5: Tính:
a) $\dfrac{2}{3}:\dfrac{5}{6}.$
b) $\dfrac{-6}{5}:\dfrac{4}{3}.$
c) $\dfrac{-5}{6}:\dfrac{-7}{8}.$
Giải:
a) $\dfrac{2}{3}:\dfrac{5}{6}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{6}{5}$ $=\dfrac{2\cdot 6}{3\cdot 5}$ $=\dfrac{12}{15}$ $=\dfrac{4}{5}.$
b) $\dfrac{-6}{5}:\dfrac{4}{3}$ $=\dfrac{-6}{5}\cdot\dfrac{3}{4}$ $=\dfrac{(-6)\cdot 3}{5\cdot 4}$ $=\dfrac{-18}{20}$ $=\dfrac{-9}{10}.$
c) $\dfrac{-5}{6}:\dfrac{-7}{8}$ $=\dfrac{-5}{6}\cdot\dfrac{8}{-7}$ $=\dfrac{(-5)\cdot 8}{6\cdot(-7)}$ $=\dfrac{-40}{-42}$ $=\dfrac{20}{21}.$
Ta thực hiện phép chia giữa phân số với số nguyên bằng cách viết số nguyên dưới dạng phân số.
Ví dụ 6: Tính:
a) $\dfrac{9}{-13}:3.$
b) $(-28):\dfrac{-7}{5}.$
Giải:
a) $\dfrac{9}{-13}:3=\dfrac{9}{-13}:\dfrac{3}{1}$ $=\dfrac{9}{-13}\cdot\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{9\cdot 1}{(-13)\cdot 3}$ $=\dfrac{9}{-39}$ $=\dfrac{-3}{13}.$
b) $(-28):\dfrac{-7}{5}=\dfrac{-28}{1}:\dfrac{-7}{5}$ $=\dfrac{-28}{1}\cdot\dfrac{5}{-7}$ $=\dfrac{(-28)\cdot 5}{1\cdot(-7)}$ $=\dfrac{-140}{-7}$ $=20.$
Ví dụ 7: Tìm $x,$ biết:
a) $\dfrac{4}{3}\cdot x=\dfrac{-2}{7}.$
b) $\dfrac{18}{-5} : x=\dfrac{-9}{10}.$
c) $x:\dfrac{6}{19}=\dfrac{1}{12}.$
Giải:
a) $x=\dfrac{-2}{7}:\dfrac{4}{3}$ $=\dfrac{-2}{7}\cdot\dfrac{3}{4}$ $=\dfrac{(-2)\cdot 3}{7\cdot 4}$ $=\dfrac{-6}{28}$ $=\dfrac{-3}{14}.$
b) $x=\dfrac{18}{-5}:\dfrac{-9}{10}$ $=\dfrac{18}{-5}\cdot\dfrac{10}{-9}$ $=\dfrac{18\cdot 10}{(-5)\cdot(-9)}$ $=\dfrac{180}{45}$ $=4.$
c) $x=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{6}{19}$ $=\dfrac{1\cdot 6}{12\cdot 19}$ $=\dfrac{6}{228}$ $=\dfrac{1}{38}.$
Bài tập:
1)- Tính:
a) $\dfrac{23}{-32}\cdot\dfrac{11}{4}.$
b) $\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{-5}{-6}.$
c) $\dfrac{11}{12}:\dfrac{13}{14}.$
d) $\dfrac{-2}{7}:\dfrac{4}{-3}.$
2)- Tìm $x,$ biết:
a) $\dfrac{11}{12}\cdot x=\dfrac{-13}{14}.$
b) $\dfrac{-3}{-4}:x=\dfrac{1}{-2}.$
c) $x:\dfrac{-4}{5}=\dfrac{5}{7}.$
3)- Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc $40$ km/h hết $\dfrac{4}{5}$ giờ.
a) Tính quãng đường AB.
b) Có một xe máy thứ hai cũng đi từ A đến B với vận tốc $45$ km/h. Viết phân số biểu thị thời gian để xe máy thứ hai này đi từ A đến B.
4)- Nước khoáng thường được đóng chai với dung tích mỗi chai là $\dfrac{1}{2}$ lít.
a) Nếu có $250$ ml nước khoáng thì đóng được bao nhiêu chai loại đó?
b) Theo khuyến cáo, mỗi người nên uống bổ sung khoảng $2$ lít nước mỗi ngày. Hỏi lượng nước khoáng mỗi người cần bổ sung mỗi ngày là khoảng bao nhiêu chai nước khoáng loại đó?
Giải:
1)-
a) $\dfrac{23}{-32}\cdot\dfrac{11}{4}=\dfrac{23\cdot 11}{(-32)\cdot 4}$ $=\dfrac{251}{-128}.$
b) $\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{-5}{-6}=\dfrac{3\cdot(-5)}{4\cdot(-6)}$ $=\dfrac{-15}{-24}$ $=\dfrac{5}{8}.$
c) $\dfrac{11}{12}:\dfrac{13}{14}=\dfrac{11}{12}\cdot\dfrac{14}{13}$ $=\dfrac{11\cdot 14}{12\cdot 13}$ $=\dfrac{154}{156}$ $=\dfrac{77}{78}.$
d) $\dfrac{-2}{7}:\dfrac{4}{-3}=\dfrac{-2}{7}\cdot\dfrac{-3}{4}$ $=\dfrac{(-2)\cdot(-3)}{7\cdot 4}$ $=\dfrac{6}{28}$ $=\dfrac{3}{14}.$
2)-
a) $x=\dfrac{-13}{14}:\dfrac{11}{12}$ $=\dfrac{-13}{14}\cdot\dfrac{12}{11}$ $=\dfrac{(-13)\cdot 12}{14\cdot 11}$ $=\dfrac{-156}{154}$ $=\dfrac{-78}{77}.$
b) $x=\dfrac{-3}{-4}:\dfrac{1}{-2}$ $=\dfrac{-3}{-4}\cdot\dfrac{-2}{1}$ $=\dfrac{(-3)\cdot(-2)}{(-4)\cdot 1}$ $=\dfrac{6}{-4}$ $=\dfrac{-3}{2}.$
c) $x=\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{-4}{5}$ $=\dfrac{5\cdot(-4)}{7\cdot 5}$ $=\dfrac{-20}{35}$ $=\dfrac{-4}{7}.$
3)-
a) Ta cần tính: $40\cdot\dfrac{4}{5}$ $=\dfrac{40\cdot 4}{5}$ $=\dfrac{160}{5}$ $=32.$
Vậy quãng đường AB dài $32$ km.
b) Thời gian để xe máy thứ hai đi từ A đến B được tính bởi: $32:45=\dfrac{32}{45}$ (giờ).
Vậy phân số biểu thị thời gian để xe máy thứ hai đi từ A đến B là $\dfrac{32}{45}$ giờ.
4)-
a) Đổi $250$ ml = $\dfrac{250}{1000}$ lít = $\dfrac{1}{4}$ lít.
Ta cần tính: $\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2}{1}=\dfrac{1}{2}.$
Vậy $250$ ml nước khoáng thì đóng được $\dfrac{1}{2}$ chai.
b) Ta cần tính: $2:\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{1}:\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{2}{1}=4.$
Vậy lượng nước khoáng mỗi người cần bổ sung mỗi ngày là khoảng $4$ chai nước khoáng loại đó.