Rút gọn (đơn giản) tích các phân số.
Giả sử cần rút gọn tích: $\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{8}{9}.$ Ta có thể làm như sau:
$\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{8}{9}=\dfrac{3\cdot 8}{4\cdot 9}$ $=\dfrac{(3\cdot 8):(3\cdot 4)}{(4\cdot 9):(3\cdot 4)}$ $=\dfrac{2}{3}.$
Vậy khi gặp một tích các phân số, nếu cần, ta có thể chia số ở tử và số ở mẫu cho cùng một số nguyên để rút gọn tích đó. (Áp dụng Tính chất cơ bản của phân số.)
Ví dụ 1: Rút gọn:
a) $\dfrac{9}{14}\cdot\dfrac{35}{6}.$
b) $\dfrac{-49}{81}\cdot\dfrac{-27}{7}.$
Giải:
a) $\dfrac{9}{14}\cdot\dfrac{35}{6}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{4}.$
b) $\dfrac{-49}{81}\cdot\dfrac{-27}{7}=\dfrac{-7}{3}\cdot\dfrac{-1}{1}$ $=\dfrac{7}{3}.$
Thứ tự thực hiện phép tính.
Thứ tự khi thực hiện các phép tính phân số tương tự như khi tính toán với số nguyên.
Thứ tự ưu tiên của các phép tính: Lũy thừa $\rightarrow$ Nhân & chia $\rightarrow$ Cộng và trừ.
Thứ tự ưu tiên của các dấu ngoặc: $()\rightarrow []\rightarrow \{\}.$
Ví dụ 2: Tính:
a) $\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{12}.$
b) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{-2}{18}+\dfrac{-3}{7}:\dfrac{9}{-14}.$
c) $(-7)\cdot\left(\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{5}\right)-4.$
d) $\dfrac{3}{2}:\left(-\dfrac{1}{4}\right)+11.$
Giải:
a) $\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{12}$
Quy đồng mẫu:
Mẫu chung: $12$
$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\dfrac{9}{12}.$
$\dfrac{4}{3}=\dfrac{4\cdot 4}{3\cdot 4}=\dfrac{16}{12}.$
Thực hiện phép tính:
$\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{12}$ $=\dfrac{9}{12}+\dfrac{16}{12}-\dfrac{5}{12}$ $=\dfrac{9+16-5}{12}$ $=\dfrac{25-5}{12}$ $=\dfrac{20}{12}$ $=\dfrac{5}{3}.$
b) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{-2}{18}+\dfrac{-3}{7}:\dfrac{9}{-14}$
$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{-2}{18}+\dfrac{-3}{7}\cdot\dfrac{-14}{9}$
$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{-1}{2\cdot 6}+\dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{-1}{12}+\dfrac{2}{3}$
Quy đồng mẫu:
Mẫu chung: $12$
$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot 6}{2\cdot 6}=\dfrac{6}{12}.$
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\dfrac{8}{12}.$
Thực hiện phép tính:
$\dfrac{1}{2}-\dfrac{-1}{12}+\dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{6}{12}-\dfrac{-1}{12}+\dfrac{8}{12}$
$=\dfrac{6-(-1)+8}{12}$ $=\dfrac{6+1+8}{12}$ $=\dfrac{15}{12}$ $=\dfrac{5}{4}.$
c) $(-7)\cdot\left(\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{5}\right)-4$
$=(-7)\cdot\left(\dfrac{15}{35}+\dfrac{14}{35}\right)-4$
$=(-7)\cdot\dfrac{15+14}{35}-4$
$=(-7)\cdot\dfrac{29}{35}-4$
$=\dfrac{-29}{5}-4$
$=\dfrac{-29}{5}-\dfrac{20}{5}$ $=\dfrac{-29-20}{5}$ $=\dfrac{-49}{5}.$
d) $\dfrac{3}{2}:\left(-\dfrac{1}{4}\right)+11$
$=\dfrac{3}{2}:\dfrac{-1}{4}+11$
$=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{-1}+11$
$=-6+11$ $=7.$
Ví dụ 3: Một kho chứa $\dfrac{15}{2}$ tấn thóc. Người ta lấy ra lần thứ nhất $\dfrac{11}{4}$ tấn, lần thứ hai $\dfrac{27}{8}$ tấn thóc. Hỏi trong kho còn bao nhiêu tấn thóc?
Giải:
Ta cần tính: $\dfrac{15}{2}-\dfrac{11}{4}-\dfrac{27}{8}$ $=\dfrac{60}{8}-\dfrac{22}{8}-\dfrac{27}{8}$ $=\dfrac{60-22-27}{8}$ $=\dfrac{11}{8}.$
Vậy trong kho còn $\dfrac{11}{8}$ tấn thóc.
Bài tập:
1)- Tính:
a) $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5}:\dfrac{3}{4}.$
b) $\dfrac{-5}{-27}-\dfrac{1}{-18}+\dfrac{-2}{9}.$
c) $\dfrac{5}{6}:25-2+\dfrac{-7}{3}\cdot\dfrac{2}{7}.$
d) $\left(-\dfrac{1}{6}\right)\cdot\left(\dfrac{-4}{3}-\dfrac{2}{3}\right):\dfrac{7}{-5}.$
2)- Bạn Nguyệt đọc hết quyển sách yêu thích của mình trong ba ngày. Ngày thứ nhất, bạn ấy đọc được $\dfrac{1}{3}$ quyển sách. Ngày thứ hai, bạn ấy đọc được $\dfrac{1}{6}$ quyển sách. Hỏi bạn ấy còn phải đọc bao nhiêu phần của quyển sách đó trong ngày thứ ba?
3)- Tìm số nguyên $x,$ biết: $\dfrac{-x}{15}=\dfrac{2}{-5}:\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{3}.$
Giải:
1)-
a) $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5}:\dfrac{3}{4}$ $=\dfrac{1\cdot 1}{3\cdot 5}+\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{4}{3}$ $=\dfrac{1}{15}+\dfrac{2\cdot 4}{5\cdot 3}$ $=\dfrac{1}{15}+\dfrac{8}{15}$ $=\dfrac{1+8}{15}$ $=\dfrac{9}{15}$ $=\dfrac{3}{5}.$
b) $\dfrac{-5}{-27}-\dfrac{1}{-18}+\dfrac{-2}{9}$ $=\dfrac{5}{27}-\left(-\dfrac{1}{18}\right)+\left(-\dfrac{2}{9}\right)$ $=\dfrac{5}{27}+\dfrac{1}{18}-\dfrac{2}{9}$
Quy đồng mẫu:
Mẫu chung: $54.$
$\dfrac{5}{27}=\dfrac{5\cdot 2}{27\cdot 2}=\dfrac{10}{54}.$
$\dfrac{1}{18}=\dfrac{1\cdot 3}{18\cdot 3}=\dfrac{3}{54}.$
$\dfrac{2}{9}=\dfrac{2\cdot 6}{9\cdot 6}=\dfrac{12}{54}.$
Thực hiện phép tính:
$\dfrac{5}{27}+\dfrac{1}{18}-\dfrac{2}{9}$ $=\dfrac{10}{54}+\dfrac{3}{54}-\dfrac{12}{54}$ $=\dfrac{10+3-12}{54}$ $=\dfrac{1}{54}.$
c) $\dfrac{5}{6}:25-2+\dfrac{-7}{3}\cdot\dfrac{2}{7}$ $=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{1}{25}-2+\dfrac{-2}{3}$ $=\dfrac{1}{6\cdot 5}-2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)$ $=\dfrac{1}{30}-2-\dfrac{2}{3}$ $=\dfrac{1}{30}-\dfrac{60}{30}-\dfrac{20}{30}$ $=\dfrac{1-60-20}{30}$ $=\dfrac{-59-20}{30}$ $=\dfrac{-79}{30}.$
d) $\left(-\dfrac{1}{6}\right)\cdot\left(\dfrac{-4}{3}-\dfrac{2}{3}\right):\dfrac{7}{-5}$ $=\left(-\dfrac{1}{6}\right)\cdot\dfrac{-4-2}{3}:\dfrac{7}{-5}$ $=\dfrac{-1}{6}\cdot\dfrac{-6}{3}:\dfrac{7}{-5}$ $=\dfrac{1}{3}:\dfrac{7}{-5}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{-5}{7}$ $=\dfrac{1\cdot(-5)}{3\cdot 7}$ $=\dfrac{-5}{21}.$
2)- Ta cần tính: $1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}$ $=\dfrac{6}{6}-\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}$ $=\dfrac{6-2-1}{6}$ $=\dfrac{3}{6}$ $=\dfrac{1}{2}.$
Vậy bạn ấy còn phải đọc $\dfrac{1}{2}$ quyển sách đó trong ngày thứ ba.
3)- Ta có: $\dfrac{2}{-5}:\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{2}{-5}\cdot\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{-2}{3}-\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{-2-1}{3}$ $=\dfrac{-3}{3}$ $=-1.$
Vậy $\dfrac{-x}{15}=-1.$
Tức là $(-x):15=-1.$
Do đó, $-x=(-1)\cdot 15=-15.$
Dẫn đến $x=15.$