$\S\;$ 4.9. TÍNH NHANH (TÍNH HỢP LÝ) CÁC PHÉP TÍNH PHÂN SỐ.

Các phép tính phân số cũng có các tính chất tương tự như đối với số tự nhiên hay số nguyên: phép cộng và phép nhân đều có tính chất giao hoán và kết hợp; phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng (phép trừ). Áp dụng các tính chất này, ta có thể tính nhanh (hợp lý) các phép tính phân số.

Đây là bài số 9 trong tống số 12 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 6 - Cơ bản - 04] PHÂN SỐ

Tính chất của phép cộng phân số.

Tính chất của phép cộng:

+) Giao hoán: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b}.$

+) Kết hợp: $\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)+\dfrac{e}{f}=\dfrac{a}{b}+\left(\dfrac{c}{d}+\dfrac{e}{f}\right).$

Áp dụng hai tính chất trên của phép cộng, ta có thể đổi chỗ và nhóm các số hạng trong một tổng (các phân số) một cách tùy ý (hợp lý).

Cũng tương tự như khi tính toán với số nguyên, ta có quyền đổi chỗ các phân số và kèm theo dấu phía trước của nó. Chẳng hạn: $\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{9}=-\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{3}{4}.$

Ví dụ 1: Tính một cách hợp lý: $\dfrac{8}{9}+\dfrac{7}{13}+\dfrac{10}{9}+\dfrac{-7}{13}.$

Giải:

$=\dfrac{8}{9}+\dfrac{7}{13}+\dfrac{10}{9}+\dfrac{-7}{13}$

$=\dfrac{8}{9}+\dfrac{10}{9}+\dfrac{7}{13}+\dfrac{-7}{13}\;\;\;\;$ (giao hoán)

$=\left(\dfrac{8}{9}+\dfrac{10}{9}\right)+\left(\dfrac{7}{13}+\dfrac{-7}{13}\right)\;\;\;\;$ (kết hợp)

$=\dfrac{8+10}{9}+\dfrac{7+(-7)}{13}$

$=\dfrac{18}{9}+0$

$=2.$

Tính chất của phép nhân phân số.

Tính chất của phép nhân:

+) Giao hoán: $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{a}{b}.$

+) Kết hợp: $\left(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}\right)\cdot\dfrac{e}{f}=\dfrac{a}{b}\cdot\left(\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{e}{f}\right).$

+) Phân phối đối với phép cộng, phép trừ: $\dfrac{a}{b}\cdot\left(\dfrac{c}{d}+\dfrac{e}{f}\right)=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{e}{f};\;\;\;$ $\dfrac{a}{b}\cdot\left(\dfrac{c}{d}-\dfrac{e}{f}\right)=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}-\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{e}{f}.$

Ví dụ 2: Tính một cách hợp lý:

a) $\dfrac{-4}{3}\cdot\dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{15}{4}.$

b) $\dfrac{11}{12}\cdot\dfrac{8}{9}+\dfrac{-2}{9}\cdot\dfrac{11}{12}.$

Giải:

a) $\dfrac{-4}{3}\cdot\dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{15}{4}$

$=\dfrac{-4}{3}\cdot\dfrac{15}{4}\cdot\dfrac{7}{5}\;\;\;\;$ (giao hoán)

$=\left(\dfrac{-4}{3}\cdot\dfrac{15}{4}\right)\cdot\dfrac{7}{5}\;\;\;\;$ (kết hợp)

$=(-5)\cdot\dfrac{7}{5}$

$=-7.$

b) $\dfrac{11}{12}\cdot\dfrac{8}{9}+\dfrac{-2}{9}\cdot\dfrac{11}{12}$

$=\dfrac{11}{12}\cdot\left(\dfrac{8}{9}+\dfrac{-2}{9}\right)\;\;\;\;$ (phân phối)

$=\dfrac{11}{12}\cdot\dfrac{8+(-2)}{9}$

$=\dfrac{11}{12}\cdot\dfrac{6}{9}$

$=\dfrac{11}{2}\cdot\dfrac{1}{9}$

$=\dfrac{11}{18}.$

Nên xử lý dấu trước khi tính toán!

Chẳng hạn, thay vì ghi $\dfrac{-5}{9}$ hay $\dfrac{5}{-9},$ ta nên viết $-\dfrac{5}{9}$ (vì $-\dfrac{5}{9}=\dfrac{-5}{9}=\dfrac{5}{-9}).$ Viết như vậy làm sáng tỏ rằng đó là một phân số âm.

Xem lại bài: Số đối của phân số.

Ví dụ 3:

a) Rút gọn: $\dfrac{14}{-5}\cdot\left(-\dfrac{5}{7}\right)$ và $-\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{-9}{2}.$

b) Tính nhanh: $\left(-\dfrac{7}{3}\right)\cdot\dfrac{4}{15}-\dfrac{-1}{15}\cdot\dfrac{7}{3}.$

Giải:

a)

+) $\dfrac{14}{-5}\cdot\left(-\dfrac{5}{7}\right)=\left(-\dfrac{14}{5}\right)\cdot\left(-\dfrac{5}{7}\right)$ $=\dfrac{14}{5}\cdot\dfrac{5}{7}$ $=2.$

+) $-\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{-9}{2}=-\dfrac{4}{3}\cdot\left(-\dfrac{9}{2}\right)$ $=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{9}{2}$ $=2\cdot 3$ $=6.$

b) $\left(-\dfrac{7}{3}\right)\cdot\dfrac{4}{15}-\dfrac{-1}{15}\cdot\dfrac{7}{3}$

$=-\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{4}{15}-\left(-\dfrac{1}{15}\right)\cdot\dfrac{7}{3}$

$=-\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{15}\cdot\dfrac{7}{3}$

$=\dfrac{7}{3}\cdot\left(-\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{15}\right)$

$=\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{-4+1}{15}$

$=\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{-3}{15}$

$=\dfrac{-7}{15}.$

Ví dụ 4: Tính nhanh: $\dfrac{35}{9}:\dfrac{7}{17}+\dfrac{1}{7}:\dfrac{9}{35}-8.$

Giải:

$\dfrac{35}{9}:\dfrac{7}{17}+\dfrac{1}{7}:\dfrac{9}{35}-8$

$=\dfrac{35}{9}\cdot\dfrac{17}{7}+\dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{35}{9}-8$

$=\dfrac{35}{9}\cdot\left(\dfrac{17}{7}+\dfrac{1}{7}\right)-8$

$=\dfrac{35}{9}\cdot\dfrac{17+1}{7}-8$

$=\dfrac{35}{9}\cdot\dfrac{18}{7}-8$

$=5\cdot 2-8$

$=10-8=2.$

Áp dụng quy tắc dấu ngoặc.

$\star$ Khi bỏ dấu ngoặc kèm theo dấu cộng $(+)$ đằng trước, ta giữ nguyên dấu các số hạng trong ngoặc.

$\star$ Khi bỏ dấu ngoặc kèm theo dấu trừ $(-)$ đằng trước, ta đổi dấu các số hạng trong ngoặc.

Lưu ý: Ta áp dụng quy tắc tương tự như trên khi muốn thêm dấu ngoặc. Chẳng hạn: $-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{5}=-\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{5}\right);\;\;\;$ $\dfrac{7}{12}-\dfrac{1}{6}=+\left(\dfrac{7}{12}-\dfrac{1}{6}\right).$

Ví dụ 5: Tính nhanh: $-\dfrac{7}{27}-\left(-\dfrac{4}{9}\right)-\left(\dfrac{2}{27}+\dfrac{1}{9}\right).$

Giải:

$-\dfrac{7}{27}-\left(-\dfrac{4}{9}\right)-\left(\dfrac{2}{27}+\dfrac{1}{9}\right)$

$=-\dfrac{7}{27}+\dfrac{4}{9}-\dfrac{2}{27}-\dfrac{1}{9}$

$=-\dfrac{7}{27}-\dfrac{2}{27}+\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}$

$=-\left(\dfrac{7}{27}+\dfrac{2}{27}\right)+\left(\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}\right)$

$=-\dfrac{9}{27}+\dfrac{3}{9}$

$=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=0.$

Bài tập:

1)- Tính một cách hợp lý:

a) $\dfrac{2}{2021}+\dfrac{-5}{2022}-\dfrac{1}{2021}+\dfrac{4}{2022}.$

b) $1+\dfrac{1}{-2}-5-\dfrac{-3}{4}.$

c) $\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{500}\cdot\dfrac{25}{6}.$

d) $\dfrac{7}{19}\cdot\dfrac{8}{11}+\dfrac{7}{19}\cdot\dfrac{3}{11}+\dfrac{12}{19}.$

2)- Tính nhanh:

a) $\dfrac{6}{7}-\dfrac{8}{9}\cdot (-3)+\dfrac{5}{7}:5+\dfrac{1}{3}.$

b) $\left(\dfrac{67}{111}+\dfrac{2}{33}-\dfrac{15}{117}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}\right).$

Giải:

1)-

a) $\dfrac{2}{13}+\dfrac{-5}{3}-\dfrac{1}{13}+\dfrac{4}{3}$ $=\dfrac{2}{13}-\dfrac{1}{13}+\dfrac{-5}{3}+\dfrac{4}{3}$ $=\left(\dfrac{2}{13}-\dfrac{1}{13}\right)+\left(\dfrac{-5}{3}+\dfrac{4}{3}\right)$ $=\dfrac{1}{13}+\dfrac{-1}{3}$ $=\dfrac{3}{39}+\dfrac{-13}{39}$ $=\dfrac{3+(-13)}{39}$ $=\dfrac{-10}{39}.$

b) $1+\dfrac{1}{-2}-5-\dfrac{-3}{4}$ $=1+\left(-\dfrac{1}{2}\right)-5-\left(-\dfrac{3}{4}\right)$ $=1-\dfrac{1}{2}-5+\dfrac{3}{4}$ $=1-5-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}$ $=(1-5)-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\right)$ $=(-4)-\left(\dfrac{2}{4}-\dfrac{3}{4}\right)$ $=-4-\dfrac{-1}{4}$ $=-4-\left(-\dfrac{1}{4}\right)$ $=-4+\dfrac{1}{4}$ $=\dfrac{-16}{4}+\dfrac{1}{4}$ $=\dfrac{-15}{4}.$

c) $\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{500}\cdot\dfrac{25}{6}$ $=\dfrac{4\cdot 1\cdot 25}{3\cdot 500\cdot 6}$ $=\dfrac{100}{3\cdot 500\cdot 6}$ $=\dfrac{1}{3\cdot 5\cdot 6}$ $=\dfrac{1}{90}.$

d) $\dfrac{7}{19}\cdot\dfrac{8}{11}+\dfrac{7}{19}\cdot\dfrac{3}{11}+\dfrac{12}{19}$ $=\dfrac{7}{19}\cdot\left(\dfrac{8}{11}+\dfrac{3}{11}\right)+\dfrac{12}{19}$ $=\dfrac{7}{19}\cdot\dfrac{11}{11}+\dfrac{12}{19}$ $=\dfrac{7}{19}\cdot 1+\dfrac{12}{19}$ $=\dfrac{19}{19}$ $=1.$

2)-

a) $\dfrac{6}{7}-\dfrac{8}{9}\cdot (-3)+\dfrac{5}{7}:5+\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{6}{7}-\dfrac{-8}{3}+\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{6}{7}-\left(-\dfrac{8}{3}\right)+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{6}{7}+\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{6}{7}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{3}$ $=\left(\dfrac{6}{7}+\dfrac{1}{7}\right)+\left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{3}\right)$ $=\dfrac{7}{7}+\dfrac{9}{3}$ $=1+3=4.$

b) Để ý rằng: $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}$ $=\dfrac{4}{12}-\dfrac{3}{12}-\dfrac{1}{12}$ $=\dfrac{4-3-1}{12}$ $=0.$

Ta suy ra:

$\left(\dfrac{67}{111}+\dfrac{2}{33}-\dfrac{15}{117}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}\right)$ $=\left(\dfrac{67}{111}+\dfrac{2}{33}-\dfrac{15}{117}\right)\cdot 0$ $=0.$

Xem tiếp bài trong cùng Series<< $\S\;$ 4.8. THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH PHÂN SỐ.$\S\;$ 4.10. GIÁ TRỊ PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ. >>
Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.