Tương tự như trong tập hợp số nguyên, mỗi phân số luôn có số đối của nó. Cũng vậy, quy tắc dấu ngoặc đối với phân số tương tự như quy tắc dấu ngoặc đối với số nguyên.
Số đối của phân số
🤔 Hai phân số được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
Ví dụ 1: $\Large \frac{2}{5}$ và $\Large \frac{-2}{5}$ là hai phân số đối nhau, vì:
$$\frac{2}{5} + \frac{-2}{5} = \frac{2 + (-2)}{5} = 0$$
Câu hỏi 1: Các cặp phân số sau có đối nhau không? Vì sao?
a) $\Large \frac{7}{2021}$ và $\Large \frac{7}{-2021}$;
b) $\Large \frac{5}{2022}$ + $\Large \frac{-5}{-2022}$;
c) $\Large \frac{9}{15}$ + $\Large \frac{3}{-5}$;
Hướng dẫn
Ta cộng hai phân số đó. Nếu kết quả bằng 0 thì chúng đối nhau. Nếu kết quả khác 0 thì chúng không đối nhau.
Giải
a) Ta có:
$$\frac{7}{2021} + \frac{7}{-2021} = \frac{7}{2021} + \frac{-7}{2021}$$
$$= \frac{7 + (-7)}{2021} = \frac{0}{2021} = 0$$
Do đó hai phân số $\Large \frac{7}{2021}$ và $\Large \frac{7}{-2021}$ đối nhau.
b) Ta có:
$$\frac{5}{2022} + \frac{-5}{-2022} = \frac{5}{2022} + \frac{5}{2022}$$
$$= \frac{5 + 5}{2022} = \frac{10}{2022}$$
Kết quả của phép cộng là số khác 0 nên hai phân số đã cho không đối nhau.
c) Ta có:
$$\frac{9}{15} + \frac{3}{-5} = \frac{3}{15} + \frac{-3}{5}$$
$$= \frac{3 + (-3)}{15} = \frac{0}{15} = 0$$
Do đó, hai phân số $\Large \frac{9}{15}$ + $\Large \frac{3}{-5}$ đối nhau.
🤔 Ký hiệu số đối của phân số $\Large \frac{a}{b}$ là $\Large -\frac{a}{b}$.
$$\frac{a}{b} + \left(-\frac{a}{b}\right) = 0$$
Ví dụ 2: $\Large \frac{-1}{2}$ là số đối của $\Large \frac{1}{2}$. Do đó:
$$-\frac{1}{2} = \frac{-1}{2}$$
Câu hỏi 2: Cho $a$ và $b$ là các số nguyên và $b \neq 0$.
a) $\Large \frac{-a}{b}$ có phải là số đối của $\Large \frac{a}{b}$ không? Vì sao?
b) $\Large \frac{a}{-b}$ có phải là số đối của $\Large \frac{a}{b}$ không? Vì sao?
c) Nhận xét sau đây đúng hay sai?
$$-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$$
Giải
a) Ta có:
$$\frac{-a}{b} + \frac{a}{b} = \frac{(-a) + a}{b}$$
$$= \frac{0}{b} = 0$$
Do đó, $\Large \frac{-a}{b}$ là số đối của phân số $\Large \frac{a}{b}$.
b) Ta có:
$$\frac{a}{-b} + \frac{a}{b} = \frac{-a}{b} + \frac{a}{b}$$
$$= \frac{(-a) + a}{b} = \frac{0}{b} = 0$$
Do đó, $\Large \frac{a}{-b}$ cũng là số đối của phân số $\Large \frac{a}{b}$.
c) Theo câu a) và câu b) thì $\Large \frac{-a}{b}$ và $\Large \frac{a}{-b}$ đều là số đối của $\Large \frac{a}{b}$. Do đó ta có:
$$-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$$
🤔 Cách tìm số đối của một phân số:
$$-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$$
Câu hỏi 3: Tìm số đối của mỗi phân số sau:
a) $\Large \frac{-7}{4}$;
b) $\Large \frac{93}{-15}$;
c) $\Large \frac{4}{5}$;
d) $\Large \frac{-2021}{-2022}$.
Giải
a) Số đối của $\Large \frac{-7}{4}$ là:
$$-\frac{-7}{4} = \frac{-(-7)}{4} = \frac{7}{4}$$
b) Số đối của $\Large \frac{93}{-15}$ là:
$$-\frac{93}{-15} = \frac{93}{-(-15)} = \frac{93}{15}$$
c) Số đối của $\Large \frac{4}{5}$ là:
$$-\frac{4}{5} = \frac{-4}{5} = \frac{4}{-5}$$
d) Số đối của $\Large \frac{-2021}{-2022}$ là:
$$-\frac{-2021}{-2022} = \frac{-(-2021)}{-2022} = \frac{2021}{-2022}$$
Chú ý: Trừ cho một phân số chính là cộng với số đối của nó.
$$\frac{a}{b} \mathbf{- \frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \mathbf{+ \left(-\frac{c}{d}\right)}$$
Quy tắc dấu ngoặc
Quy tắc dấu ngoặc đối với phân số giống như quy tắc dấu ngoặc đối với số nguyên.
🤔 Khi bỏ dấu ngoặc có dấu cộng (+) đằng trước, ta giữ nguyên dấu các số hạng trong ngoặc.
🤔 Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ (-) đằng trước, ta đổi dấu các số hạng trong ngoặc.
Ví dụ 3:
$$+\left(\frac{3}{9} – \frac{7}{4}\right) = \frac{3}{9} – \frac{7}{4}$$
$$-\left(\frac{1}{6} – \frac{4}{21}\right) = -\frac{1}{6} + \frac{4}{21}$$
Câu hỏi 3: Thực hiện phép tính:
$$\mathbf{a)}\; \frac{1}{8} – \left(\frac{1}{2} – \frac{3}{8}\right);$$
$$\mathbf{b)}\; \left(\frac{2}{-5} – \frac{-1}{9}\right) – \left(-\frac{2}{9} + \frac{-2}{5}\right)$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{1}{8} – \left(\frac{1}{2} – \frac{3}{8}\right);$$
$$= \frac{1}{8} – \frac{1}{2} + \frac{3}{8}$$
$$= \frac{1}{8} + \frac{3}{8} – \frac{1}{2}$$
$$= \left(\frac{1}{8} + \frac{3}{8}\right) – \frac{1}{2}$$
$$= \frac{4}{8} – \frac{1}{2}$$
$$= \frac{1}{2} – \frac{1}{2} = 0$$
$$\mathbf{b)}\; \left(\frac{2}{-5} – \frac{-1}{9}\right) – \left(-\frac{2}{9} + \frac{-2}{5}\right)$$
$$=\frac{2}{-5} – \frac{-1}{9} + \frac{2}{9} – \frac{-2}{5}$$
$$= \frac{-2}{5} + \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{5}$$
$$= \left(\frac{-2}{5} + \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{9}\right)$$
$$= 0 + \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$