Điểm chung của hai đường thẳng là gì?
Quan sát hình vẽ sau:
Ta thấy điểm $O$ vừa nằm trên đường thẳng $a$, vừa nằm trên đường thẳng $b$. Điểm $O$ như vậy được gọi là điểm chung của hai đường thẳng $a$ và $b$.
Nếu đường thẳng $a$ và đường thẳng $b$ có điểm chung là $O$ thì ta còn nói một cách “hình tượng” là: $a$ và $b$ gặp nhau ở $O$ (hoặc $a$ và $b$ giao nhau ở $O).$
Hai đường thẳng song song, cắt nhau.
Trong thực tế, không phải lúc nào hai đường thẳng cũng gặp nhau. Nếu hai đường thẳng “mãi mãi” không gặp nhau thì chúng không có điểm chung nào cả, và ta gọi chúng là hai đường thẳng song song.
$\star$ Nếu hai đường thẳng không có điểm chung nào cả, ta nói rằng hai đường thẳng đó song song với nhau.
$\star$ Nếu hai đường thẳng chỉ có một điểm chung, ta nói rằng hai đường thẳng đó cắt nhau. Điểm chung được gọi là giao điểm của hai đường thẳng.
Ví dụ 1: Cho hình vẽ:
a) Đường thẳng $b$ và đường thẳng $c$ song song hay cắt nhau?
b) Đường thẳng $a$ và đường thẳng $d$ song song hay cắt nhau?
Giải:
a) Đường thẳng $b$ và $c$ là hai đường thẳng cắt nhau.
Điểm $H$ là giao điểm của $b$ và $c.$
b) Đường thẳng $a$ và đường thẳng $d$ song song với nhau.
Nếu đường thẳng $a$ và đường thẳng $b$ song song với nhau, ta ký hiệu: $a \;//\; b$ (đọc là: $a$ song song $b).$
Ví dụ 2: Quan sát hình sau:
a) Hãy nêu các cặp đường thẳng song song. Sử dụng ký hiệu $//$ để viết kết quả.
b) Hãy nêu các cặp đường thẳng cắt nhau.
Giải:
a) Các cặp đường thẳng song song là: $a\;//\;b,$ $c\;//\;d.$
b) Các cặp đường thẳng cắt nhau là: $a$ và $c;$ $a$ và $d;$ $b$ và $c;$ $b$ và $d.$
Hai đường thẳng trùng nhau.
Tương tự như “hai điểm trùng nhau”, ta cũng có hai đường thẳng trùng nhau. Đó là hai đường thẳng nằm “chồng khít” lên nhau.
Chẳng hạn, đường thẳng $AB$ và đường thẳng $BC$ trong hình sau đây là hai đường thẳng trùng nhau:
Hai đường thẳng trùng nhau nằm “chồng khít” lên nhau.
Ví dụ 3: Đố em hai đường thẳng trùng nhau có bao nhiêu điểm chung?
Giải:
Hai đường thẳng trùng nhau có vô số (rất nhiều) điểm chung.
Giải thích:
Vì hai đường thẳng trùng nhau nằm chồng khít lên nhau, nên mọi điểm của đường thẳng này đều thuộc đường thẳng còn lại, chúng là các điểm chung của hai đường thẳng đó.
Lưu ý: Từ đây trở về sau, khi nói về hai đường thẳng mà không giải thích gì thêm, ta hiểu đó là hai đường thẳng phân biệt (tức là không trùng nhau).
Ta có bảng tổng kết sau đây về số điểm chung của hai đường thẳng:
| Hai đường thẳng | Số điểm chung |
|---|---|
| Song song | $0$ |
| Cắt nhau | $1$ |
| Trùng nhau | Vô số |
Bài tập:
1)- Cho hình vẽ sau:
a) Tìm hai đường thẳng song song có trong hình vẽ trên.
b) Đường thẳng $AN$ và đường thẳng $BM$ song song với nhau hay cắt nhau? Nếu chúng cắt nhau, hãy xác định giao điểm.
c) Điểm $O$ nằm giữa hai điểm nào?
d) Đường thẳng $AO$ và đường thẳng $MN$ song song với nhau hay cắt nhau? Nếu chúng cắt nhau, hãy xác định giao điểm.
e) Hai đường thẳng $OM$ và $OB$ song song, cắt nhau, hay trùng nhau?
2)- Vẽ hình theo mô tả sau:
Chấm ba điểm $A, B, C$ trên giấy.
a) Vẽ đường thẳng $a$ đi qua hai điểm $A$ và $B$
b) Vẽ đường thẳng $b$ đi qua điểm $C$ và song song với đường thẳng $a$
c) Trên đường thẳng $a$, lấy một điểm $D$ không trùng với $A$ và $B$ sao cho điểm $A$ nằm giữa $B$ và $D$. Vẽ đường thẳng $d$ đi qua điểm $D$ và cắt đường thẳng $b$ tại điểm $M$ không trùng với điểm $C.$
Giải:
1)-
a) Hai đường thẳng song song là $m$ và $n.$
b) Đường thẳng $AN$ và đường thẳng $BM$ cắt nhau. Giao điểm của chúng là điểm $O.$
c) Điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $N.$
Điểm $O$ cũng nằm giữa hai điểm $B$ và $M.$
d) Đường thẳng $AO$ và đường thẳng $MN$ cắt nhau. Giao điểm của chúng là $N.$
e) Hai đường thẳng $OM$ và $OB$ trùng nhau.
2)-
