[T6-NC] Tìm CHỮ SỐ TẬN CÙNG (Phần 1)
Khi học về dấu hiệu chia hết cho 2 (hoặc cho 5), chúng ta đều dựa vào chữ số tận cùng để xác định sự chia hết. Ngoài ra, tìm chữ số tận cùng cũng giúp ta rất nhiều trong việc tính nhanh giá trị của một biểu thức.
1 – Cách tìm chữ số tận cùng của một tổng
☘ Chữ số tận cùng của một tổng thì giống với chữ số tận cùng của tổng các chữ số ở hàng đơn vị (của các số hạng trong tổng đó).
Chẳng hạn: Tổng 27 + 35 có chữ số tận cùng giống với 7 + 5. Mà 7 + 5 = 12 nên tổng 27 + 35 có chữ số tận cùng là 2.
Ví dụ 1.1: Không cần tính giá trị cụ thể, hãy cho biết phép tính sau đây đúng hay sai:
2021 + 2022 + 2023 + 2024 + 2025 = 10116 ?
Giải
Ta dựa vào chữ số tận cùng!
Chữ số tận cùng của tổng 2021 + 2022 + 2023 + 2024 + 2025 giống với chữ số tận cùng của 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
Vậy tổng 2021 + 2022 + 2023 + 2024 + 2025 có chữ số tận cùng là 5.
Do đó 10116 (có chữ số tận cùng là 6) là một kết quả sai.
Ví dụ 1.2:
a) Tính giá trị biểu thức: 1 + 2 + 3 + … + 9.
b) Giá trị của tổng 2021 + 2022 + … + 2029 có chữ số tận cùng là bao nhiêu?
c) Giá tri của tổng 2021 + 2022 + … + 2031 có chia hết cho 2 hay không, có chia hết cho 5 hay không?
Giải
a) 1 + 2 + 3 + … + 9
= (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5
= 10 + 10 + 10 + 10 + 5 = 45.
b) Chữ số tận cùng của tổng 2021 + 2022 + … + 2029 giống với chữ số tận cùng của 1 + 2 + … + 9.
Theo câu a) thì 1 + 2 + … + 9 có chữ số tận cùng là 5.
Vậy tổng 2021 + 2022 + … + 2029 cũng có chữ số tận cùng là 5.
c) Chữ số tận cùng của 2021 + 2022 + … + 2031 giống với chữ số tận cùng của: 1 + 2 + … + 9 + 0 + 1.
Ta có: 1 + 2 + … + 9 + 0 + 1 = 45 + 0 + 1 = 46.
Vậy tổng 2021 + 2022 + … + 2031 có chữ số tận cùng là 6.
Dựa vào các dấu hiệu chia hết, ta thấy tổng đã cho chia hết cho 2 và không chia hết cho 5.
2 – Cách tìm chữ số tận cùng của một tích
Chữ số tận cùng của một tích thì giống với chữ số tận cùng của tích các chữ số ở hàng đơn vị (của các thừa số trong tích đó).
Chẳng hạn: Giá trị của tích 2021 . 2022 có chữ số tận cùng là 2, vì 1 . 2 = 2.
☘ Để tìm Chữ số tận cùng của một tích, ta có thể tìm chữ số tận cùng của tích các chữ số ở hàng đơn vị.
Ví dụ 2.1: Cho hai số tự nhiên A và B. Tìm chữ số tận cùng của tích AB nếu biết:
a) A và B đều có chữ số tận cùng là 5.
b) A và B đều có chữ số tận cùng là 1.
c) A và B đều có chữ số tận cùng là 6.
d) A có chữ số tận cùng là 0.
Giải
Chữ số tận cùng của tích AB giống với chữ số tận cùng của tích các chữ số ở hàng đơn vị (các chữ số tận cùng của A và B). Do đó:
a) Chữ số tận cùng của tích AB giống với chữ số tận cùng của 5 . 5 = 25. Vậy chữ số tận cùng của tích AB bằng 5.
b) Chữ số tận cùng của tích AB giống với chữ số tận cùng của 1 . 1 = 1. Vậy chữ số tận cùng của AB bằng 1.
c) Chữ số tận cùng của tích AB giống với chữ số tận cùng của 6 . 6 = 36. Vậy chữ số tận cùng của AB bằng 6.
d) Gọi b là chữ số tận cùng của B. Khi đó, chữ số tận cùng của tích AB giống với chữ số tận cùng của 0 . b = 0. Vậy chữ số tận cùng của AB bằng 0.
Chú ý: Từ Ví dụ 2.1, ta có thể dự đoán được các kết quả tổng quát sau đây:
☘ Các số có chữ số tận cùng là 1 (hoặc 5, hoặc 6) thì tích của chúng cũng có chữ số tận cùng là 1 (hoặc 5, hoặc 6). Tức là tích của chúng giữ nguyên chữ số tận cùng.
☘ Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số có chữ số tận cùng là 0 thì tích đó cũng có chữ số tận cùng là 0.
☛ Khi tìm chữ số tận cùng của một tích, ta cố gắng nhóm các thừa số để tạo ra các tích có chữ số tận cùng là một trong các chữ số: 0; 1; 5 hoặc 6.
Ví dụ 2.2: Tìm chữ số tận cùng của các tích sau:
a) tích của 23 số 2021;
b) tích của 23 số 2022;
c) tích của 21 số 2023;
Giải
a) 23 số 2021 đều có chữ số tận cùng là 1 nên tích của chúng cũng có chữ số tận cùng là 1.
b) Tích của 23 số 2022 có chữ số tận cùng giống với tích của 23 số 2.
Để ý rằng: 2 . 2 . 2 . 2 = 16, tức là tích của 4 số 2 thì có giá trị là 16.
Do đó, với 23 số 2, ta sẽ nhóm thành các nhóm có 4 số 2. Vì 23 : 4 = 5 (dư 3) nên sẽ nhóm được 5 nhóm (mỗi nhóm có 4 số 2) và còn dư ra 3 số 2.
Vậy tích của 23 số 2 có thể viết thành tích của 5 số 16 và 3 số 2.
Mà tích của 5 số 16 thì có chữ số tận cùng là 6, nên tích đã cho sẽ có chữ số tận cùng giống với 6 . 2 . 2 . 2 = 48.
Vậy tích của 23 số 2 022 có chữ số tận cùng là 8.
c) Tích của 21 số 2023 có chữ số tận cùng giống với tích của 21 số 3.
Ta có: 3 . 3 . 3 . 3 = 81, tức là tích của 4 số 3 thì có giá trị là 81.
Ta sẽ chia 21 số 3 thành từng nhóm có 4 số 3. Vì 21 : 4 = 5 (dư 1) nên sẽ có 5 nhóm(mỗi nhóm có 4 số 3) và dư ra 1 số 3.
Vậy tích của 21 số 3 có thể viết thành tích của 5 số 81 và 1 số 3.
Mà tích của 5 số 81 thì có chữ số tận cùng là 1, nên tích đã cho sẽ có chữ số tận cùng giống với 1 . 3 = 3.
Vậy tích của 21 số 2023 có chữ số tận cùng là 3.
Ví dụ 2.3: Tìm chữ số tận cùng của các tích sau:
a) 3 . 13 . 23 … 2013;
b) 7 . 17 . 27 … 2017.
Giải
a) Các số trong đề bài đều tận cùng là 3.
Cứ 4 số tận cùng là 3 nhân với nhau sẽ tận cùng là 1.
Ta tính xem tích 3 . 13 . 23 … 2013 có bao nhiêu thừa số:
(2 013 – 3) : 10 + 1 = 202 (thừa số).
Vì 202 : 4 = 50 (dư 2) nên 202 số sẽ ghép được thành 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 số 3) và dư ra 2 số 3.
Tích 50 nhóm tận cùng là 1, nhân thêm 2 số 3 nữa sẽ tận cùng là 9.
Vậy tích đã cho tận cùng là 9.
b) Các số trong đề bài đều tận cùng là 7.
Cứ 4 số tận cùng là 7 nhân với nhau sẽ tận cùng là 1.
Ta tính xem từ tích 7 . 17 . 27 … 2017 có bao nhiêu thừa số:
(2017 – 7) : 10 + 1 = 202 (thừa số).
Vì 202 : 4 = 50 (dư 2) nên 202 số sẽ ghép được thành 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 số 7) và dư ra 2 số 3.
Tích 50 nhóm tận cùng là 1, nhân thêm 2 số 7 nữa sẽ tận cùng là 9.
Vậy tích đã cho tận cùng là 9.
Ví dụ 2.4: Tìm chữ số tận cùng của:
a) S = 1 . 2 . 3 … 2021;
b) T = 1 . 3 . 5 . 7 … 2021.
Giải
a) Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân, ta có thể viết lại S như sau:
S = (2 . 5) . (1 . 3 . 4 . 6 … 2021) = 10 . (1 . 3 . 4 . 6 … 2021)
Do đó, S có chữ số tận cùng là 0.
b) Tích T có chứa thừa số 5 nên T chia hết cho 5. Do đó, chữ số tận cùng của T có thể là 0 hoặc 5.
Tuy nhiên, vì T chỉ chứa các thừa số lẻ nên T tận cùng là 5.
Ví dụ 2.5: Tìm chữ số tận cùng của:
a) S = 1 . 2 + 3 . 4 + 5 . 6 + 7 . 8 + 9 . 10;
b) T = 1 . 2 + 3 . 4 + 5 . 6 + 7 . 8 + 9 . 10 + 11 . 12 + … + 2011 . 2012.
Giải
a) S = 1 . 2 + 3 . 4 + 5 . 6 + 7 . 8 + 9 . 10 = 2 + 12 + 30 + 56 + 90.
Tổng này có chữ số tận cùng giống với chữ số tận cùng của 2 + 2 + 0 + 6 + 0 = 10.
Vậy S có chữ số tận cùng là 0.
b) Ta thấy các chữ số tận cùng của các số có quy luật lặp lại: 1; 2; 3; …; 10 rồi lại 1; 2; 3; …; 10.
Ta sẽ ghép các thành phần của T dựa theo quy luật này.
T = (1 . 2 + 3 . 4 + 5 . 6 + 7 . 8 + 9 . 10)
+ (11 . 12 + … + 19 . 20)
+ …
+ (2001 . 2002 + … + 2009 . 2010)
+ 2011 . 2012
Ngoại trừ tích 2011 . 2012 (cuối cùng) thì mỗi cụm ngoặc tròn trong cách ghép trên đây đều có chữ số tận cùng là 0. (Xem lại câu a)
Do đó, chữ số tận cùng của T giống với chữ số tận cùng của 2011 . 2012. Mà 2011 . 2012 lại có chữ số tận cùng giống với 1 . 2 = 2. Vậy chữ số tận cùng của T là 2.
Câu hỏi MỞ RỘNG
Ta vừa ghép các thành phần của T thành các cụm ngoặc tròn. Với cách ghép này, theo em thì có bao nhiêu cụm ngoặc tròn?
Hướng dẫn: Hãy để ý các số cuối cùng của các cụm này (10; 20; …; 2020).
Ví dụ 2.6: Tìm chữ số tận cùng của:
S = 1 + 1 . 2 + 1 . 2 . 3 + 1 . 2 . 3 . 4 + 1 . 2 . 3 . 4 . 5 + … + 1 . 2 . 3 … 2013.
Giải
S là một tổng mà các số hạng của nó lại là các tích số.
Để ý rằng các tích từ 1 . 2 . 3 . 4 . 5 cho đến 1 . 2 . 3 … 2013 đều chứa thừa số 2 và 5, cho nên các tích này đều có chữ số tận cùng là 0.
Do đó, chữ số tận cùng của S giống với chữ số tận cùng của 1 + 1 . 2 + 1 . 2 . 3 + 1 . 2 . 3 . 4 = 33.
Vậy S có chữ số tận cùng là 3.
3 – Tìm số chữ số 0 tận cùng
☘ Trong một tích, mỗi thừa số tròn chục sẽ tạo ra cho tích đó 1 chữ số 0 tận cùng; tròn trăm sẽ tạo ra 2 chữ số 0 tận cùng; …
☘ Trong một tích, mỗi thừa số 5 khi nhân với một thừa số 2 sẽ tạo ra cho tích đó một chữ số 0 tận cùng.
Ví dụ 3.1: Tìm số chữ số 0 tận cùng của tích:
T = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10.
Giải
Ta có:
T = (2 . 5) . 10 . (1 . 3 . 4 . 6 . 7 . 8 . 9) = 10 . 10 . (1 . 3 . 4 . 6 . 7 . 8 . 9).
Tích này chứa hai thừa số tròn chục (là 2 số 10) nên có 2 chữ số 0 tận cùng.
Ví dụ 3.2: Tìm số chữ số 0 tận cùng của:
a) S = (5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5) . (2 . 4);
b) T = (5 . 15 . 25 . 35) . (2 . 4 . 6) + 1 . 2 . 3 … 15.
Giải
a) Tích S chứa 6 thừa số 5.
Ta lại có: 2 . 4 = 2 . 2 . 2. Vậy S chứa 3 thừa số 2.
Mỗi thừa số 5 khi nhân với một thừa số 2 sẽ tạo ra cho S một chữ số 0 tận cùng. Mà số thừa số 5 lớn hơn số thừa số 2 nên số chữ số 0 tận cùng bằng với số thừa số 2.
Vậy S có 3 chữ số 0 tận cùng.
b) T có dạng một tổng của hai tích. Ta cần tìm số chữ số 0 tận cùng của mỗi tích này trước.
☑ Xét tích (5 . 15 . 25 . 35) . (2 . 4 . 6):
Vì 15 = 3 . 5 nên cung cấp 1 thừa số 5. Vì 25 = 5 . 5 nên cung cấp 2 thừa số 5. Vì 35 = 7 . 5 nên cung cấp 1 thừa số 5. Vậy ta có: 1 + 1 + 2 + 1 = 5 thừa số 5.
Vì 4 = 2 . 2 nên cung cấp 2 thừa số 2. Vì 6 = 2 . 3 nên cung cấp 1 thừa số 2. Vậy ta có: 1 + 2 + 1 = 4 thừa số 2.
Số thừa số 5 lớn hơn số thừa số 2 nên số chữ số 0 tận cùng của tích đang xét bằng với số thừa số 2.
Vậy (5 . 15 . 25 . 35) . (2 . 4 . 6) có 4 chữ số 0 tận cùng.
☑ Xét tích 1 . 2 . 3 … 15:
Các thừa số chia hết cho 5 là: 5; 10; 15. Mỗi thừa số này đều cung cấp 1 thừa số 5. Vậy có 3 thừa số 5.
Để ý rằng số thừa số chẵn trong tích trên nhiều hơn số thừa số 5 (vì cứ 5 số liên tiếp thì mới có 1 số chia hết cho 5, trong khi 2 số liên tiếp thì có 1 số chia hết cho 2).
Do đó số chữ số 0 tận cùng của tích đang xét bằng với số thừa số 5.
Vậy 1 . 2 . 3 … 15 có 3 chữ số 0 tận cùng.
☑ Vì (5 . 15 . 25 . 35) . (2 . 4 . 6) có 4 chữ số 0 tận cùng; và 1 . 2 . 3 … 15 có 3 chữ số 0 tận cùng nên tổng của chúng có 3 chữ số 0 tận cùng.
Tức là T có 3 chữ số 0 tận cùng.
☘ Nếu 0 < x < 125 và x chia hết cho 25 thì x cung cấp 2 thừa số 5. Nếu 125 ≤ x < 625 thì x cung cấp 3 thừa số 5 … (Với x là số tự nhiên).
Ví dụ 3.3: Tìm số chữ số 0 tận cùng của tích:
T = 1 . 2 . 3 . 4 … 100.
Giải
Các thừa số chia hết cho 5 là: 5; 10; 15; …; 100. Số lượng các số này là: (100 – 5) : 5 + 1 = 20 (số).
Trong đó các thừa số chia hết cho 5 kể trên thì:
- Các số 25; 50; 75 và 100, mỗi số đều cung cấp 2 thừa số 5. Vậy có 8 thừa số 5.
- Còn lại 20 – 4 = 16 số, mỗi số đều cung cấp 1 thừa số 5.
Vậy có tất cả là 8 + 16 = 24 thừa số 5.
Các thừa số chia hết cho 2 là: 2; 4; 6; …; 100. Số lượng các số này là: (100 – 2) : 2 + 1 = 50 (số).
Vì số thừa số 5 ít hơn số thừa số chia hết cho 2 nên số chữ số 0 tận cùng của T bằng với số thừa số 5.
Vậy T có 24 chữ số 0 tận cùng.
Lời kết cho PHẦN 1
Đến đây, các em đã trải qua một số dạng đơn giản của việc tìm CHỮ SỐ TẬN CÙNG, đặt “nền móng” cho các phần tiếp theo như: Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, Ứng dụng việc tìm chữ số tận cùng, ….
Hãy học đọc thật chậm, chắc chắn hiểu kỹ từng Ví dụ được nêu trên đây rồi khám phá tiếp PHẦN 2 nhé!
