Ở Phần 1, chúng ta đã biết cách tìm chữ số tận cùng của tổng và tích. Ở Phần 2 này, chúng ta tìm hiểu cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, dựa trên những gì đã học ở phần 1.
3 – Cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa
Một lũy thừa thực chất là một tích các thừa số giống nhau. Cho nên, muốn tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta áp dụng việc tìm chữ số tận cùng của tích.
3.1 – Tìm MỘT chữ số tận cùng của lũy thừa
Ví dụ 3.1.1: Tìm chữ số tận cùng của 202122.
Giải
202122 thực chất là tích của 22 số 2021. Do đó, chữ số tận cùng của 202122 giống với chữ số tận cùng của 122 = 1.
Vậy 202122 có chữ số tận cùng là 1.
Nhận xét:
☘ Các số tận cùng là 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa n (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng:
(…0)n = …0 ; (…1)n = …1 ; (…5)n = …5 ; (…6)n = …6
☘ Với các số tận cùng khác 0; 1; 5; 6, ta đưa về số có tận cùng là 1 hoặc 6:
(…2)4 = …6 ; (…3)4 = …1 ; (…4)2 = …6 ; (…7)4 = …1 ; (…8)4 = …6 ; (…9)2 = …1
Ví dụ 3.1.2: Tìm chữ số tận cùng của:
a) 202219
b) 202321
Giải
a) 202219 = 202216 . 20223
= 20224 . 20224 . 20224 . 20224 . 20223
= (20224)4 . 20223
= (…6)4 . (…8)
= (…6) . (…8)
= …8
Vậy 202219 có chữ số tận cùng bằng 8.
b) 202321 = (20234)5 . 2023
= (…1)5 . (…3) = (…1) . (…3) = …3.
Vậy 202321 có chữ số tận cùng là 3.
3.2 – Tìm HAI chữ số tận cùng của lũy thừa
☘ Các số tận cùng là 00; 01; 25; 76 khi nâng lên lũy thừa n (khác 0) vẫn giữ nguyên hai chữ số tận cùng:
(…00)n = …00 ; (…01)n = …01 ; (25)n = …25 ; (…76)n = …76
☘ Với những trường hợp khác, ta thường nâng lên lũy thừa thích hợp để được số có tận cùng là 01 hoặc 76:
+) Các số 320 (= 815); 74; 512; 992 tận cùng bằng 01;
+) Các số 220; 65; 184; 242; 684; 742 tận cùng bằng 76;
+) Số 26n (n > 1) tận cùng bằng 76.
Ví dụ 3.2.1: Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 2100
b) 71991
Giải
a) 2100 = (220)5 = (…76)5 = …76.
Vậy 2100 có hai chữ số tận cùng là 76.
b) 71991 = (74)497 . 73 = (…01)497 . 343
= (…01) . 343 = …43.
Vậy 71991 có hai chữ số tận cùng là 43.
4 – Một số ứng dụng của việc tìm chữ số tận cùng
Kiểm tra tính chia hết:
Ví dụ 4.1: Chứng minh rằng 8102 – 2102 chia hết cho 10.
Giải
Ta có:
8102 = (84)25 . 82 = (…6)25 . 64 = (…6) . 64 = …4
2102 = (24)25 . 22 = (…6)25 . 4 = (…6) . 4 = …4
Vậy 8102 – 2102 tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10.
Chứng minh một biểu thức là hợp số:
Ví dụ 4.2: Chứng minh rằng 27+311+513+717+1119 là hợp số.
Giải
Ta thấy:
27 = 24 . 23 = (…6) . 8 = …8
311 = (34)2 . 33 = (…1)2 . 27 = (…1) . 27 = …7
513 = …5
717 = (74)4 . 7 = (…1)4 . 7 = …7
1119 = …1
Do đó: 27+311+513+717+1119 có chữ số tận cùng là 8.
Suy ra 27+311+513+717+1119 chia hết cho 2.
Vậy, đây là hợp số.
Xem lại PHẦN 1 tại đây.
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Chứng minh rằng 175 + 244 – 1321 chia hết cho 10.
Bài tập 2: Cho A = 2 + 22 + 23 + … + 220.
Tìm chữ số tận cùng của A.
Bài tập 3: Chứng minh rằng 1+2123+23124+25125 là hợp số.