[T6-NC] Dạng Toán nâng cao về RÚT GỌN PHÂN SỐ.

Chia sẻ nếu thấy hay:

1 – Rút gọn phân số

Muốn rút gọn phân số, ta dựa vào tính chất cơ bản của phân số là:

🤔 Tính chất 1: Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.

$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m}$$

với $m \in \mathbb{Z}, m \neq 0$.

🤔 Tính chất 2: Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.

$$\frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}$$

với $n \in ƯC(a, b)$.

Ví dụ 1.1: Rút gọn phân số $\Large \frac{187187187}{221221221}$.

Giải

Tử gồm cụm số “187” lặp lại ba lần nên nó chia hết cho 187. Ta có: 187187187 : 187 = 1001001. Suy ra: 187187187 : 1001001 = 187.

Tương tự: 221221221 : 1001001 = 221.

Vậy ta rút gọn phân số như sau:

$\Large \frac{187187187}{221221221}$ = $\Large \frac{187187187 : 1001001}{221221221 : 1001001}$ = $\Large \frac{187}{221}$

Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng phân số sau đây có giá trị là một số tự nhiên:

$$\frac{10^{2002} + 2}{3}$$

Giải

Ta chỉ cần chứng minh rằng tử chia hết cho mẫu thì phân số sẽ có giá trị là một số tự nhiên. Tức là cần chứng minh $10^{2002} + 2$ chia hết cho 3.

Ta thấy: $10^{2002} + 2 = 100 \cdots 002$ (có 2001 chữ số 0 trong kết quả). Vậy tổng các chữ số bằng 3, nên $10^{2002} + 2$ chia hết cho 3.

2 – Phân số tối giản

Không kể đến dấu, nếu ƯCLN của tử và mẫu bằng 1 thì phân số đó tối giản.

Ngược lại, nếu tử và mẫu còn có một ước nào khác 1 và -1 thì phân số đó chưa tối giản (hay còn gọi là rút gọn được).

Ví dụ 2.1: Chứng minh rằng phân số sau đây là phân số tối giản với mọi số tự nhiên $n$:

$$\frac{n + 1}{2n + 3}$$

Giải

Cần chứng minh rằng ƯCLN của $n+1$ và $2n+3$ bằng 1.

Gọi $d$ là ước chung của $n+1$ và $2n + 3$. Khi đó, $n+1$ và $2n + 3$ đều chia hết cho $d$.

Vì $n+1\; \vdots\; d$ nên $2(n+1)\; \vdots\; d$.

Vì $2(n+1)\; \vdots\; d$ và $2n + 3 \;\vdots\; d$ nên $(2n + 3) – 2(n + 1)\; \vdots\; d$.

Suy ra, $1 \;\vdots\; d$. Vậy $d = 1$.

Do đó, phân số đã cho tối giản.

Ví dụ 2.2: Viết các phân số tối giản $\Large \frac{a}{b}$ với $a, b$ là các số nguyên dương và $ab = 100$.

Giải

$ab = 100$ nên $a$ là các ước (dương) của 100 và $b = 100 : a$.

Ư(100) = {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100}

Nếu $a = 1$ thì $b= 100 : 1 = 100$. Phân số $\Large \frac{1}{100}$ là phân số tối giản. (nhận)

Nếu $a = 2$ thì $b = 50$. Phân số $\Large \frac{2}{50}$ chưa tối giản nên loại trường hợp này.

Làm tương tự cho các trường hợp còn lại của $a$, ta có được các phân số thỏa mãn đề bài là:

$$\frac{1}{100}; \frac{4}{25}; \frac{25}{4}; \frac{100}{1}$$

Ví dụ 2.3: Tìm các số tự nhiên $n$ để phân số sau là phân số tối giản:

$$\frac{3n + 2}{7n + 1}$$

Giải

Gọi $d$ là ước chung của $3n + 2$ và $7n + 1$ (tức là ước chung của tử và mẫu).

Khi đó:

+) $3n + 2 \;\vdots \;d$, nên $7(3n + 2)\; \vdots \;d$;

+) $7n + 1 \;\vdots \;d$, nên $3(7n + 1) \;\vdots \;d$.

Do đó: $7(3n + 2) – 3(7n + 1)\; \vdots \;d$.

Mà $7(3n+2) – 3(7n+1)$ = $(21n + 14) – (21n + 3)$ = $21n + 14 – 21n – 3$ = $11$.

Suy ra: $11\; \vdots \; d$. Vậy $d = 1$ hoặc $d = 11$.

Đề yêu cầu tìm $n$ để phân số tối giản nên ta cần loại bỏ các số $n$ làm cho tử và mẫu nhận $d = 11$ là ước chung.

Ta thấy: $3n + 2 \;\vdots\; 11$ (khi đó $7n + 1$ cũng chia hết cho 11) $\Leftrightarrow$ $3n + 2 – 11 \;\vdots\; 11$ $\Leftrightarrow$ $3(n – 3)\; \vdots\; 11$ $\Leftrightarrow$ $n – 3 \;\vdots\; 11$ $\Leftrightarrow$ $n = 11k + 3 (k \in \mathbb{N})$

Vậy nếu $n \neq 11k + 3$ thì phân số tối giản.

3 – Dạng tổng quát của các phân số bằng phân số cho trước

Nếu $\Large \frac{m}{n}$ là phân số tối giản thì một phân số bằng nó phải có dạng $\Large \frac{mk}{nk}$, với $k$ là số nguyên khác 0.

Ví dụ 3.1: Viết dạng tổng quát của các phân số bằng với phân số $\Large \frac{20}{45}$.

Giải

Trước tiên, ta đưa phân số đã cho về dạng tối giản:

$$\frac{20}{45} = \frac{20 : 5}{45:5} = \frac{4}{9}$$

Do đó, dạng tổng quát của các phân số bằng với phân số đã cho là:

$$\frac{4k}{9k}, 0 \neq k \in \mathbb{Z}$$

Ví dụ 3.2: Tìm một phân số bằng với phân số $\Large \frac{18}{30}$, nhưng có tử kém mẫu 8 đơn vị.

Giải

Rút gọn: $\Large \frac{18}{30}$ = $\Large \frac{3}{5}$.

Do đó, phân số cần tìm có dạng $\Large \frac{3k}{5k}$, với $k$ là số nguyên khác 0.

Vì “tử kém mẫu 8 đơn vị” nên $5k – 3k = 8$. Suy ra $k = 4$.

Vậy phân số cần tìm là $\Large \frac{12}{20}$.

Ví dụ 3.3: Tìm các số tự nhiên $a$ và $b$, biết rằng $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{132}{143}$ và BCNN(a, b) = 1092.

Giải

$$\frac{a}{b} = \frac{132}{143} = \frac{12}{13}$$

Do đó: $a = 12k$ và $b = 13k$, với $k\in \mathbb{N}$.

Ta có: $BCNN(a, b)$ = $BCNN(12k, 13k)$ = $12 \cdot 13k$.

Theo đề bài, $BCNN(a, b)$ = 1092.

Do đó: $12 \cdot 13k = 1092$.

Suy ra: $k = 7$.

Vậy $a = 12 \cdot 7 = 84$ và $b = 13 \cdot 7 = 91$.

Ví dụ 3.4: Tìm các phân số $\Large \frac{a}{b}$ có giá trị bằng $\Large \frac{21}{35}$, biết $ƯCLN(a, b) = 30$.

Giải

Ta có:

$$\frac{a}{b} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}$$

ƯCLN(a, b) = 30 nên khi rút gọn phân số $\Large \frac{a}{b}$ về dạng tối giản là $\Large \frac{3}{5}$ thì ta đã chia cả $a$ và $b$ cho 30.

Do đó: $a = 3 \cdot 30 = 90$ và $b = 5 \cdot 30 = 150$.

Phân số cần tìm là $\Large \frac{90}{150}$.

Chia sẻ nếu thấy hay:
0 0 đánh giá
Đánh giá bài viết
Theo dõi
Thông báo của
guest

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

0 Góp ý
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Rất thích suy nghĩ của bạn, hãy bình luận.x