1 – Rút gọn phân số
Muốn rút gọn phân số, ta dựa vào tính chất cơ bản của phân số là:
🤔 Tính chất 1: Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.
$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m}$$
với $m \in \mathbb{Z}, m \neq 0$.
🤔 Tính chất 2: Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.
$$\frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}$$
với $n \in ƯC(a, b)$.
Ví dụ 1.1: Rút gọn phân số $\Large \frac{187187187}{221221221}$.
Giải
Tử gồm cụm số “187” lặp lại ba lần nên nó chia hết cho 187. Ta có: 187187187 : 187 = 1001001. Suy ra: 187187187 : 1001001 = 187.
Tương tự: 221221221 : 1001001 = 221.
Vậy ta rút gọn phân số như sau:
$\Large \frac{187187187}{221221221}$ = $\Large \frac{187187187 : 1001001}{221221221 : 1001001}$ = $\Large \frac{187}{221}$
Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng phân số sau đây có giá trị là một số tự nhiên:
$$\frac{10^{2002} + 2}{3}$$
Giải
Ta chỉ cần chứng minh rằng tử chia hết cho mẫu thì phân số sẽ có giá trị là một số tự nhiên. Tức là cần chứng minh $10^{2002} + 2$ chia hết cho 3.
Ta thấy: $10^{2002} + 2 = 100 \cdots 002$ (có 2001 chữ số 0 trong kết quả). Vậy tổng các chữ số bằng 3, nên $10^{2002} + 2$ chia hết cho 3.
2 – Phân số tối giản
Không kể đến dấu, nếu ƯCLN của tử và mẫu bằng 1 thì phân số đó tối giản.
Ngược lại, nếu tử và mẫu còn có một ước nào khác 1 và -1 thì phân số đó chưa tối giản (hay còn gọi là rút gọn được).
Ví dụ 2.1: Chứng minh rằng phân số sau đây là phân số tối giản với mọi số tự nhiên $n$:
$$\frac{n + 1}{2n + 3}$$
Giải
Cần chứng minh rằng ƯCLN của $n+1$ và $2n+3$ bằng 1.
Gọi $d$ là ước chung của $n+1$ và $2n + 3$. Khi đó, $n+1$ và $2n + 3$ đều chia hết cho $d$.
Vì $n+1\; \vdots\; d$ nên $2(n+1)\; \vdots\; d$.
Vì $2(n+1)\; \vdots\; d$ và $2n + 3 \;\vdots\; d$ nên $(2n + 3) – 2(n + 1)\; \vdots\; d$.
Suy ra, $1 \;\vdots\; d$. Vậy $d = 1$.
Do đó, phân số đã cho tối giản.
Ví dụ 2.2: Viết các phân số tối giản $\Large \frac{a}{b}$ với $a, b$ là các số nguyên dương và $ab = 100$.
Giải
$ab = 100$ nên $a$ là các ước (dương) của 100 và $b = 100 : a$.
Ư(100) = {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100}
Nếu $a = 1$ thì $b= 100 : 1 = 100$. Phân số $\Large \frac{1}{100}$ là phân số tối giản. (nhận)
Nếu $a = 2$ thì $b = 50$. Phân số $\Large \frac{2}{50}$ chưa tối giản nên loại trường hợp này.
Làm tương tự cho các trường hợp còn lại của $a$, ta có được các phân số thỏa mãn đề bài là:
$$\frac{1}{100}; \frac{4}{25}; \frac{25}{4}; \frac{100}{1}$$
Ví dụ 2.3: Tìm các số tự nhiên $n$ để phân số sau là phân số tối giản:
$$\frac{3n + 2}{7n + 1}$$
Giải
Gọi $d$ là ước chung của $3n + 2$ và $7n + 1$ (tức là ước chung của tử và mẫu).
Khi đó:
+) $3n + 2 \;\vdots \;d$, nên $7(3n + 2)\; \vdots \;d$;
+) $7n + 1 \;\vdots \;d$, nên $3(7n + 1) \;\vdots \;d$.
Do đó: $7(3n + 2) – 3(7n + 1)\; \vdots \;d$.
Mà $7(3n+2) – 3(7n+1)$ = $(21n + 14) – (21n + 3)$ = $21n + 14 – 21n – 3$ = $11$.
Suy ra: $11\; \vdots \; d$. Vậy $d = 1$ hoặc $d = 11$.
Đề yêu cầu tìm $n$ để phân số tối giản nên ta cần loại bỏ các số $n$ làm cho tử và mẫu nhận $d = 11$ là ước chung.
Ta thấy: $3n + 2 \;\vdots\; 11$ (khi đó $7n + 1$ cũng chia hết cho 11) $\Leftrightarrow$ $3n + 2 – 11 \;\vdots\; 11$ $\Leftrightarrow$ $3(n – 3)\; \vdots\; 11$ $\Leftrightarrow$ $n – 3 \;\vdots\; 11$ $\Leftrightarrow$ $n = 11k + 3 (k \in \mathbb{N})$
Vậy nếu $n \neq 11k + 3$ thì phân số tối giản.
3 – Dạng tổng quát của các phân số bằng phân số cho trước
Nếu $\Large \frac{m}{n}$ là phân số tối giản thì một phân số bằng nó phải có dạng $\Large \frac{mk}{nk}$, với $k$ là số nguyên khác 0.
Ví dụ 3.1: Viết dạng tổng quát của các phân số bằng với phân số $\Large \frac{20}{45}$.
Giải
Trước tiên, ta đưa phân số đã cho về dạng tối giản:
$$\frac{20}{45} = \frac{20 : 5}{45:5} = \frac{4}{9}$$
Do đó, dạng tổng quát của các phân số bằng với phân số đã cho là:
$$\frac{4k}{9k}, 0 \neq k \in \mathbb{Z}$$
Ví dụ 3.2: Tìm một phân số bằng với phân số $\Large \frac{18}{30}$, nhưng có tử kém mẫu 8 đơn vị.
Giải
Rút gọn: $\Large \frac{18}{30}$ = $\Large \frac{3}{5}$.
Do đó, phân số cần tìm có dạng $\Large \frac{3k}{5k}$, với $k$ là số nguyên khác 0.
Vì “tử kém mẫu 8 đơn vị” nên $5k – 3k = 8$. Suy ra $k = 4$.
Vậy phân số cần tìm là $\Large \frac{12}{20}$.
Ví dụ 3.3: Tìm các số tự nhiên $a$ và $b$, biết rằng $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{132}{143}$ và BCNN(a, b) = 1092.
Giải
$$\frac{a}{b} = \frac{132}{143} = \frac{12}{13}$$
Do đó: $a = 12k$ và $b = 13k$, với $k\in \mathbb{N}$.
Ta có: $BCNN(a, b)$ = $BCNN(12k, 13k)$ = $12 \cdot 13k$.
Theo đề bài, $BCNN(a, b)$ = 1092.
Do đó: $12 \cdot 13k = 1092$.
Suy ra: $k = 7$.
Vậy $a = 12 \cdot 7 = 84$ và $b = 13 \cdot 7 = 91$.
Ví dụ 3.4: Tìm các phân số $\Large \frac{a}{b}$ có giá trị bằng $\Large \frac{21}{35}$, biết $ƯCLN(a, b) = 30$.
Giải
Ta có:
$$\frac{a}{b} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}$$
ƯCLN(a, b) = 30 nên khi rút gọn phân số $\Large \frac{a}{b}$ về dạng tối giản là $\Large \frac{3}{5}$ thì ta đã chia cả $a$ và $b$ cho 30.
Do đó: $a = 3 \cdot 30 = 90$ và $b = 5 \cdot 30 = 150$.
Phân số cần tìm là $\Large \frac{90}{150}$.