[BT-T7-1.1#2] Bài tập SO SÁNH CÁC SỐ HỮU TỶ.

Sau đây là các bài tập TOÁN về SO SÁNH CÁC SỐ HỮU TỶ dành cho học sinh lớp 7. Trước khi làm bài tập, nên xem lại lý thuyết trong các bài liên quan:

Các dạng bài tập thường gặp:

Dạng 1: So sánh hai số hữu tỷ

Bài tập 1.1: So sánh các số hữu tỷ:

a) $\dfrac{3}{7}$ và $\dfrac{2}{5}.$

b) $\dfrac{-4}{3}$ và $\dfrac{-5}{4}.$

c) $\dfrac{-6}{8}$ và $\dfrac{7}{-14}.$

Bài tập 1.2: So sánh các số hữu tỷ:

a) $-1,362$ và $-1,358.$

b) $11,26$ và $12,97.$

Bài tập 1.3: So sánh các số hữu tỷ:

a) $-1,5$ và $-\dfrac{8}{5}.$

b) $\dfrac{5}{6}$ và $0,84.$

c) $-1,2$ và $\dfrac{8}{-7}.$

Bài tập 1.4: So sánh:

a) $-2\dfrac{1}{5}$ và $\dfrac{110}{-50}.$

b) $\dfrac{-5}{8}$ và $\dfrac{-91}{130}.$

c) $\dfrac{-25}{35}$ và $\dfrac{444}{-777}.$

d) $\dfrac{52}{117}$ và $\dfrac{9}{17}.$

Dạng 2: Áp dụng tính chất bắc cầu

Bài tập 2.1: So sánh:

a) $\dfrac{-123}{456}$ và $\dfrac{-78}{-91011}.$

b) $\dfrac{68}{67}$ và $\dfrac{67}{68}.$

Bài tập 2.2: So sánh:

a) $3,5$ và $\dfrac{35}{17}.$

b) $\dfrac{-19}{2022}$ và $\dfrac{-31}{3033}.$

Bài tập 2.3: So sánh:

a) $\dfrac{2021}{2022}$ và $\dfrac{2022}{2023}.$

b) $\dfrac{2022}{2021}$ và $\dfrac{2023}{2022}.$

Dạng 3: Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần (hoặc giảm dần)

Bài tập 3.1: Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự tăng dần: $\dfrac{4}{9}; \dfrac{-2}{3}; \dfrac{3}{7}; 0; \dfrac{-3}{4}.$

Bài tập 3.2: Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự giảm dần: $0,5; \dfrac{-7}{9}; 0; \dfrac{2}{3}; \dfrac{-5}{6}.$

Dạng 4: Tìm số thuộc một khoảng giá trị

Bài tập 4.1: Tìm tất cả các số nguyên $x$ thỏa mãn:

a) $\dfrac{7}{23} < \dfrac{x}{23} < \dfrac{11}{23}.$

b) $\dfrac{-11}{12} \geq \dfrac{x}{12} \geq \dfrac{-17}{12}.$

Bài tập 4.2: Tìm tất cả các số nguyên $x$ thỏa mãn:

a) $\dfrac{-4}{5} > \dfrac{x}{5} \geq \dfrac{9}{-5}.$

b) $\dfrac{-3}{8} < \dfrac{a}{10} < \dfrac{3}{5}.$

c) $\dfrac{-5}{12} < \dfrac{a}{5} \leq 0,25.$

Bài tập 4.3: Tìm các số hữu tỷ có mẫu là $15,$ lớn hơn $\dfrac{-7}{10}$ và nhỏ hơn $\dfrac{-9}{20}.$

Bài tập 4.4: Tìm tất cả các số nguyên $x$ thỏa mãn:

a) $\dfrac{1}{9} < \dfrac{12}{a} < \dfrac{3}{2}.$

b) $\dfrac{-1}{2} > \dfrac{12}{a} > \dfrac{4}{-3}.$

Bài tập 4.5: Tìm các số hữu tỷ có tử là $4,$ lớn hơn $\dfrac{2}{5}$ và nhỏ hơn $\dfrac{6}{7}.$

Bài tập 4.6: Tìm năm phân số lớn hơn $\dfrac{1}{5}$ và nhỏ hơn $\dfrac{3}{8}.$

Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức

Bài tập 5.1: Cho các số nguyên $a, b, c, d$ thỏa mãn: $b>0,$ $d>0$ và $ad > bc$ Chứng minh rằng $\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}.$

Áp dụng BT5.1: So sánh hai số hữu tỷ: $\dfrac{231}{45}$ và $\dfrac{123}{36}.$

Bài tập 5.2: Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a>b.$ Em hãy so sánh hai số hữu tỷ: $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{a+1}{b+1}.$

Áp dụng BT5.2: So sánh hai số hữu tỷ: $\dfrac{145}{178}$ và $\dfrac{146}{179}.$

Đáp án các bài tập:

Dạng 1:

Bài tập 1.1:

a) Ta có: $\dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{35}$ và $\dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{35}.$ Mà $\dfrac{15}{35} > \dfrac{14}{35}$ nên $\dfrac{3}{7} > \dfrac{2}{5}.

b) Ta có: $\dfrac{-4}{3} = \dfrac{-16}{12}$ và $\dfrac{-5}{4} = \dfrac{-15}{12}.$ Mà $\dfrac{-16}{12} < \dfrac{-15}{12}$ nên $\dfrac{-4}{3} < \dfrac{-5}{4}.$

c) Ta có: $\dfrac{-6}{8} = \dfrac{-3}{4}$ và $\dfrac{7}{-14} = \dfrac{-1}{2} = \dfrac{-2}{4}.$ Mà $\dfrac{-3}{4} < \dfrac{-2}{4}$ nên $\dfrac{-6}{8} < \dfrac{7}{-14}.$

Bài tập 1.2:

a) $-1,362 < -1,358.$

b) $11,26 < 12,97.$

Bài tập 1.3:

a) Ta có: $-\dfrac{8}{5} = -1,6 < -1,5.$

Vậy $-\dfrac{8}{5} < -1,5.$

b) Ta có: $\dfrac{5}{6} = \dfrac{125}{150}$ và $0,84 = \dfrac{84}{100} = \dfrac{21}{25} = \dfrac{126}{150}.$

Mà $\dfrac{125}{150} < \dfrac{126}{150}$

Nên $\dfrac{5}{6} < 0,84.$

c) Ta có: $-1,2 = \dfrac{-12}{10} = \dfrac{-6}{5} = \dfrac{-42}{35}$ và $\dfrac{8}{-7} = \dfrac{-8}{7} = \dfrac{-40}{35}.$

Mà $\dfrac{-42}{35} < \dfrac{-40}{35}$ nên $-1,2 < \dfrac{8}{-7}.$

Bài tập 1.4:

a) Ta có: $-2\dfrac{1}{5} = -\dfrac{11}{5}$ và $\dfrac{110}{-50} = \dfrac{-11}{5}.$ Do đó: $-2\dfrac{1}{5} = \dfrac{110}{-50}.$

b) Ta có: $\dfrac{-5}{8} = -0,625$ và $\dfrac{-91}{130} = \dfrac{-7}{10} = -0,7.$ Mà $-0,625 > -0,7$ nên $\dfrac{-5}{8} > \dfrac{-91}{130}.$

c) Ta có: $\dfrac{-25}{35} = \dfrac{-5}{7}$ và $\dfrac{444}{-777} = \dfrac{-4}{7}.$ Mà $\dfrac{-5}{7} < \dfrac{-4}{7}$ nên $\dfrac{-25}{35} < \dfrac{444}{-777}.$

d) Ta có: $\dfrac{52}{117}=\dfrac{4}{9} = \dfrac{68}{153}$ và $\dfrac{9}{17} = \dfrac{81}{153}.$ Mà $\dfrac{68}{153} < \dfrac{81}{153}$ nên $\dfrac{52}{117} < \dfrac{9}{17}.$

Dạng 2:

Bài tập 2.1:

a) Ta có: $\dfrac{-123}{456} < 0$ và $\dfrac{-78}{-91011} = \dfrac{78}{91011} > 0.$ Do đó, theo tính chất bắc cầu, ta có $\dfrac{-123}{456} < \dfrac{-78}{-91011}.$

b) Ta có: $\dfrac{68}{67} > 1$ và $\dfrac{67}{68} < 1$ nên $\dfrac{67}{68} < \dfrac{68}{67}.$

Bài tập 2.2:

a) Ta có: $3,5 = \dfrac{35}{10} > \dfrac{35}{17}.$ Vậy $3,5 > \dfrac{35}{17}.$

b) Ta có: $\dfrac{-19}{2022} > \dfrac{-20}{2022} = \dfrac{-10}{1011}$ và $\dfrac{-31}{3033} < \dfrac{-30}{3033} = \dfrac{-10}{1011}.$

Vậy $\dfrac{-19}{2022} > \dfrac{-10}{1011} > \dfrac{-31}{3033}.$

Do đó: $\dfrac{-19}{2022} > \dfrac{-31}{3033}.$

Bài tập 2.3:

a) $\dfrac{2021}{2022} = \dfrac{2022 – 1}{2022} = 1 – \dfrac{1}{2022}$ và $\dfrac{2022}{2023} = \dfrac{2023 – 1}{2023} = 1-\dfrac{1}{2023}.$

Mặt khác, $\dfrac{1}{2022} > \dfrac{1}{2023}$ nên $1-\dfrac{1}{2022} < 1-\dfrac{1}{2023}.$

Vậy $\dfrac{2021}{2022} = 1-\dfrac{1}{2022} < 1-\dfrac{1}{2023} = \dfrac{2022}{2023}.$

Do đó: $\dfrac{2021}{2022} < \dfrac{2022}{2023}.$

b) Ta có: $\dfrac{2022}{2021} = \dfrac{2021+1}{2021} = 1+\dfrac{1}{2021}$ và $\dfrac{2023}{2022} = \dfrac{2022 + 1}{2022} = 1+\dfrac{1}{2022}.$

Mà $1+\dfrac{1}{2021} > 1+\dfrac{1}{2022}$ nên $\dfrac{2022}{2021} > \dfrac{2023}{2022}.$

Dạng 3:

Bài tập 3.1: Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự tăng dần: $\dfrac{4}{9}; \dfrac{-2}{3}; \dfrac{3}{7}; 0; \dfrac{-3}{4}.$

+) So sánh các số âm:

Ta có: $\dfrac{-2}{3} = \dfrac{-8}{12}$ và $\dfrac{-3}{4} = \dfrac{-9}{12}.$

Mà $\dfrac{-8}{12} > \dfrac{-9}{12}$ nên $\dfrac{-2}{3} > \dfrac{-3}{4}.$

+) So sánh các số dương:

Ta có: $\dfrac{4}{9} = \dfrac{28}{63}$ và $\dfrac{3}{7} = \dfrac{27}{63}.$

Mà $\dfrac{28}{63} > \dfrac{27}{63}$ nên $\dfrac{4}{9} > \dfrac{3}{7}.$

+) Kết luận:

Các số sắp theo thứ tự tăng dần là: $\dfrac{-3}{4} < \dfrac{-2}{3} < 0 < \dfrac{3}{7} < \dfrac{4}{9}.$

Bài tập 3.2: Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự giảm dần: $0,5; \dfrac{-7}{9}; 0; \dfrac{2}{3}; \dfrac{-5}{6}.$

+) So sánh các số âm:

Ta có: $\dfrac{-7}{9} = \dfrac{-14}{18}$ và $\dfrac{-5}{6} = \dfrac{-15}{18}.$

Mà $\dfrac{-14}{18} > \dfrac{-15}{18}$ nên $\dfrac{-7}{9} > \dfrac{-5}{6}.$

+) So sánh các số dương:

Ta có: $0,5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$ và $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}.$

Mà $\dfrac{3}{6} < \dfrac{4}{6}$ nên $0,5 < \dfrac{2}{3}.$

+) Kết luận:

Các số sắp theo thứ tự giảm dần là: $\dfrac{2}{3} > 0,5 > 0 > \dfrac{-7}{9} > \dfrac{-5}{6}.$

Dạng 4:

Bài tập 4.1:

a) $x\in\left\{ 8; 9; 10\right\}.$

b) $x\in \left\{-11; -12; -13; -14; -15; -16; -17\right\}.$

Bài tập 4.2:

a) $\dfrac{-4}{5} > \dfrac{x}{5} \geq \dfrac{9}{-5}$ viết lại là $\dfrac{-4}{5} > \dfrac{x}{5} \geq \dfrac{-9}{5}.$ Do đó $x\in \left\{-5; -6; -7; -8; -9\right\}.$

b) Ta có: $\dfrac{-3}{8} = \dfrac{-15}{40},$ $\dfrac{a}{10} = \dfrac{4a}{40}$ và $\dfrac{3}{5} = \dfrac{24}{40}.$

Do đó đề bài được viết lại là: $\dfrac{-15}{40} < \dfrac{4a}{40} < \dfrac{24}{40}.$

Suy ra $-15 < 4a < 24.$ Do đó $4a \in \left\{ -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16; 20\right\}$ (vì $4a$ chia hết cho $4)$

Suy ra: $a\in \left\{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\right\}.$

c) $\dfrac{-5}{12} < \dfrac{a}{5} \leq 0,25$ viết lại là $\dfrac{-25}{60} < \dfrac{12a}{60} \leq \dfrac{15}{60}.$

Suy ra: $-25 < 12a \leq 15.$

Vì $12a$ chia hết cho $12$ nên $12a \in \left\{ -24; -12; 0; 12\right\}.$

Suy ra: $a\in \left\{ -2; -1; 0; 1\right\}.$

Bài tập 4.3: Gọi số hữu tỷ có mẫu là $15$ là: $\dfrac{a}{15},$ với $a\in\mathbb{Z}.$

Số hữu tỷ đó lớn hơn $\dfrac{-7}{10}$ và nhỏ hơn $\dfrac{-9}{20}$ nên ta có: $\dfrac{-7}{10} < \dfrac{a}{15} < \dfrac{-9}{20}$ hay $\dfrac{-42}{60} < \dfrac{4a}{60} < \dfrac{-27}{60}.$

Do đó: $-42 < 4a < -27.$ Mà $4a$ chia hết cho $4$ nên $4a\in \left\{ -40; -36; -32; -28\right\}.$

Suy ra: $a\in \left\{ -10; -9; -8; -7\right\}.$

Vậy các số hữu tỷ cần tìm là: $\dfrac{-10}{15};$ $\dfrac{-9}{15};$ $\dfrac{-8}{15};$ $\dfrac{-7}{15}.$

Bài tập 4.4:

a) Ta có: $\dfrac{1}{9} = \dfrac{12}{108};$ $\dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{8}.$

Vậy $\dfrac{1}{9} < \dfrac{12}{a} < \dfrac{3}{2}$ được viết lại là: $\dfrac{12}{108} < \dfrac{12}{a} < \dfrac{12}{8}.$

Suy ra: $108 > a > 8.$

Vậy $a \in \left\{ 9; 10; 11; … 106; 107\right\}$ (các số nguyên từ $9$ đến $107).$

b) Ta có: $\dfrac{-1}{2} = \dfrac{12}{-24};$ $\dfrac{4}{-3} = \dfrac{12}{-9}.$

Vậy $\dfrac{-1}{2} > \dfrac{12}{a} > \dfrac{4}{-3}$ được viết lại là: $\dfrac{12}{-24} > \dfrac{12}{a} > \dfrac{4}{-3}.$

Suy ra: $-24 < a < -3.$

Vậy $a\in \left\{ -23; -22; -21; …; -1; -2\right\}.$

Bài tập 4.5: Số hữu tỷ cần tìm có tử là $4$ nên nó có dạng $\dfrac{4}{a}$ (với $a$ là số nguyên khác $0).$

Số hữu tỷ đó lớn hơn $\dfrac{2}{5}$ và nhỏ hơn $\dfrac{6}{7}$ nên ta có: $\dfrac{2}{5} < \dfrac{4}{a} < \dfrac{6}{7}$ hay $\dfrac{12}{30} < \dfrac{12}{3a} < \dfrac{12}{14}.$

Suy ra: $30 > 3a > 14.$

Mà $3a$ chia hết cho $3$ nên suy ra: $3a \in \left\{ 27; 24; 21; 18; 15\right\}.$

Do đó: $a\in \left\{ 9; 8; 7; 6; 5\right\}.$ Tức các số hữu tỷ cần tìm là: $\dfrac{4}{9};$ $\dfrac{4}{8};$ $\dfrac{4}{7};$ $\dfrac{4}{6};$ $\dfrac{4}{5}.$

Bài tập 4.6: Năm phân số cần tìm lớn hơn $\dfrac{1}{5} = 0,2$ và nhỏ hơn $\dfrac{3}{8} = 0,375$ nên ta có thể chọn năm số thập phân lớn hơn $0,2$ và nhỏ hơn $0,375$ rồi đổi các số thập phân này thành phân số.

Chẳng hạn: $0,21; 0,22; 0,23; 0,24; 0,25$ đều lớn hơn $0,2$ và nhỏ hơn $0,375.$

Do đó, năm phân số cần tìm là $\dfrac{21}{100};$ $\dfrac{22}{100};$ $\dfrac{23}{100};$ $\dfrac{24}{100};$ $\dfrac{25}{100}$ đều lớn hơn $\dfrac{1}{5}$ và nhỏ hơn $\dfrac{3}{8}.$

Dạng 5:

Bài tập 5.1: Ta có: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{ad}{bd}\;\;\; (1)$ và $\dfrac{c}{d} = \dfrac{bc}{bd}\;\;\; (2)$

Theo đề:

• $b>0, d> 0$ nên $bd>0.$
• $ad>bc$

Do đó: $\dfrac{ad}{bd}> \dfrac{bc}{bd}\;\;\; (3)$

Từ $(1), (2), (3)$ ta suy ra: $\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}.$

Áp dụng BT5.1: So sánh hai số hữu tỷ: $\dfrac{231}{45}$ và $\dfrac{123}{36}.$

Ta có: $231\cdot 36 = 8316$ và $45\cdot 123 = 5535.$ Vậy $231\cdot 36 > 45\cdot 123.$

Áp dụng Bài tập 5.1, ta có: $\dfrac{231}{45} > \dfrac{123}{36}.$

Bài tập 5.2: Ta có: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a(b+1)}{b(b+1)} = \dfrac{ab + a}{b(b+1)}$ và $\dfrac{a+1}{b+1} = \dfrac{b(a+1)}{b(b+1)} = \dfrac{ab+b}{b(b+1)}.$

Theo đề:

• $b$ là số nguyên dương nên $b(b+1) > 0.$
• $a> b$ nên $ab+a > ab+b.$

Do đó: $\dfrac{ab+a}{b(b+1)} > \dfrac{ab+b}{b(b+1)}.$

Suy ra: $\dfrac{a}{b} > \dfrac{a+1}{b+1}.$

Áp dụng BT5.2: Ta có: $\dfrac{145}{178}> \dfrac{145+1}{178+1} = \dfrac{146}{179}.$