Bài tập TOÁN 7 (CT mới) – Chuyên đề LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CỦA MỘT SỐ HỮU TỶ.

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 7 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG. Mức độ DỄ: BT 1: Tính: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3;$ $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2;$ $(0,4)^3;$ $(-0,1)^4;$ $\left(\dfrac{2023}{2024}\right)^0.$ BT 2: a) Viết công thức tính thể tích một bể nước […]

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 7 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.

Mức độ DỄ:

BT 1: Tính: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3;$ $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2;$ $(0,4)^3;$ $(-0,1)^4;$ $\left(\dfrac{2023}{2024}\right)^0.$

+) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{2\cdot 2\cdot 2}$ $=\dfrac{1}{8}.$

+) $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2$ $=\left(-\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{2}{3}\right)$ $=\dfrac{2\cdot 2}{3\cdot 3}$ $=\dfrac{4}{9}.$

+) $(0,4)^3$ $=(0,4)\cdot(0,4)\cdot(0,4)$ $=0,064.$

+) $(-0,1)^4$ $=(-0,1)\cdot (-0,1)\cdot (-0,1)\cdot (-0,1)$ $=0,0001.$

+) $\left(\dfrac{2023}{2024}\right)^0$ $=1.$

BT 2:

a) Viết công thức tính thể tích một bể nước dạng hình lập phương có độ dài cạnh là $a.$

b) Tính thể tích của bể nước dạng hình lập phương có độ dài cạnh là $1,2\;cm.$

a) $V=a^3.$

b) $V=(1,2)^3=1,728\;(cm^3).$

BT 3: Tính:

a) $6^5\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^5.$

b) $(0,25)^3\cdot 4^3.$

c) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{4}\right)^3.$

d) $(-4,8)^2\;:\;4^2.$

a) $6^5\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^5$ $=\left(6\cdot \dfrac{1}{6}\right)^5$ $=1^5$ $=1.$

b) $(0,25)^3\cdot 4^3$ $=(0,25\cdot 4)^3$ $=1^3$ $=1.$

c) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{4}\right)^3$ $=\left(\dfrac{3}{4}\;:\;\dfrac{1}{4}\right)^3$ $=\left(\dfrac{3}{4}\cdot 4\right)^3$ $=3^3$ $=27.$

d) $(-4,8)^2\;:\;4^2$ $=(-4,8\;:\;4)^2$ $=(-1,2)^2$ $=(-1,2)\cdot (-1,2)$ $=1,44.$

BT 4: Viết kết quả của các phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) $\left(-\dfrac{3}{7}\right)^3\cdot \left(-\dfrac{3}{7}\right)^4.$

b) $(2,9)^{15}\cdot (2,9)^5.$

c) $(-4,3)^9\;:\;(-4,3)^3.$

d) $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{27}\;:\;\left(\dfrac{2}{5}\right)^{12}.$

a) $\left(-\dfrac{3}{7}\right)^3\cdot \left(-\dfrac{3}{7}\right)^4$ $=\left(-\dfrac{3}{7}\right)^{3+4}$ $=\left(-\dfrac{3}{7}\right)^7.$

b) $(2,9)^{15}\cdot (2,9)^5$ $=(2,9)^{15+5}$ $=(2,9)^{20}.$

c) $(-4,3)^9\;:\;(-4,3)^3$ $=(-4,3)^{9-3}$ $=(-4,3)^6.$

d) $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{27}\;:\;\left(\dfrac{2}{5}\right)^{12}$ $=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{27-12}$ $=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{15}.$

BT 5: Viết mỗi số sau dưới dạng lũy thừa cơ số $\dfrac{1}{2}.$

a) $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]^3.$

b) $\left[\left(0,5\right)^3\right]^2.$

a) $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]^3$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2\cdot 3}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6.$

b) $\left[\left(0,5\right)^3\right]^2$ $=\left(0,5\right)^{3\cdot 2}$ $=\left(0,5\right)^6$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6.$

BT 6: Tìm $x,$ biết:

a) $(1,5)^6\cdot x=(1,5)^7.$

b) $\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{23}\;:\;x=\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{21}.$

c) $x\;:\;\left(\dfrac{2}{3}\right)^9=\left(\dfrac{3}{2}\right)^9.$

d) $\left(x^3\right)^7=(-1,7)^{21}.$

a) $(1,5)^6\cdot x=(1,5)^7$ dẫn đến $x=(1,5)^7\;:\;(1,5)^6=(1,5)^{7-6}=(1,5)^1=1,5.$

Vậy $x=1,5.$

b) $\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{23}\;:\;x=\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{21}$ dẫn đến $x=\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{23}\;:\;\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{21}=\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{23-21}=\left(\dfrac{-4}{5}\right)^2=\dfrac{(-4)^2}{5^2}=\dfrac{16}{25}.$

Vậy $x=\dfrac{16}{25}.$

c) $x\;:\;\left(\dfrac{2}{3}\right)^9=\left(\dfrac{3}{2}\right)^9$ dẫn đến $x=\left(\dfrac{3}{2}\right)^9\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^9=\left(\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\right)^9=1^9=1.$

Vậy $x=1.$

d) $\left(x^3\right)^7=(-1,7)^{21}$

Ta có: $\left(x^3\right)^7=x^{3\cdot 7}=x^{21}.$

Vậy $x^{21}=(-1,7)^{21}.$

Do đó $x=-1,7.$

BT 7: Đơn giản các biểu thức sau:

a) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 9^2.$

b) $3^2\cdot 2^5\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2.$

c) $\dfrac{4^2\cdot 4^3}{2^{10}}.$

d) $3^2\cdot 3^5\;:\;\dfrac{1}{27}.$

a) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 9^2$ $=\dfrac{1^2}{3^2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\left(3^2\right)^2$ $=\dfrac{1}{3^2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 3^{2\cdot 2}$ $=\dfrac{1}{3^2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 3^4$ $=\dfrac{3^4}{3^2\cdot 3}$ $=\dfrac{3^4}{3^3}$ $=3.$

b) $3^2\cdot 2^5\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ $=3^2\cdot 2^5\cdot\dfrac{2^2}{3^2}$ $=2^5\cdot 2^2$ $=2^{5+2}$ $=2^7.$

c) $\dfrac{4^2\cdot 4^3}{2^{10}}$ $=\dfrac{4^{2+3}}{2^{10}}$ $=\dfrac{4^5}{2^{10}}$ $=\dfrac{\left(2^2\right)^5}{2^{10}}$ $=\dfrac{2^{2\cdot 5}}{2^{10}}$ $=\dfrac{2^{10}}{2^{10}}$ $=1.$

d) $3^2\cdot 3^5\;:\;\dfrac{1}{27}$ $=3^{2+5}\;:\;\dfrac{1}{27}$ $=3^7\;:\;\dfrac{1}{27}$ $=3^7\cdot 27$ $=3^7\cdot 3^3$ $=3^{7+3}$ $=3^{10}.$

BT 8: Tính và so sánh các lũy thừa sau với $0.$

a) $(-2)^4.$

b) $(-1)^4.$

c) $(-2)^3.$

d) $(-1)^5.$

Em có nhận xét gì về lũy thừa của một số âm?

a) $(-2)^4=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16 > 0.$

Vậy $(-2)^4 > 0.$

b) $(-1)^4=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=1 > 0.$

Vậy $(-1)^4 > 0.$

b) $(-2)^3=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8 < 0.$

Vậy $(-2)^3 < 0.$

c) $(-1)^5=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=-1 < 0.$

Vậy $(-1)^5 < 0.$

Nhận xét: Khi tính lũy thừa của một số âm

+) nếu số mũ là số chẵn thì kết quả là số dương.

+) nếu số mũ là số lẻ thì kết quả là số âm.

BT 9: Hai mảnh vườn có dạng hình vuông. Mảnh vườn thứ nhất có độ dài cạnh là $19,5\;m.$ Mảnh vườn thứ hai có độ dài cạnh là $6,5\;m.$

a) Tính diện tích của mỗi mảnh vườn.

b) Diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp bao nhiêu lần diện tích mảnh vườn thứ hai?

a) Diện tích mảnh vườn thứ nhất là $(19,5)^2=380,25\;(m^2).$

Diện tích mảnh vườn thứ hai là $(6,5)^2=42,25\;(m^2).$

b) Ta có: $380,25\;:\;42,25=9.$

Vậy diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp $9$ lần diện tích mảnh vườn thứ hai.

BT 10: Cho $A=\dfrac{16^{20}}{8^5}.$

a) Viết tử và mẫu của $A$ dưới dạng lũy thừa cơ số $2.$

b) Viết $A$ dưới dạng một lũy thừa.

a) Tử của $A$ là: $16^{20}=\left(2^4\right)^{20}=2^{4\cdot 20}=2^{80}.$

Mẫu của $A$ là: $8^5=\left(2^3\right)^5=2^{3\cdot 5}=2^{15}.$

b) $A=\dfrac{16^{20}}{8^5}$ $=\dfrac{2^{80}}{2^{15}}$ $=2^{80-15}$ $=2^{65}.$

Mức độ TRUNG BÌNH:

BT 11: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng một lũy thừa:

a) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{20}.$

b) $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{25}\;:\;\left(\dfrac{1}{3}\right)^{30}.$

c) $\left(\dfrac{1}{16}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{8}\right)^2.$

d) $\left(x^3\right)^2\;:\;\left(x^2\right)^3$ với $x\neq 0.$

a) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{20}.$

Đặt $a=\dfrac{1}{2}.$

Ta có: $\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=a^2.$

Vậy: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{20}$ $=a^{15}\cdot\left(a^2\right)^{20}$ $=a^{15}\cdot a^{2\cdot 20}$ $=a^{15}\cdot a^{40}$ $=a^{15+40}$ $=a^{55}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{55}.$

b) $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{25}\;:\;\left(\dfrac{1}{3}\right)^{30}.$

Đặt $a=\dfrac{1}{3}.$

Ta có: $\dfrac{1}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=a^2.$

Vậy $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{25}\;:\;\left(\dfrac{1}{3}\right)^{30}$ $=\left(a^2\right)^{25}\;:\;a^{30}$ $=a^{2\cdot 25}\;:\;a^{30}$ $=a^{50}\;:\;a^{30}$ $=a^{50-30}$ $=a^{20}$ $=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{20}.$

c) $\left(\dfrac{1}{16}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{8}\right)^2.$

Đặt $a=\dfrac{1}{2}.$

Ta có: $\dfrac{1}{16}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=a^4$ và $\dfrac{1}{8}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=a^3.$

Vậy $\left(\dfrac{1}{16}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{8}\right)^2$ $=\left(a^4\right)^3\;:\;\left(a^3\right)^2$ $=a^{4\cdot 3}\;:\;a^{3\cdot 2}$ $=a^{12}\;:\;a^6$ $=a^{12-6}$ $=a^6$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6.$

d) $\left(x^3\right)^2\;:\;\left(x^2\right)^3$ $=x^{3\cdot 2}\;:\;x^{2\cdot 3}$ $=x^6\;:\;x^6$ $=1.$

BT 12: Cho $x$ là số hữu tỷ. Viết $x^{15}$ dưới dạng:

a) Lũy thừa của $x^3.$

b) Lũy thừa của $x^5.$

a) $x^{15}$ $=x^{5\cdot 3}$ $=\left(x^3\right)^5.$

b) $x^{15}$ $=x^{5\cdot 3}$ $=\left(x^5\right)^3.$

BT 13: Cho $x$ là một số hữu tỷ khác $0$ và $m, n$ là hai số tự nhiên. Chứng minh rằng $\left(x^m\right)^n=\left(x^n\right)^m.$

Ta có: $\left(x^m\right)^n=x^{m\cdot n}$ và $\left(x^n\right)^m=x^{n\cdot m}.$

Mặt khác, do $m\cdot n=n\cdot m$ nên $x^{m\cdot n}=x^{n\cdot m}.$

Vậy $\left(x^m\right)^n=\left(x^n\right)^m.$

BT 14: So sánh:

a) $(-2)^4\cdot (-2)^5$ và $(-2)^{12}\;:\;(-2)^3.$

b) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^6$ và $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\right]^2.$

c) $\left(-\dfrac{3}{2}\right)^5\;:\;\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3$ và $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2.$

d) $2^{160}$ và $(-4)^{120}.$

a) $(-2)^4\cdot (-2)^5$ và $(-2)^{12}\;:\;(-2)^3.$

Ta có:

+) $(-2)^4\cdot (-2)^5$ $=(-2)^{4+5}$ $=(-2)^9.$

+) $(-2)^{12}\;:\;(-2)^3$ $=(-2)^{12-3}$ $=(-2)^9.$

Do đó $(-2)^4\cdot (-2)^5=(-2)^{12}\;:\;(-2)^3.$

b) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^6$ và $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\right]^2.$

Ta có:

+) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^6$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2+6}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^8.$

+) $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\right]^2$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4\cdot 2}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^8.$

Vậy $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^6=\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\right]^2.$

c) $\left(-\dfrac{3}{2}\right)^5\;:\;\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3$ và $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2.$

Ta có: $\left(-\dfrac{3}{2}\right)^5\;:\;\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3$ $=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{5-3}$ $=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2$ $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ (vì $2$ là số mũ chẵn).

Vậy $\left(-\dfrac{3}{2}\right)^5\;:\;\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2.$

d) $2^{160}$ và $(-4)^{120}.$

Ta có: $(-4)^{120}$ $=4^{120}$ $=\left(2^2\right)^{120}$ $=2^{2\cdot 120}$ $=2^{240}.$

Vì $160 < 240$ nên $2^{160} < 2^{140}.$

Vậy $2^{160} < (04)^{120}.$

BT 15:

a) Viết số $\dfrac{81}{16}$ dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỷ.

b) Viết số $\dfrac{256}{625}$ dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỷ.

a) $\dfrac{81}{16}$ $=\dfrac{3^4}{2^4}$ $=\left(\dfrac{3}{4}\right)^4.$

b) $\dfrac{256}{625}$ $=\dfrac{2^8}{5^4}$ $=\dfrac{2^{2\cdot 4}}{5^4}$ $=\dfrac{\left(2^2\right)^4}{5^4}$ $=\dfrac{4^4}{5^4}$ $=\left(\dfrac{4}{5}\right)^4.$

BT 16: Viết mỗi số $32;$ $3^{15};$ $4^{10}$ dưới dạng lũy thừa có số mũ là $5.$

+) $32$ $=2^5.$

+) $3^{15}$ $=3^{3\cdot 5}$ $=\left(3^3\right)^5$ $=27^5.$

+) $4^{10}$ $=4^{2\cdot 5}$ $=\left(4^2\right)^5$ $=16^5.$

BT 17: Tìm số hữu tỷ $x,$ biết:

a) $(x-1)^3=27.$

b) $(2x+1)^2=25.$

c) $(2x-1)^3=-8.$

d) $(2x-3)^4=81.$

e) $(2x-1)^6=(2x-1)^8.$

a) $(x-1)^3=27.$

Ta có $27=3^3.$

Vậy $(x-1)^3=3^3.$

Do đó $x-1=3.$

Dẫn đến $x=3+1=4.$

b) $(2x+1)^2=25$

Ta có: $25=5^2=(-5)^2.$

Vậy từ đề bài ta có $2x+1=5$ hoặc $2x+1=-5.$

+) $2x+1=5$ dẫn đến $2x=5-1=4.$ Suy ra $x=4\;:\;2=2.$

+) $2x+1=-5$ dẫn đến $2x=-5-1=-6.$ Suy ra $x=-6\;:\;2=-3.$

Vậy $x=2$ hoặc $x=-3.$

c) $(2x-1)^3=-8$

Ta có: $-8=(-2)^3.$

Vậy từ đề bài ta có $2x-1=-2.$

Dẫn đến $2x=-2+1=-1.$

Suy ra $x=\dfrac{-1}{2}.$

d) $(2x-3)^4=81$

Ta có: $81=3^4=(-3)^4.$

Vậy từ đề bài ta có $2x-3=3$ hoặc $2x-3=-3.$

+) $2x-3=3$ dẫn đến $2x=3+3=6.$ Suy ra $x=6\;:\;2=3.$

+) $2x-3=-3$ dẫn đến $2x=-3+3=0.$ Suy ra $x=0.$

Vậy $x=3$ hoặc $x=0.$

e) Vì $(2x-1)^6=(2x-1)^8$ nên $2x-1=0$ hoặc $2x-1=1$ hoặc $2x-1=-1.$

+) $2x-1=0$ dẫn đến $2x=1.$ Suy ra $x=\dfrac{1}{2}.$

+) $2x-1=1$ dẫn đến $2x=1+1=2.$ Suy ra $x=2\;:\;2=1.$

+) $2x-1=-1$ dẫn đến $2x=-1+1=0.$ Suy ra $x=0.$

Vậy $x=\dfrac{1}{2}$ hoặc $x=1$ hoặc $x=0.$

BT 18: Tìm $x,$ biết:

a) $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{27}.$

b) $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{16}{81}.$

a) $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{27}.$

Ta có: $\dfrac{1}{27}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3.$

Vậy từ đề bài ta có: $x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}.$

Dẫn đến $x=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}.$

Vậy $x=\dfrac{5}{6}.$

b) $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{16}{81}.$

Ta có: $\dfrac{16}{81}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^4.$

Vậy từ đề bài ta có: $x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}$ hoặc $x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{2}{3}.$

+) $x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}$ dẫn đến $x=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}.$

+) $x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{2}{3}$ dẫn đến $x=-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{7}{6}.$

Vậy $x=\dfrac{1}{6}$ hoặc $x=-\dfrac{7}{6}.$

BT 19: Rút gọn:

a) $\dfrac{27^4\cdot 3^2}{9^3}.$

b) $\dfrac{125^2\cdot 25^3}{5^4}.$

c) $\dfrac{\left(\dfrac{1}{8}\right)^3\cdot 64^4}{4^3}.$

a) $\dfrac{27^4\cdot 3^2}{9^3}$ $=\dfrac{\left(3^3\right)^4\cdot 3^2}{\left(3^2\right)^3}$ $=\dfrac{3^{3\cdot 4}\cdot 3^2}{3^{2\cdot 3}}$ $=\dfrac{3^{12}\cdot 3^2}{3^6}$ $=\dfrac{3^{12+2}}{3^6}$ $=\dfrac{3^{14}}{3^6}$ $=3^{14-6}$ $=3^8.$

b) $\dfrac{125^2\cdot 25^3}{5^4}$ $=\dfrac{5^3\cdot \left(5^2\right)^3}{5^4}$ $=\dfrac{5^3\cdot 5^{2\cdot 3}}{5^4}$ $=\dfrac{5^3\cdot 5^6}{5^4}$ $=\dfrac{5^{3+6}}{5^4}$ $=\dfrac{5^9}{5^4}$ $=5^{9-4}$ $=5^5.$

c) $\dfrac{\left(\dfrac{1}{8}\right)^3\cdot 64^4}{4^3}$

+) Xét tử: $\left(\dfrac{1}{8}\right)^3\cdot 64^4$ $=\dfrac{1}{8^3}\cdot \left(8^2\right)^4$ $=\dfrac{1}{8^3}\cdot 8^{8}$ $=8^5$ $=\left(2^3\right)^5$ $=2^{15}.$

+) Xét mẫu: $4^3$ $=\left(2^2\right)^3$ $=2^6.$

Vậy $\dfrac{\left(\dfrac{1}{8}\right)^3\cdot 64^4}{4^3}$ $=\dfrac{2^{15}}{2^6}$ $=2^9.$

BT 20: Tính một cách hợp lý:

a) $\dfrac{2^3\cdot 3+3^2\cdot 2}{2^2\cdot 3}.$

b) $\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2\cdot (-1)^5}{\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\cdot \left(-\dfrac{5}{12}\right)^2}.$

c) $(0,25)^3\cdot 32.$

d) $(-0,125)^3\cdot 80^4.$

e) $\dfrac{81^{11}\cdot 3^{17}}{27^{10}\cdot 9^{15}}.$

f) $3^2\cdot \dfrac{1}{243}\cdot 81^2\cdot \dfrac{1}{3^2}.$

a) $\dfrac{2^3\cdot 3+3^2\cdot 2}{2^2\cdot 3}$ $=\dfrac{2\cdot 3\cdot (2^2+3)}{2\cdot 2\cdot 3}$ $=\dfrac{2^2+3}{2}$ $=\dfrac{4+3}{2}$ $=\dfrac{7}{2}.$

b) $\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2\cdot (-1)^5}{\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\cdot \left(-\dfrac{5}{12}\right)^2}$

+) Xét tử: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2\cdot (-1)^5$ $=\dfrac{2^3}{3^3}\cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\cdot (-1)$ $=-\dfrac{2^3}{3^3}\cdot \dfrac{3^2}{4^2}$ $=-\dfrac{2^3}{3^3}\cdot \dfrac{3^2}{2^4}$ $=\dfrac{1}{3\cdot 2}$ $=\dfrac{1}{6}.$

+) Xét mẫu: $\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\cdot \left(-\dfrac{5}{12}\right)^2$ $=\dfrac{2^2}{5^2}\cdot \left(\dfrac{5}{12}\right)^2$ $=\dfrac{2^2}{5^2}\cdot \dfrac{5^2}{12^2}$ $=\dfrac{2^2}{5^2}\cdot \dfrac{5^2}{\left(2^2\cdot 3\right)^2}$ $=\dfrac{2^2}{5^2}\cdot \dfrac{5^2}{2^4\cdot 3^2}$ $=\dfrac{1}{2^2\cdot 3^2}$ $=\dfrac{1}{(2\cdot 3)^2}$ $=\dfrac{1}{6^2}$ $=\left(\dfrac{1}{6}\right)^2.$

Vậy $\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2\cdot (-1)^5}{\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\cdot \left(-\dfrac{5}{12}\right)^2}$ $=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\left(\dfrac{1}{6}\right)^2}$ $=\dfrac{1}{\dfrac{1}{6}}$ $=6.$

c) $(0,25)^3\cdot 32$ $=(0,25)^3\cdot 64\;:\;2$ $=(0,25)^3\cdot 4^3\;:\;2$ $=(0,25\cdot 4)^3\;:\;2$ $=1^3\;:\;2$ $=1\;:\;2$ $=0,5.$

d) $(-0,125)^3\cdot 80^4$ $=-(0,125)^3\cdot 80^3\cdot 80$ $=-(0,125\cdot 80)^3\cdot 80$ $=-10^3\cdot 80$ $=-80\;000.$

e) $\dfrac{81^{11}\cdot 3^{17}}{27^{10}\cdot 9^{15}}$ $=\dfrac{\left(3^4\right)^{11}\cdot 3^{17}}{\left(3^3\right)^{10}\cdot \left(3^2\right)^{15}}$ $=\dfrac{3^{44}\cdot 3^{17}}{3^{30}\cdot 3^{30}}$ $=\dfrac{3^{61}}{3^{60}}$ $=3.$

f) $3^2\cdot \dfrac{1}{243}\cdot 81^2\cdot \dfrac{1}{3^2}$ $=\left(3^2\cdot \dfrac{1}{3^2}\right)\cdot \dfrac{1}{243}\cdot 81^2$ $=1\cdot \dfrac{1}{243}\cdot 81^2$ $=\dfrac{1}{243}\cdot 81^2$ $=\dfrac{1}{3^5}\cdot \left(3^4\right)^2$ $=\dfrac{1}{3^5}\cdot 3^8$ $=3^3$ $=27.$

BT 21: Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời bằng khoảng $1,5\cdot 10^8\;km.$ Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời khoảng $7,78\cdot 10^8\;km.$

a) Trái Đất và Mộc tinh, hành tinh nào xa Mặt Trời hơn?

b) Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời hơn hay kém khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời bao nhiêu ki-lô-mét?

a) $1,5\cdot 10^8 < 7,78\cdot 10^8$ nên Mộc tinh xa Mặt Trời hơn.

b) Ta có: $7,78\cdot 10^8-1,5\cdot 10^8$ $=(7,78-1,5)\cdot 10^8$ $=6,28\cdot 10^8.$

Vậy khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời kém khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời $6,28\cdot 10^8\;km.$

BT 22: Người ta thường dùng các lũy thừa của $10$ với số mũ nguyên dương để biểu thị những số rất lớn. Ta gọi một số hữu tỷ dương được viết theo ký hiệu khoa học (hay theo dạng chuẩn) nếu nó có dạng $a\cdot 10^n$ với $1\leq a < 10$ và $n$ là một số nguyên dương. Ví dụ, khối lượng của Trái Đất viết theo ký hiệu khoa học là $5,9724\cdot 10^{24}\;kg.$

a) Mỗi số sau có theo dạng một ký hiệu khoa học không? Vì sao?

$2,125\cdot 10^{103};$ $12,53\cdot 10^{27}.$

b) Viết các số sau theo ký hiệu khoa học (với đơn vị đã cho):

– Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời khoảng $15\cdot 10^7\;km.$

– Khối lượng của Sao Thổ khoảng $56\;846\cdot 10^{22}\;kg.$

– Tốc độ ánh sáng khoảng $300\;000\;000\;m/s.$

a)

+) Số $2,125\cdot 10^{103}$ có dạng một ký hiệu khoa học.

+) Số $12,53\cdot 10^{27}$ không có dạng của một ký hiệu khoa học, vì $12,53 > 10.$

b) Viết lại theo ký hiệu khoa học:

– Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời khoảng $15\cdot 10^7\;km$ $=1,5\cdot 10^8\;km.$

– Khối lượng của Sao Thổ khoảng $56\;846\cdot 10^{22}\;kg$ $=5,6846\cdot 10^{26}\;km.$

– Tốc độ ánh sáng khoảng $300\;000\;000\;m/s$ $=3\cdot 10^8\;m/s.$

Mức độ KHÓ:

BT 23: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\dfrac{6+3^2\cdot 2-6\cdot 3^2}{3^2+3\cdot 3^2-3^4}.$

b) $B=\dfrac{2\cdot 8^4\cdot 27^2+4\cdot 6^9}{2^7\cdot 6^7+2^7\cdot 40\cdot 9^4}.$

a) $A=\dfrac{6+3^2\cdot 2-6\cdot 3^2}{3^2+3\cdot 3^2-3^4}$ $=\dfrac{6+6\cdot 3-6\cdot 3^2}{3^2+3\cdot 3^2-3^2\cdot 3^2}$ $=\dfrac{6\cdot (1+3-3^2)}{3^2\cdot (1+3-3^2)}$ $=\dfrac{6}{3^2}$ $=\dfrac{2}{3}.$

b) $B=\dfrac{2\cdot 8^4\cdot 27^2+4\cdot 6^9}{2^7\cdot 6^7+2^7\cdot 40\cdot 9^4}$

+) Xét tử: $2\cdot 8^4\cdot 27^2+4\cdot 6^9$ $=2\cdot \left(2^3\right)^4\cdot \left(3^3\right)^2+2^2\cdot (2\cdot 3)^9$ $=2\cdot 2^{12}\cdot 3^6+2^2\cdot 2^9\cdot 3^9$ $=2^{13}\cdot 3^6+2^{11}\cdot 3^9$ $=2^{11}\cdot 3^6\cdot (2^2+3^3)$ $=2^{11}\cdot 3^6\cdot 31.$

+) Xét mẫu: $2^7\cdot 6^7+2^7\cdot 40\cdot 9^4$ $=2^7\cdot (2\cdot 3)^7+2^7\cdot 8\cdot 5\cdot\left(3^2\right)^4$ $=2^7\cdot 2^7\cdot 3^7+2^7\cdot 2^3\cdot 5\cdot 3^8$ $=2^{14}\cdot 3^7+2^{10}\cdot 3^8\cdot 5$ $=2^{10}\cdot 3^7\cdot (2^4+3\cdot 5)$ $=2^{10}\cdot 3^7\cdot 31.$

$(\Rightarrow)$ Vậy $B=\dfrac{2^{11}\cdot 3^6\cdot 31}{2^{10}\cdot 3^7\cdot 31}=\dfrac{2}{3}.$

BT 24: Tìm số nguyên $n,$ biết rằng: $\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{4}{10}\cdot \dfrac{5}{12}…\dfrac{30}{62}\cdot \dfrac{31}{64}\cdot 2^n=1.$

Ta có: $\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{4}{10}\cdot \dfrac{5}{12}…\dfrac{30}{62}\cdot \dfrac{31}{64}$ $=\dfrac{1}{2\cdot 2}\cdot \dfrac{2}{2\cdot 3}\cdot \dfrac{3}{2\cdot 4}\cdot \dfrac{4}{2\cdot 5}\cdot \dfrac{5}{2\cdot 6}…\dfrac{30}{2\cdot 31}\cdot \dfrac{31}{64}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}…\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{64}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{30}\cdot\dfrac{1}{64}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{30}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{36}.$

Vậy $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{36}\cdot 2^n=1.$

Do đó $2^n=1\;:\;\left(\dfrac{1}{2}\right)^{36}=1\;:\;\dfrac{1}{2^{36}}=2^{36}.$

Suy ra $n=36.$

BT 25: Tìm số tự nhiên $n,$ biết:

a) $\dfrac{625}{5^n}=5.$

b) $\dfrac{(-3)^n}{27}=-9.$

c) $3^n\cdot 2^n=36.$

d) $25^{2n}\;:\;5^n=125^2.$

a) $\dfrac{625}{5^n}=5$ dẫn đến $5^n=\dfrac{625}{5}=125=5^3.$

Do đó $n=3.$

b) $\dfrac{(-3)^n}{27}=-9$ dẫn đến $(-3)^n=-9\cdot 27=-3^2\cdot 3^3=-3^5=(-3)^5.$

Do đó $n=5.$

c) $3^n\cdot 2^n=36$

Ta có $3^n\cdot 2^n=(3\cdot 2)^n=6^n$ và $36=6^2.$

Vậy $6^n=6^2.$

Do đó $n=2.$

d) $25^{2n}\;:\;5^n=125^2$

Ta có: $25^{2n}\;:\;5^n=\left(5^2\right)^{2n}\;:\;5^n=5^4n\;:\;5^n=5^{3n}$ và $125^2=\left(5^3\right)^2=5^6.$

Vậy $5^{3n}=5^6.$

Do đó $3n=6,$ dẫn đến $n=6\;:\;3=2.$

Vậy $n=2.$

BT 26: Tìm số tự nhiên $x,$ biết:

a) $3^{x+2}+3^x=810.$

b) $5^{x+2}-5^{x+1}-13\cdot 5^x=7\cdot 5^2.$

c) $\dfrac{7^{x+2}+7^{x+1}+7^x}{57}=\dfrac{5^{2x}+5^{2x+1}+5^{2x+3}}{131}.$

d) $2^{x+2}\cdot 3^{x+1}\cdot 5^x=10800.$

a) $3^{x+2}+3^x=810.$

Ta có: $3^{x+2}+3^x$ $=3^x\cdot 3^2+3^x$ $=3^x\cdot (3^2+1)$ $=3^x\cdot 10.$

Vậy $3^x\cdot 10=810.$

Dẫn đến $3^x=810\;:\;10=81=3^4.$

Do đó $x=4.$

b) $5^{x+2}-5^{x+1}-13\cdot 5^x=7\cdot 5^2.$

Ta có: $5^{x+2}-5^{x+1}-13\cdot 5^x$ $=5^x\cdot 5^2-5^x\cdot 5^1-13\cdot 5^x$ $=5^x\cdot (5^2-5^1-13)$ $=5^x\cdot 7.$

Vậy $5^x\cdot 7=7\cdot 5^2.$

Suy ra $5^x=5^2.$

Suy ra $x=2.$

c) $\dfrac{7^{x+2}+7^{x+1}+7^x}{57}=\dfrac{5^{2x}+5^{2x+1}+5^{2x+3}}{131}.$

Ta có:

+) $\dfrac{7^{x+2}+7^{x+1}+7^x}{57}$ $=\dfrac{7^x\cdot 7^2+7^x\cdot 7^1+7^x}{57}$ $=\dfrac{7^x\cdot(7^2+7^1+1)}{57}$ $=\dfrac{7^x\cdot 57}{57}$ $=7^x.$

+) $\dfrac{5^{2x}+5^{2x+1}+5^{2x+3}}{131}$ $=\dfrac{5^{2x}+5^{2x}\cdot 5^1+5^{2x}\cdot 5^3}{131}$ $=\dfrac{5^{2x}\cdot(1+5^1+5^3)}{131}$ $=\dfrac{5^{2x}\cdot 131}{131}$ $=5^{2x}$ $=\left(5^2\right)^x$ $=25^x.$

Vậy $7^x=25^x.$

Dẫn đến $\dfrac{7^x}{25^x}=1,$ hay $\left(\dfrac{7}{25}\right)^x=1.$

Do đó $x=0.$

d) $2^{x+2}\cdot 3^{x+1}\cdot 5^x=10800.$

Ta có: $2^{x+2}\cdot 3^{x+1}\cdot 5^x$ $=2^x\cdot 2^2\cdot 3^x\cdot 3^1\cdot 5^x$ $=(2^x\cdot 3^x\cdot 5^x)\cdot 2^2\cdot 3^1$ $=(2\cdot 3\cdot 5)^x\cdot 4\cdot 3$ $=30^x\cdot 12$

Vậy $30^x\cdot 12=10800.$

Dẫn đến $30^x=10800\;:\;12=900=30^2.$

Do đó $x=2.$

BT 27: Tìm các số tự nhiên $x$ và $y,$ biết rằng: $2^{x+1}\cdot 3^y=12^x.$

Ta có: $12^x$ $=\left(2^2\cdot 3\right)^x$ $=\left(2^2\right)^x\cdot 3^x$ $=2^{2x}\cdot 3^x.$

Vậy $2^{x+1}\cdot 3^y=2^{2x}\cdot 3^x.$

Do đó $\dfrac{2^{x+1}}{2^{2x}}=\dfrac{3^x}{3^y},$ hay $2^{x+1-2x}=3^{x-y}.$

Suy ra: $x+1-2x=0$ và $x-y=0.$

Vì $x+1-2x=0$ nên $1-x=0.$ Suy ra $x=1.$

Vì $x-y=0$ nên $y=x.$

Vậy $x=y=1.$

BT 28: Tìm các số hữu tỷ $a, b, c,$ biết rằng:

a) $ab=\dfrac{3}{5},$ $bc=\dfrac{4}{5},$ $ca=\dfrac{3}{4}.$

b) $a(a+b+c)=-12,$ $b(a+b+c)=18,$ $c(a+b+c)=30.$

c) $ab=c,$ $bc=4a,$ $ac=9b.$

a) $ab=\dfrac{3}{5},$ $bc=\dfrac{4}{5},$ $ca=\dfrac{3}{4}.$

Ta có: $(abc)^2=ab\cdot bc\cdot ca=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{3}{4}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2.$

Suy ra: $abc=\dfrac{3}{5}$ hoặc $abc=-\dfrac{3}{5}.$

+) Khi $abc=\dfrac{3}{5},$ kết hợp với $ab=\dfrac{3}{5},$ suy ra $c=1.$ Kết hợp với $bc=\dfrac{4}{5}$ và $ca=\dfrac{3}{4},$ suy ra $b=\dfrac{4}{5}$ và $a=\dfrac{3}{4}.$

+) Khi $abc=-\dfrac{3}{5},$ kết hợp với $ab=\dfrac{3}{5},$ suy ra $c=-1.$ Kết hợp với $bc=\dfrac{4}{5}$ và $ca=\dfrac{3}{4},$ suy ra $b=-\dfrac{4}{5}$ và $a=-\dfrac{3}{4}.$

$(\Rightarrow)$ Vậy có hai đáp án cho bài toán này:

+) $a=\dfrac{3}{4},$ $b=\dfrac{4}{5},$ $c=1;$

hoặc

+) $a=-\dfrac{3}{4},$ $b=-\dfrac{4}{5},$ $c=-1.$

b) $a(a+b+c)=-12,$ $b(a+b+c)=18,$ $c(a+b+c)=30.$

Ta có: $(a+b+c)^2$ $=(a+b+c)(a+b+c)$ $=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)$ $=(-12)+18+30$ $=36$ $=6^2.$

Suy ra: $a+b+c=6$ hoặc $a+b+c=-6.$

+) Khi $a+b+c=6,$ kết hợp với $a(a+b+c)=-12,$ $b(a+b+c)=18$ và $c(a+b+c)=30,$ ta suy ra $a=-12\;:\;6=-2,$ $b=18\;:\;6=3$ và $c=30\;:\;6=5.$

+) Khi $a+b+c=-6,$ kết hợp với $a(a+b+c)=-12,$ $b(a+b+c)=18$ và $c(a+b+c)=30,$ ta suy ra $a=-12\;:\;(-6)=2,$ $b=18\;:\;(-6)=-3$ và $c=30\;:\;(-6)=-5.$

$(\Rightarrow)$ Vậy có hai đáp án cho bài toán này là:

+) $a=-2,$ $b=3,$ $c=5;$

hoặc

+) $a=2,$ $b=-3,$ $c=-5.$

c) $ab=c,$ $bc=4a,$ $ac=9b.$

Ta có: $(abc)^2$ $=ab\cdot bc\cdot ca$ $=c\cdot 4a\cdot 9b$ $=36\cdot abc.$

Vậy $(abc)^2=36\cdot abc.$

Suy ra $(abc)^2-36\cdot abc=0,$ hay $abc\cdot (abc-36)=0.$

Suy ra $abc=0$ hoặc $abc=36.$

+) Khi $abc=0,$ kết hợp với $ab=c,$ suy ra $cc=0,$ hay $c^2=0.$ Do đó $c=0.$ Kết hợp với $bc=4a$ và $ac=9b,$ suy ra $a=0$ và $b=0.$

+) Khi $abc=36,$ kết hợp với $ab=c,$ $bc=4a$ và $ac=9b,$ suy ra $c^2=36,$ $4a^2=36,$ $9b^2=36.$

Do đó $c^2=36=6^2,$ $a^2=36\;:\;4=9=3^2,$ $b^2=36\;:\;9=4=2^2.$

Suy ra $c=\pm 6,$ $a=\pm 3,$ $b=\pm 2.$

Nếu $c=6$ thì từ $abc=36$ suy ra $ab=6>0.$ Do đó $a, b$ cùng dấu. Vậy $a=3, b=2$ hoặc $a=-3, b=-2.$

Nếu $c=-6$ thì từ $abc=36$ suy ra $ab=-6<0.$ Do đó, $a,b$ trái dấu. Vậy $a=3, b=-2$ hoặc $a=-3, b=2.$

+) Kết luận: Có $5$ bộ số $(a; b; c)$ thỏa mãn bài toán: $(0; 0; 0),$ $(3; 2; 6),$ $(-3; -2; 6),$ $(3;-2;-6),$ $(-3;2;-6).$

BT 29: So sánh:

a) $5^{300}$ và $3^{500}.$

b) $(0,6)^{27}$ và $(-0,9)^{18}.$

c) $(0,4)^{60}$ và $(-0,8)^{30}.$

d) $9^{99}$ và $99^9.$

a) $5^{300}$ và $3^{500}.$

Đưa về cùng số mũ: $5^{300}=5^{3\cdot 100}=\left(5^3\right)^{100}=125^{100}$ và $3^{500}=3^{5\cdot 100}=\left(3^5\right)^{100}=243^{100}.$

So sánh: Vì $1<125 < 243$ nên $125^{100} < 243^{100}.$ Vậy $5^{300} < 3^{500}.$

b) $(0,6)^{27}$ và $(-0,9)^{18}.$

Đưa về cùng số mũ: $(0,6)^{27}=(0,6)^{3\cdot 9}=\left[(0,6)^3\right]^9=\left[0,216\right]^9$ và $(-0,9)^{18}=(0,9)^{18}=(0,9)^{2\cdot 9}=\left[(0,9)^2\right]^9=\left[0,81\right]^9.$

So sánh: Vì $0,216 < 0,81 < 1$ nên $\left[0,216\right]^9 > \left[0,81\right]^9.$ Vậy $(0,6)^{27} > (-0,9)^{18}.$

c) $(0,4)^{60}$ và $(-0,8)^{30}.$

Đưa về cùng số mũ: $(0,4)^{60}=\left[(0,4)^2\right]^{30}=(0,16)^{30}$ và $(-0,8)^{30}=(0,8)^{30}.$

So sánh: Vì $0,16 < 0,8 < 1$ nên $(0,16)^{30} > (0,8)^{30}.$ Vậy $(0,4)^{60} > (-0,8)^{30}.$

d) $9^{99}$ và $99^9.$

Ta có: $9^{99}=\left(9^{11}\right)^{9}$

Mà $9^{11} > 99 > 1$ nên $\left(9^{11}\right)^{9} > 99^9.$

Vậy $9^{99} > 99^9.$

BT 30: So sánh:

a) $\left(-\dfrac{1}{16}\right)^{100}$ và $\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{500}.$

b) $(0,2)^{10}$ và $\left(\dfrac{1}{25}\right)^6.$

a) $\left(-\dfrac{1}{16}\right)^{100}$ và $\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{500}.$

Đưa về cùng cơ số: $\left(-\dfrac{1}{16}\right)^{100}=\left(\dfrac{1}{16}\right)^{100}=\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\right]^{100}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{400}$ và $\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{500}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{500}.$

So sánh: Vì $0 < \dfrac{1}{2} < 1$ và $400 < 500$ nên $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{400} > \left(\dfrac{1}{2}\right)^{500}.$ Vậy $\left(-\dfrac{1}{16}\right)^{100} > \left(\dfrac{-1}{2}\right)^{500}.$

b) $(0,2)^{10}$ và $\left(\dfrac{1}{25}\right)^6.$

Đưa về cùng cơ số: $\left(\dfrac{1}{25}\right)^6=(0,04)^6=\left[(0,2)^2\right]^6=(0,2)^{12}.$

So sánh: Vì $0 < 0,2 < 1$ và $10 < 12$ nên $(0,2)^{10} > (0,2)^{12}.$ Vậy $(0,2)^{10} > \left(\dfrac{1}{25}\right)^6.$

BT 31: So sánh:

a) $31^5$ và $17^7.$

b) $48^{25}$ và $8^{51}.$

a) $31^5$ và $17^7.$

Ta có: $31^5 < 32^5 = \left(2^5\right)^5 = 2^{25}$ và $17^7 > 16^7 = \left(2^4\right)^7=2^{28}.$

Mà $2^{25} < 2^{28}$

Vậy $31^5 < 2^{25} < 2^{28} < 17^7.$

Suy ra $31^5 < 17^7.$

b) $48^{25}$ và $8^{51}.$

Ta có: $48^{25} < 49^{25}=\left(7^2\right)^{25}=7^{50} < 8^{50} < 8^{51}.$

Vậy $48^{25} < 8^{51}.$

BT 32: So sánh:

a) $99^{20}$ và $9999^{10}.$

b) $33^{44}$ và $44^{33}.$

c) $(-32)^9$ và $(-18)^{13}.$

a) $99^{20}$ và $9999^{10}.$

Ta có: $99^{20}=\left(99^2\right)^{10}.$

Mà $1< 99^2=99\cdot 99 < 99\cdot 101 = 9999$ nên $\left(99^2\right)^{10} < 9999^{10}.$

Vậy $99^{20} < 9999^{10}.$

b) $33^{44}$ và $44^{33}.$

Ta có:

+) $33^{44}=\left(33^4\right)^{11}$ và $44^{33}=\left(44^3\right)^{11}.$

+) $33^4=(3\cdot 11)^4=3^4\cdot 11^4=(3^4\cdot 11)\cdot 11^3.$

+) $44^3=(4\cdot 11)^3=4^3\cdot 11^3.$

+) $3^4\cdot 11 =3^2\cdot 3^2\cdot 11 > 4\cdot 4\cdot 4=4^3.$

Từ những điều trên ta suy ra $33^{44} > 44^{33}.$

c) $(-32)^9$ và $(-18)^{13}.$

Lập thương: $\dfrac{32^9}{18^{13}}$ $=\dfrac{\left(2^5\right)^9}{\left(2\cdot 3^2\right)^{13}}$ $=\dfrac{2^{45}}{2^{13}\cdot 3^{26}}$ $=\dfrac{2^{32}}{3^{26}}$ $< \dfrac{2^{32}}{3^{24}}$ $=\dfrac{\left(2^4\right)^8}{\left(3^3\right)^8}$ $=\left(\dfrac{2^4}{3^3}\right)^8$ $=\left(\dfrac{16}{27}\right)^8 < 1.$

Vậy $\dfrac{32^9}{18^{13}} < 1.$

Suy ra $32^9 < 18^{13}.$

Suy ra $(-32)^9 > (-18)^{13}.$

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.