Bài tập TOÁN 7 (CT mới) – Chuyên đề LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CỦA MỘT SỐ HỮU TỶ.

+) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{2\cdot 2\cdot 2}$ $=\dfrac{1}{8}.$

+) $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2$ $=\left(-\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{2}{3}\right)$ $=\dfrac{2\cdot 2}{3\cdot 3}$ $=\dfrac{4}{9}.$

+) $(0,4)^3$ $=(0,4)\cdot(0,4)\cdot(0,4)$ $=0,064.$

+) $(-0,1)^4$ $=(-0,1)\cdot (-0,1)\cdot (-0,1)\cdot (-0,1)$ $=0,0001.$

+) $\left(\dfrac{2023}{2024}\right)^0$ $=1.$

a) $V=a^3.$

b) $V=(1,2)^3=1,728\;(cm^3).$

a) $6^5\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^5$ $=\left(6\cdot \dfrac{1}{6}\right)^5$ $=1^5$ $=1.$

b) $(0,25)^3\cdot 4^3$ $=(0,25\cdot 4)^3$ $=1^3$ $=1.$

c) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{4}\right)^3$ $=\left(\dfrac{3}{4}\;:\;\dfrac{1}{4}\right)^3$ $=\left(\dfrac{3}{4}\cdot 4\right)^3$ $=3^3$ $=27.$

d) $(-4,8)^2\;:\;4^2$ $=(-4,8\;:\;4)^2$ $=(-1,2)^2$ $=(-1,2)\cdot (-1,2)$ $=1,44.$

a) $\left(-\dfrac{3}{7}\right)^3\cdot \left(-\dfrac{3}{7}\right)^4$ $=\left(-\dfrac{3}{7}\right)^{3+4}$ $=\left(-\dfrac{3}{7}\right)^7.$

b) $(2,9)^{15}\cdot (2,9)^5$ $=(2,9)^{15+5}$ $=(2,9)^{20}.$

c) $(-4,3)^9\;:\;(-4,3)^3$ $=(-4,3)^{9-3}$ $=(-4,3)^6.$

d) $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{27}\;:\;\left(\dfrac{2}{5}\right)^{12}$ $=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{27-12}$ $=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{15}.$

a) $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]^3$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2\cdot 3}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6.$

b) $\left[\left(0,5\right)^3\right]^2$ $=\left(0,5\right)^{3\cdot 2}$ $=\left(0,5\right)^6$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6.$

a) $(1,5)^6\cdot x=(1,5)^7$ dẫn đến $x=(1,5)^7\;:\;(1,5)^6=(1,5)^{7-6}=(1,5)^1=1,5.$

Vậy $x=1,5.$

b) $\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{23}\;:\;x=\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{21}$ dẫn đến $x=\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{23}\;:\;\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{21}=\left(\dfrac{-4}{5}\right)^{23-21}=\left(\dfrac{-4}{5}\right)^2=\dfrac{(-4)^2}{5^2}=\dfrac{16}{25}.$

Vậy $x=\dfrac{16}{25}.$

c) $x\;:\;\left(\dfrac{2}{3}\right)^9=\left(\dfrac{3}{2}\right)^9$ dẫn đến $x=\left(\dfrac{3}{2}\right)^9\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^9=\left(\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\right)^9=1^9=1.$

Vậy $x=1.$

d) $\left(x^3\right)^7=(-1,7)^{21}$

Ta có: $\left(x^3\right)^7=x^{3\cdot 7}=x^{21}.$

Vậy $x^{21}=(-1,7)^{21}.$

Do đó $x=-1,7.$

a) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 9^2$ $=\dfrac{1^2}{3^2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\left(3^2\right)^2$ $=\dfrac{1}{3^2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 3^{2\cdot 2}$ $=\dfrac{1}{3^2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 3^4$ $=\dfrac{3^4}{3^2\cdot 3}$ $=\dfrac{3^4}{3^3}$ $=3.$

b) $3^2\cdot 2^5\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ $=3^2\cdot 2^5\cdot\dfrac{2^2}{3^2}$ $=2^5\cdot 2^2$ $=2^{5+2}$ $=2^7.$

c) $\dfrac{4^2\cdot 4^3}{2^{10}}$ $=\dfrac{4^{2+3}}{2^{10}}$ $=\dfrac{4^5}{2^{10}}$ $=\dfrac{\left(2^2\right)^5}{2^{10}}$ $=\dfrac{2^{2\cdot 5}}{2^{10}}$ $=\dfrac{2^{10}}{2^{10}}$ $=1.$

d) $3^2\cdot 3^5\;:\;\dfrac{1}{27}$ $=3^{2+5}\;:\;\dfrac{1}{27}$ $=3^7\;:\;\dfrac{1}{27}$ $=3^7\cdot 27$ $=3^7\cdot 3^3$ $=3^{7+3}$ $=3^{10}.$

a) $(-2)^4=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16 > 0.$

Vậy $(-2)^4 > 0.$

b) $(-1)^4=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=1 > 0.$

Vậy $(-1)^4 > 0.$

b) $(-2)^3=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8 < 0.$

Vậy $(-2)^3 < 0.$

c) $(-1)^5=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=-1 < 0.$

Vậy $(-1)^5 < 0.$

Nhận xét: Khi tính lũy thừa của một số âm

+) nếu số mũ là số chẵn thì kết quả là số dương.

+) nếu số mũ là số lẻ thì kết quả là số âm.

a) Diện tích mảnh vườn thứ nhất là $(19,5)^2=380,25\;(m^2).$

Diện tích mảnh vườn thứ hai là $(6,5)^2=42,25\;(m^2).$

b) Ta có: $380,25\;:\;42,25=9.$

Vậy diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp $9$ lần diện tích mảnh vườn thứ hai.

a) Tử của $A$ là: $16^{20}=\left(2^4\right)^{20}=2^{4\cdot 20}=2^{80}.$

Mẫu của $A$ là: $8^5=\left(2^3\right)^5=2^{3\cdot 5}=2^{15}.$

b) $A=\dfrac{16^{20}}{8^5}$ $=\dfrac{2^{80}}{2^{15}}$ $=2^{80-15}$ $=2^{65}.$

a) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{20}.$

Đặt $a=\dfrac{1}{2}.$

Ta có: $\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=a^2.$

Vậy: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{20}$ $=a^{15}\cdot\left(a^2\right)^{20}$ $=a^{15}\cdot a^{2\cdot 20}$ $=a^{15}\cdot a^{40}$ $=a^{15+40}$ $=a^{55}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{55}.$

b) $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{25}\;:\;\left(\dfrac{1}{3}\right)^{30}.$

Đặt $a=\dfrac{1}{3}.$

Ta có: $\dfrac{1}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=a^2.$

Vậy $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{25}\;:\;\left(\dfrac{1}{3}\right)^{30}$ $=\left(a^2\right)^{25}\;:\;a^{30}$ $=a^{2\cdot 25}\;:\;a^{30}$ $=a^{50}\;:\;a^{30}$ $=a^{50-30}$ $=a^{20}$ $=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{20}.$

c) $\left(\dfrac{1}{16}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{8}\right)^2.$

Đặt $a=\dfrac{1}{2}.$

Ta có: $\dfrac{1}{16}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=a^4$ và $\dfrac{1}{8}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=a^3.$

Vậy $\left(\dfrac{1}{16}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{8}\right)^2$ $=\left(a^4\right)^3\;:\;\left(a^3\right)^2$ $=a^{4\cdot 3}\;:\;a^{3\cdot 2}$ $=a^{12}\;:\;a^6$ $=a^{12-6}$ $=a^6$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6.$

d) $\left(x^3\right)^2\;:\;\left(x^2\right)^3$ $=x^{3\cdot 2}\;:\;x^{2\cdot 3}$ $=x^6\;:\;x^6$ $=1.$

a) $x^{15}$ $=x^{5\cdot 3}$ $=\left(x^3\right)^5.$

b) $x^{15}$ $=x^{5\cdot 3}$ $=\left(x^5\right)^3.$

Ta có: $\left(x^m\right)^n=x^{m\cdot n}$ và $\left(x^n\right)^m=x^{n\cdot m}.$

Mặt khác, do $m\cdot n=n\cdot m$ nên $x^{m\cdot n}=x^{n\cdot m}.$

Vậy $\left(x^m\right)^n=\left(x^n\right)^m.$

a) $(-2)^4\cdot (-2)^5$ và $(-2)^{12}\;:\;(-2)^3.$

Ta có:

+) $(-2)^4\cdot (-2)^5$ $=(-2)^{4+5}$ $=(-2)^9.$

+) $(-2)^{12}\;:\;(-2)^3$ $=(-2)^{12-3}$ $=(-2)^9.$

Do đó $(-2)^4\cdot (-2)^5=(-2)^{12}\;:\;(-2)^3.$

b) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^6$ và $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\right]^2.$

Ta có:

+) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^6$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2+6}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^8.$

+) $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\right]^2$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4\cdot 2}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^8.$

Vậy $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^6=\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\right]^2.$

c) $\left(-\dfrac{3}{2}\right)^5\;:\;\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3$ và $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2.$

Ta có: $\left(-\dfrac{3}{2}\right)^5\;:\;\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3$ $=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{5-3}$ $=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2$ $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ (vì $2$ là số mũ chẵn).

Vậy $\left(-\dfrac{3}{2}\right)^5\;:\;\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2.$

d) $2^{160}$ và $(-4)^{120}.$

Ta có: $(-4)^{120}$ $=4^{120}$ $=\left(2^2\right)^{120}$ $=2^{2\cdot 120}$ $=2^{240}.$

Vì $160 < 240$ nên $2^{160} < 2^{140}.$

Vậy $2^{160} < (04)^{120}.$

a) $\dfrac{81}{16}$ $=\dfrac{3^4}{2^4}$ $=\left(\dfrac{3}{4}\right)^4.$

b) $\dfrac{256}{625}$ $=\dfrac{2^8}{5^4}$ $=\dfrac{2^{2\cdot 4}}{5^4}$ $=\dfrac{\left(2^2\right)^4}{5^4}$ $=\dfrac{4^4}{5^4}$ $=\left(\dfrac{4}{5}\right)^4.$

+) $32$ $=2^5.$

+) $3^{15}$ $=3^{3\cdot 5}$ $=\left(3^3\right)^5$ $=27^5.$

+) $4^{10}$ $=4^{2\cdot 5}$ $=\left(4^2\right)^5$ $=16^5.$

a) $(x-1)^3=27.$

Ta có $27=3^3.$

Vậy $(x-1)^3=3^3.$

Do đó $x-1=3.$

Dẫn đến $x=3+1=4.$

b) $(2x+1)^2=25$

Ta có: $25=5^2=(-5)^2.$

Vậy từ đề bài ta có $2x+1=5$ hoặc $2x+1=-5.$

+) $2x+1=5$ dẫn đến $2x=5-1=4.$ Suy ra $x=4\;:\;2=2.$

+) $2x+1=-5$ dẫn đến $2x=-5-1=-6.$ Suy ra $x=-6\;:\;2=-3.$

Vậy $x=2$ hoặc $x=-3.$

c) $(2x-1)^3=-8$

Ta có: $-8=(-2)^3.$

Vậy từ đề bài ta có $2x-1=-2.$

Dẫn đến $2x=-2+1=-1.$

Suy ra $x=\dfrac{-1}{2}.$

d) $(2x-3)^4=81$

Ta có: $81=3^4=(-3)^4.$

Vậy từ đề bài ta có $2x-3=3$ hoặc $2x-3=-3.$

+) $2x-3=3$ dẫn đến $2x=3+3=6.$ Suy ra $x=6\;:\;2=3.$

+) $2x-3=-3$ dẫn đến $2x=-3+3=0.$ Suy ra $x=0.$

Vậy $x=3$ hoặc $x=0.$

e) Vì $(2x-1)^6=(2x-1)^8$ nên $2x-1=0$ hoặc $2x-1=1$ hoặc $2x-1=-1.$

+) $2x-1=0$ dẫn đến $2x=1.$ Suy ra $x=\dfrac{1}{2}.$

+) $2x-1=1$ dẫn đến $2x=1+1=2.$ Suy ra $x=2\;:\;2=1.$

+) $2x-1=-1$ dẫn đến $2x=-1+1=0.$ Suy ra $x=0.$

Vậy $x=\dfrac{1}{2}$ hoặc $x=1$ hoặc $x=0.$

a) $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{27}.$

Ta có: $\dfrac{1}{27}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3.$

Vậy từ đề bài ta có: $x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}.$

Dẫn đến $x=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}.$

Vậy $x=\dfrac{5}{6}.$

b) $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{16}{81}.$

Ta có: $\dfrac{16}{81}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^4.$

Vậy từ đề bài ta có: $x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}$ hoặc $x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{2}{3}.$

+) $x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}$ dẫn đến $x=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}.$

+) $x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{2}{3}$ dẫn đến $x=-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{7}{6}.$

Vậy $x=\dfrac{1}{6}$ hoặc $x=-\dfrac{7}{6}.$

a) $\dfrac{27^4\cdot 3^2}{9^3}$ $=\dfrac{\left(3^3\right)^4\cdot 3^2}{\left(3^2\right)^3}$ $=\dfrac{3^{3\cdot 4}\cdot 3^2}{3^{2\cdot 3}}$ $=\dfrac{3^{12}\cdot 3^2}{3^6}$ $=\dfrac{3^{12+2}}{3^6}$ $=\dfrac{3^{14}}{3^6}$ $=3^{14-6}$ $=3^8.$

b) $\dfrac{125^2\cdot 25^3}{5^4}$ $=\dfrac{5^3\cdot \left(5^2\right)^3}{5^4}$ $=\dfrac{5^3\cdot 5^{2\cdot 3}}{5^4}$ $=\dfrac{5^3\cdot 5^6}{5^4}$ $=\dfrac{5^{3+6}}{5^4}$ $=\dfrac{5^9}{5^4}$ $=5^{9-4}$ $=5^5.$

c) $\dfrac{\left(\dfrac{1}{8}\right)^3\cdot 64^4}{4^3}$

+) Xét tử: $\left(\dfrac{1}{8}\right)^3\cdot 64^4$ $=\dfrac{1}{8^3}\cdot \left(8^2\right)^4$ $=\dfrac{1}{8^3}\cdot 8^{8}$ $=8^5$ $=\left(2^3\right)^5$ $=2^{15}.$

+) Xét mẫu: $4^3$ $=\left(2^2\right)^3$ $=2^6.$

Vậy $\dfrac{\left(\dfrac{1}{8}\right)^3\cdot 64^4}{4^3}$ $=\dfrac{2^{15}}{2^6}$ $=2^9.$

a) $\dfrac{2^3\cdot 3+3^2\cdot 2}{2^2\cdot 3}$ $=\dfrac{2\cdot 3\cdot (2^2+3)}{2\cdot 2\cdot 3}$ $=\dfrac{2^2+3}{2}$ $=\dfrac{4+3}{2}$ $=\dfrac{7}{2}.$

b) $\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2\cdot (-1)^5}{\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\cdot \left(-\dfrac{5}{12}\right)^2}$

+) Xét tử: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2\cdot (-1)^5$ $=\dfrac{2^3}{3^3}\cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\cdot (-1)$ $=-\dfrac{2^3}{3^3}\cdot \dfrac{3^2}{4^2}$ $=-\dfrac{2^3}{3^3}\cdot \dfrac{3^2}{2^4}$ $=\dfrac{1}{3\cdot 2}$ $=\dfrac{1}{6}.$

+) Xét mẫu: $\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\cdot \left(-\dfrac{5}{12}\right)^2$ $=\dfrac{2^2}{5^2}\cdot \left(\dfrac{5}{12}\right)^2$ $=\dfrac{2^2}{5^2}\cdot \dfrac{5^2}{12^2}$ $=\dfrac{2^2}{5^2}\cdot \dfrac{5^2}{\left(2^2\cdot 3\right)^2}$ $=\dfrac{2^2}{5^2}\cdot \dfrac{5^2}{2^4\cdot 3^2}$ $=\dfrac{1}{2^2\cdot 3^2}$ $=\dfrac{1}{(2\cdot 3)^2}$ $=\dfrac{1}{6^2}$ $=\left(\dfrac{1}{6}\right)^2.$

Vậy $\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2\cdot (-1)^5}{\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\cdot \left(-\dfrac{5}{12}\right)^2}$ $=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\left(\dfrac{1}{6}\right)^2}$ $=\dfrac{1}{\dfrac{1}{6}}$ $=6.$

c) $(0,25)^3\cdot 32$ $=(0,25)^3\cdot 64\;:\;2$ $=(0,25)^3\cdot 4^3\;:\;2$ $=(0,25\cdot 4)^3\;:\;2$ $=1^3\;:\;2$ $=1\;:\;2$ $=0,5.$

d) $(-0,125)^3\cdot 80^4$ $=-(0,125)^3\cdot 80^3\cdot 80$ $=-(0,125\cdot 80)^3\cdot 80$ $=-10^3\cdot 80$ $=-80\;000.$

e) $\dfrac{81^{11}\cdot 3^{17}}{27^{10}\cdot 9^{15}}$ $=\dfrac{\left(3^4\right)^{11}\cdot 3^{17}}{\left(3^3\right)^{10}\cdot \left(3^2\right)^{15}}$ $=\dfrac{3^{44}\cdot 3^{17}}{3^{30}\cdot 3^{30}}$ $=\dfrac{3^{61}}{3^{60}}$ $=3.$

f) $3^2\cdot \dfrac{1}{243}\cdot 81^2\cdot \dfrac{1}{3^2}$ $=\left(3^2\cdot \dfrac{1}{3^2}\right)\cdot \dfrac{1}{243}\cdot 81^2$ $=1\cdot \dfrac{1}{243}\cdot 81^2$ $=\dfrac{1}{243}\cdot 81^2$ $=\dfrac{1}{3^5}\cdot \left(3^4\right)^2$ $=\dfrac{1}{3^5}\cdot 3^8$ $=3^3$ $=27.$

a) $1,5\cdot 10^8 < 7,78\cdot 10^8$ nên Mộc tinh xa Mặt Trời hơn.

b) Ta có: $7,78\cdot 10^8-1,5\cdot 10^8$ $=(7,78-1,5)\cdot 10^8$ $=6,28\cdot 10^8.$

Vậy khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời kém khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời $6,28\cdot 10^8\;km.$

a)

+) Số $2,125\cdot 10^{103}$ có dạng một ký hiệu khoa học.

+) Số $12,53\cdot 10^{27}$ không có dạng của một ký hiệu khoa học, vì $12,53 > 10.$

b) Viết lại theo ký hiệu khoa học:

– Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời khoảng $15\cdot 10^7\;km$ $=1,5\cdot 10^8\;km.$

– Khối lượng của Sao Thổ khoảng $56\;846\cdot 10^{22}\;kg$ $=5,6846\cdot 10^{26}\;km.$

– Tốc độ ánh sáng khoảng $300\;000\;000\;m/s$ $=3\cdot 10^8\;m/s.$

a) $A=\dfrac{6+3^2\cdot 2-6\cdot 3^2}{3^2+3\cdot 3^2-3^4}$ $=\dfrac{6+6\cdot 3-6\cdot 3^2}{3^2+3\cdot 3^2-3^2\cdot 3^2}$ $=\dfrac{6\cdot (1+3-3^2)}{3^2\cdot (1+3-3^2)}$ $=\dfrac{6}{3^2}$ $=\dfrac{2}{3}.$

b) $B=\dfrac{2\cdot 8^4\cdot 27^2+4\cdot 6^9}{2^7\cdot 6^7+2^7\cdot 40\cdot 9^4}$

+) Xét tử: $2\cdot 8^4\cdot 27^2+4\cdot 6^9$ $=2\cdot \left(2^3\right)^4\cdot \left(3^3\right)^2+2^2\cdot (2\cdot 3)^9$ $=2\cdot 2^{12}\cdot 3^6+2^2\cdot 2^9\cdot 3^9$ $=2^{13}\cdot 3^6+2^{11}\cdot 3^9$ $=2^{11}\cdot 3^6\cdot (2^2+3^3)$ $=2^{11}\cdot 3^6\cdot 31.$

+) Xét mẫu: $2^7\cdot 6^7+2^7\cdot 40\cdot 9^4$ $=2^7\cdot (2\cdot 3)^7+2^7\cdot 8\cdot 5\cdot\left(3^2\right)^4$ $=2^7\cdot 2^7\cdot 3^7+2^7\cdot 2^3\cdot 5\cdot 3^8$ $=2^{14}\cdot 3^7+2^{10}\cdot 3^8\cdot 5$ $=2^{10}\cdot 3^7\cdot (2^4+3\cdot 5)$ $=2^{10}\cdot 3^7\cdot 31.$

$(\Rightarrow)$ Vậy $B=\dfrac{2^{11}\cdot 3^6\cdot 31}{2^{10}\cdot 3^7\cdot 31}=\dfrac{2}{3}.$

Ta có: $\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{4}{10}\cdot \dfrac{5}{12}…\dfrac{30}{62}\cdot \dfrac{31}{64}$ $=\dfrac{1}{2\cdot 2}\cdot \dfrac{2}{2\cdot 3}\cdot \dfrac{3}{2\cdot 4}\cdot \dfrac{4}{2\cdot 5}\cdot \dfrac{5}{2\cdot 6}…\dfrac{30}{2\cdot 31}\cdot \dfrac{31}{64}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}…\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{64}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{30}\cdot\dfrac{1}{64}$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{30}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{36}.$

Vậy $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{36}\cdot 2^n=1.$

Do đó $2^n=1\;:\;\left(\dfrac{1}{2}\right)^{36}=1\;:\;\dfrac{1}{2^{36}}=2^{36}.$

Suy ra $n=36.$

a) $\dfrac{625}{5^n}=5$ dẫn đến $5^n=\dfrac{625}{5}=125=5^3.$

Do đó $n=3.$

b) $\dfrac{(-3)^n}{27}=-9$ dẫn đến $(-3)^n=-9\cdot 27=-3^2\cdot 3^3=-3^5=(-3)^5.$

Do đó $n=5.$

c) $3^n\cdot 2^n=36$

Ta có $3^n\cdot 2^n=(3\cdot 2)^n=6^n$ và $36=6^2.$

Vậy $6^n=6^2.$

Do đó $n=2.$

d) $25^{2n}\;:\;5^n=125^2$

Ta có: $25^{2n}\;:\;5^n=\left(5^2\right)^{2n}\;:\;5^n=5^4n\;:\;5^n=5^{3n}$ và $125^2=\left(5^3\right)^2=5^6.$

Vậy $5^{3n}=5^6.$

Do đó $3n=6,$ dẫn đến $n=6\;:\;3=2.$

Vậy $n=2.$

a) $3^{x+2}+3^x=810.$

Ta có: $3^{x+2}+3^x$ $=3^x\cdot 3^2+3^x$ $=3^x\cdot (3^2+1)$ $=3^x\cdot 10.$

Vậy $3^x\cdot 10=810.$

Dẫn đến $3^x=810\;:\;10=81=3^4.$

Do đó $x=4.$

b) $5^{x+2}-5^{x+1}-13\cdot 5^x=7\cdot 5^2.$

Ta có: $5^{x+2}-5^{x+1}-13\cdot 5^x$ $=5^x\cdot 5^2-5^x\cdot 5^1-13\cdot 5^x$ $=5^x\cdot (5^2-5^1-13)$ $=5^x\cdot 7.$

Vậy $5^x\cdot 7=7\cdot 5^2.$

Suy ra $5^x=5^2.$

Suy ra $x=2.$

c) $\dfrac{7^{x+2}+7^{x+1}+7^x}{57}=\dfrac{5^{2x}+5^{2x+1}+5^{2x+3}}{131}.$

Ta có:

+) $\dfrac{7^{x+2}+7^{x+1}+7^x}{57}$ $=\dfrac{7^x\cdot 7^2+7^x\cdot 7^1+7^x}{57}$ $=\dfrac{7^x\cdot(7^2+7^1+1)}{57}$ $=\dfrac{7^x\cdot 57}{57}$ $=7^x.$

+) $\dfrac{5^{2x}+5^{2x+1}+5^{2x+3}}{131}$ $=\dfrac{5^{2x}+5^{2x}\cdot 5^1+5^{2x}\cdot 5^3}{131}$ $=\dfrac{5^{2x}\cdot(1+5^1+5^3)}{131}$ $=\dfrac{5^{2x}\cdot 131}{131}$ $=5^{2x}$ $=\left(5^2\right)^x$ $=25^x.$

Vậy $7^x=25^x.$

Dẫn đến $\dfrac{7^x}{25^x}=1,$ hay $\left(\dfrac{7}{25}\right)^x=1.$

Do đó $x=0.$

d) $2^{x+2}\cdot 3^{x+1}\cdot 5^x=10800.$

Ta có: $2^{x+2}\cdot 3^{x+1}\cdot 5^x$ $=2^x\cdot 2^2\cdot 3^x\cdot 3^1\cdot 5^x$ $=(2^x\cdot 3^x\cdot 5^x)\cdot 2^2\cdot 3^1$ $=(2\cdot 3\cdot 5)^x\cdot 4\cdot 3$ $=30^x\cdot 12$

Vậy $30^x\cdot 12=10800.$

Dẫn đến $30^x=10800\;:\;12=900=30^2.$

Do đó $x=2.$

Ta có: $12^x$ $=\left(2^2\cdot 3\right)^x$ $=\left(2^2\right)^x\cdot 3^x$ $=2^{2x}\cdot 3^x.$

Vậy $2^{x+1}\cdot 3^y=2^{2x}\cdot 3^x.$

Do đó $\dfrac{2^{x+1}}{2^{2x}}=\dfrac{3^x}{3^y},$ hay $2^{x+1-2x}=3^{x-y}.$

Suy ra: $x+1-2x=0$ và $x-y=0.$

Vì $x+1-2x=0$ nên $1-x=0.$ Suy ra $x=1.$

Vì $x-y=0$ nên $y=x.$

Vậy $x=y=1.$

a) $ab=\dfrac{3}{5},$ $bc=\dfrac{4}{5},$ $ca=\dfrac{3}{4}.$

Ta có: $(abc)^2=ab\cdot bc\cdot ca=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{3}{4}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2.$

Suy ra: $abc=\dfrac{3}{5}$ hoặc $abc=-\dfrac{3}{5}.$

+) Khi $abc=\dfrac{3}{5},$ kết hợp với $ab=\dfrac{3}{5},$ suy ra $c=1.$ Kết hợp với $bc=\dfrac{4}{5}$ và $ca=\dfrac{3}{4},$ suy ra $b=\dfrac{4}{5}$ và $a=\dfrac{3}{4}.$

+) Khi $abc=-\dfrac{3}{5},$ kết hợp với $ab=\dfrac{3}{5},$ suy ra $c=-1.$ Kết hợp với $bc=\dfrac{4}{5}$ và $ca=\dfrac{3}{4},$ suy ra $b=-\dfrac{4}{5}$ và $a=-\dfrac{3}{4}.$

$(\Rightarrow)$ Vậy có hai đáp án cho bài toán này:

+) $a=\dfrac{3}{4},$ $b=\dfrac{4}{5},$ $c=1;$

hoặc

+) $a=-\dfrac{3}{4},$ $b=-\dfrac{4}{5},$ $c=-1.$

b) $a(a+b+c)=-12,$ $b(a+b+c)=18,$ $c(a+b+c)=30.$

Ta có: $(a+b+c)^2$ $=(a+b+c)(a+b+c)$ $=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)$ $=(-12)+18+30$ $=36$ $=6^2.$

Suy ra: $a+b+c=6$ hoặc $a+b+c=-6.$

+) Khi $a+b+c=6,$ kết hợp với $a(a+b+c)=-12,$ $b(a+b+c)=18$ và $c(a+b+c)=30,$ ta suy ra $a=-12\;:\;6=-2,$ $b=18\;:\;6=3$ và $c=30\;:\;6=5.$

+) Khi $a+b+c=-6,$ kết hợp với $a(a+b+c)=-12,$ $b(a+b+c)=18$ và $c(a+b+c)=30,$ ta suy ra $a=-12\;:\;(-6)=2,$ $b=18\;:\;(-6)=-3$ và $c=30\;:\;(-6)=-5.$

$(\Rightarrow)$ Vậy có hai đáp án cho bài toán này là:

+) $a=-2,$ $b=3,$ $c=5;$

hoặc

+) $a=2,$ $b=-3,$ $c=-5.$

c) $ab=c,$ $bc=4a,$ $ac=9b.$

Ta có: $(abc)^2$ $=ab\cdot bc\cdot ca$ $=c\cdot 4a\cdot 9b$ $=36\cdot abc.$

Vậy $(abc)^2=36\cdot abc.$

Suy ra $(abc)^2-36\cdot abc=0,$ hay $abc\cdot (abc-36)=0.$

Suy ra $abc=0$ hoặc $abc=36.$

+) Khi $abc=0,$ kết hợp với $ab=c,$ suy ra $cc=0,$ hay $c^2=0.$ Do đó $c=0.$ Kết hợp với $bc=4a$ và $ac=9b,$ suy ra $a=0$ và $b=0.$

+) Khi $abc=36,$ kết hợp với $ab=c,$ $bc=4a$ và $ac=9b,$ suy ra $c^2=36,$ $4a^2=36,$ $9b^2=36.$

Do đó $c^2=36=6^2,$ $a^2=36\;:\;4=9=3^2,$ $b^2=36\;:\;9=4=2^2.$

Suy ra $c=\pm 6,$ $a=\pm 3,$ $b=\pm 2.$

Nếu $c=6$ thì từ $abc=36$ suy ra $ab=6>0.$ Do đó $a, b$ cùng dấu. Vậy $a=3, b=2$ hoặc $a=-3, b=-2.$

Nếu $c=-6$ thì từ $abc=36$ suy ra $ab=-6<0.$ Do đó, $a,b$ trái dấu. Vậy $a=3, b=-2$ hoặc $a=-3, b=2.$

+) Kết luận: Có $5$ bộ số $(a; b; c)$ thỏa mãn bài toán: $(0; 0; 0),$ $(3; 2; 6),$ $(-3; -2; 6),$ $(3;-2;-6),$ $(-3;2;-6).$

a) $5^{300}$ và $3^{500}.$

Đưa về cùng số mũ: $5^{300}=5^{3\cdot 100}=\left(5^3\right)^{100}=125^{100}$ và $3^{500}=3^{5\cdot 100}=\left(3^5\right)^{100}=243^{100}.$

So sánh: Vì $1<125 < 243$ nên $125^{100} < 243^{100}.$ Vậy $5^{300} < 3^{500}.$

b) $(0,6)^{27}$ và $(-0,9)^{18}.$

Đưa về cùng số mũ: $(0,6)^{27}=(0,6)^{3\cdot 9}=\left[(0,6)^3\right]^9=\left[0,216\right]^9$ và $(-0,9)^{18}=(0,9)^{18}=(0,9)^{2\cdot 9}=\left[(0,9)^2\right]^9=\left[0,81\right]^9.$

So sánh: Vì $0,216 < 0,81 < 1$ nên $\left[0,216\right]^9 > \left[0,81\right]^9.$ Vậy $(0,6)^{27} > (-0,9)^{18}.$

c) $(0,4)^{60}$ và $(-0,8)^{30}.$

Đưa về cùng số mũ: $(0,4)^{60}=\left[(0,4)^2\right]^{30}=(0,16)^{30}$ và $(-0,8)^{30}=(0,8)^{30}.$

So sánh: Vì $0,16 < 0,8 < 1$ nên $(0,16)^{30} > (0,8)^{30}.$ Vậy $(0,4)^{60} > (-0,8)^{30}.$

d) $9^{99}$ và $99^9.$

Ta có: $9^{99}=\left(9^{11}\right)^{9}$

Mà $9^{11} > 99 > 1$ nên $\left(9^{11}\right)^{9} > 99^9.$

Vậy $9^{99} > 99^9.$

a) $\left(-\dfrac{1}{16}\right)^{100}$ và $\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{500}.$

Đưa về cùng cơ số: $\left(-\dfrac{1}{16}\right)^{100}=\left(\dfrac{1}{16}\right)^{100}=\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\right]^{100}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{400}$ và $\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{500}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{500}.$

So sánh: Vì $0 < \dfrac{1}{2} < 1$ và $400 < 500$ nên $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{400} > \left(\dfrac{1}{2}\right)^{500}.$ Vậy $\left(-\dfrac{1}{16}\right)^{100} > \left(\dfrac{-1}{2}\right)^{500}.$

b) $(0,2)^{10}$ và $\left(\dfrac{1}{25}\right)^6.$

Đưa về cùng cơ số: $\left(\dfrac{1}{25}\right)^6=(0,04)^6=\left[(0,2)^2\right]^6=(0,2)^{12}.$

So sánh: Vì $0 < 0,2 < 1$ và $10 < 12$ nên $(0,2)^{10} > (0,2)^{12}.$ Vậy $(0,2)^{10} > \left(\dfrac{1}{25}\right)^6.$

a) $31^5$ và $17^7.$

Ta có: $31^5 < 32^5 = \left(2^5\right)^5 = 2^{25}$ và $17^7 > 16^7 = \left(2^4\right)^7=2^{28}.$

Mà $2^{25} < 2^{28}$

Vậy $31^5 < 2^{25} < 2^{28} < 17^7.$

Suy ra $31^5 < 17^7.$

b) $48^{25}$ và $8^{51}.$

Ta có: $48^{25} < 49^{25}=\left(7^2\right)^{25}=7^{50} < 8^{50} < 8^{51}.$

Vậy $48^{25} < 8^{51}.$

a) $99^{20}$ và $9999^{10}.$

Ta có: $99^{20}=\left(99^2\right)^{10}.$

Mà $1< 99^2=99\cdot 99 < 99\cdot 101 = 9999$ nên $\left(99^2\right)^{10} < 9999^{10}.$

Vậy $99^{20} < 9999^{10}.$

b) $33^{44}$ và $44^{33}.$

Ta có:

+) $33^{44}=\left(33^4\right)^{11}$ và $44^{33}=\left(44^3\right)^{11}.$

+) $33^4=(3\cdot 11)^4=3^4\cdot 11^4=(3^4\cdot 11)\cdot 11^3.$

+) $44^3=(4\cdot 11)^3=4^3\cdot 11^3.$

+) $3^4\cdot 11 =3^2\cdot 3^2\cdot 11 > 4\cdot 4\cdot 4=4^3.$

Từ những điều trên ta suy ra $33^{44} > 44^{33}.$

c) $(-32)^9$ và $(-18)^{13}.$

Lập thương: $\dfrac{32^9}{18^{13}}$ $=\dfrac{\left(2^5\right)^9}{\left(2\cdot 3^2\right)^{13}}$ $=\dfrac{2^{45}}{2^{13}\cdot 3^{26}}$ $=\dfrac{2^{32}}{3^{26}}$ $< \dfrac{2^{32}}{3^{24}}$ $=\dfrac{\left(2^4\right)^8}{\left(3^3\right)^8}$ $=\left(\dfrac{2^4}{3^3}\right)^8$ $=\left(\dfrac{16}{27}\right)^8 < 1.$

Vậy $\dfrac{32^9}{18^{13}} < 1.$

Suy ra $32^9 < 18^{13}.$

Suy ra $(-32)^9 > (-18)^{13}.$