Bài tập TOÁN 7 (CT mới) – Chuyên đề TẬP HỢP CÁC SỐ HỮU TỶ.

+) $3\dfrac{2}{5}=\dfrac{17}{5}$ nên là một số hữu tỷ.

+) $-2,43=\dfrac{-243}{100}$ nên là một số hữu tỷ.

+) $\dfrac{0,25}{-7}=\dfrac{25}{-700}$ nên là một số hữu tỷ.

+) $\dfrac{3}{301}$ là số hữu tỷ.

+) $-29=\dfrac{-29}{1}$ là số hữu tỷ.

+) $0,23=\dfrac{23}{100}$ là số hữu tỷ.

+) $\dfrac{417}{0}$ không phải là số hữu tỷ vì mẫu của nó bằng $0.$

+) $3\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$ là số hữu tỷ.

+) $\dfrac{2022-2022}{-7}=\dfrac{0}{-7}$ là số hữu tỷ.

+) $\dfrac{-7}{2022-2022}=\dfrac{-7}{0}$ không phải là số hữu tỷ vì mẫu của nó bằng $0.$

Ta có:

+) $\dfrac{-6}{14}=\dfrac{(-6):2}{14:2}=\dfrac{-3}{7}.$

+) $\dfrac{3}{-7}=\dfrac{-3}{7}.$

+) $\dfrac{-15}{35}=\dfrac{(-15):5}{35:5}=\dfrac{-3}{7}.$

Vậy các phân số $\dfrac{-6}{14};$ $\dfrac{3}{-7};$ $\dfrac{-15}{35}$ cùng biểu diễn số hữu tỷ $\dfrac{-3}{7}.$

Các phân số $\dfrac{9}{21};$ $\dfrac{-4}{8};$ đều khác $\dfrac{-3}{7}$ nên không biểu diễn số hữu tỷ $\dfrac{-3}{7}.$

a) $\dfrac{3}{7}$ và $\dfrac{2}{5}$

Ta có: $\dfrac{3}{7}=\dfrac{15}{35}$ và $\dfrac{2}{5}=\dfrac{14}{35}.$

Vì $15 > 14$ nên $\dfrac{15}{35} > \dfrac{14}{35}.$

Suy ra: $\dfrac{3}{7} > \dfrac{2}{5}.$

b) $\dfrac{-4}{3}$ và $\dfrac{-5}{4}$

Ta có: $\dfrac{-4}{3}=\dfrac{-16}{12}$ và $\dfrac{-5}{4}=\dfrac{-15}{12}.$

Vì $-16 < -15$ nên $\dfrac{-16}{12} < \dfrac{-15}{12}.$

Suy ra: $\dfrac{-4}{3} < \dfrac{-5}{4}.$

c) $\dfrac{-6}{8}$ và $\dfrac{7}{-14}$

Ta có: $\dfrac{-6}{8}=\dfrac{-3}{4}=\dfrac{-21}{28}$ và $\dfrac{7}{-14}=\dfrac{-7}{14}=\dfrac{-14}{28}.$

Vì $-21<-14$ nên $\dfrac{-21}{28}<\dfrac{-14}{28}.$

Suy ra: $\dfrac{-6}{8} < \dfrac{7}{-14}.$

a) $-1,362 < -1,358.$

b) $11,26 < 12,97.$

a)

b)

c)

a) $\dfrac{9}{3}\in\mathbb{Q}.$

b) $\dfrac{9}{3}\notin\mathbb{Z}.$

c) $-205\notin\mathbb{N}.$

d) $\dfrac{7}{-3}\notin\mathbb{Z}.$

e) $9,8\in\mathbb{Q}.$

f) $3\dfrac{2}{3}\in\mathbb{Q}.$

a) $-2\notin \mathbb{N}.$

b) $\dfrac{-3}{4}\notin \mathbb{N}$ hoặc $\dfrac{-3}{4}\notin \mathbb{Z}.$

c) $6\in \mathbb{N}$ hoặc $6\in \mathbb{Z}$ hoặc $6\in \mathbb{Q}.$

d) $0,23\in \mathbb{Q}.$

Ta có: $\dfrac{9}{3}=\dfrac{3}{1}$ nên $\dfrac{9}{3}$ và $\dfrac{3}{1}$ biểu diễn cùng một số hữu tỷ.

Ta có: $\dfrac{3}{5}=\dfrac{21}{35}$ nên $\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{21}{35}$ biểu diễn cùng một số hữu tỷ.

Ta có: $\dfrac{-2}{7}=\dfrac{6}{-21}$ nên $\dfrac{-2}{7}$ và $\dfrac{6}{-21}$ biểu diễn cùng một số hữu tỷ.

a) ĐÚNG. Vì nếu $a$ là số nguyên thì $a=\dfrac{a}{1}$ là một số hữu tỷ.

b) SAI. Chẳng hạn, chọn $a=\dfrac{1}{2}$ thì $a$ là số hữu tỷ mà không phải là số nguyên.

c) ĐÚNG.

a) $-1,5$ và $\dfrac{-8}{5}$

Ta có:

+) $-1,5=\dfrac{-15}{10}$

+) $\dfrac{-8}{5}=\dfrac{-16}{10}$

Vì $-15 > -16$ nên $\dfrac{-15}{10} > \dfrac{-16}{10}.$

Suy ra $-1,5 > \dfrac{-8}{5}.$

b) $\dfrac{5}{6}$ và $0,84$

Ta có:

+) $\dfrac{5}{6}=\dfrac{125}{150}$

+) $0,84=\dfrac{84}{100}=\dfrac{21}{25}=\dfrac{126}{150}.$

Vì $125<126$ nên $\dfrac{125}{150} < \dfrac{126}{150}.$

Suy ra $\dfrac{5}{6} < 0,84.$

c) $-1,2$ và $\dfrac{8}{-7}$

Ta có:

+) $-1,2=\dfrac{-12}{10}=\dfrac{-6}{5}=\dfrac{-42}{35}.$

+) $\dfrac{8}{-7}=\dfrac{-8}{7}=\dfrac{-40}{35}.$

Vì $-42 < -40$ nên $\dfrac{-42}{35} < \dfrac{-40}{35}.$

Suy ra $-1,2 < \dfrac{8}{-7}.$

a) $2\dfrac{1}{5}$ và $\dfrac{110}{50}$

Ta có:

+) $2\dfrac{1}{5}=\dfrac{11}{5}.$

+) $\dfrac{110}{50}=\dfrac{11}{5}.$

Suy ra $2\dfrac{1}{5}=\dfrac{110}{50}.$

b) $\dfrac{-5}{8}$ và $\dfrac{-91}{130}$

Ta có:

+) $\dfrac{-5}{8}=-0,625.$

+) $\dfrac{-91}{130}=\dfrac{-7}{10}=-0,7.$

Vì $0,625 < 0,7$ nên $-0,625 > -0,7.$

Suy ra $\dfrac{-5}{8} > \dfrac{-91}{130}.$

c) $\dfrac{-25}{35}$ và $\dfrac{444}{-777}$

Ta có:

+) $\dfrac{-25}{35}=\dfrac{-5}{7}$

+) $\dfrac{444}{-777}=\dfrac{-4}{7}$

Vì $-5 < -4$ nên $\dfrac{-5}{7} < \dfrac{-4}{7}.$

Suy ra $\dfrac{-25}{35} < \dfrac{444}{-777}.$

d) $\dfrac{52}{117}$ và $\dfrac{9}{17}$

Ta có:

+) $\dfrac{52}{117}=\dfrac{4}{9}=\dfrac{68}{153}$

+) $\dfrac{9}{17}=\dfrac{81}{153}$

Vì $68 < 81$ nên $\dfrac{68}{153} < \dfrac{81}{153}.$

Suy ra $\dfrac{52}{117} < \dfrac{9}{17}.$

So sánh các số âm:

+) $\dfrac{-2}{3}=\dfrac{-8}{12}$

+) $\dfrac{-3}{4}=\dfrac{-9}{12}$

Mà $\dfrac{-8}{12} > \dfrac{-9}{12}$ nên $\dfrac{-2}{3} > \dfrac{-3}{4}.$

So sánh các số dương:

+) $\dfrac{4}{9}=\dfrac{28}{63}$

+) $\dfrac{3}{7}=\dfrac{27}{63}$

Mà $\dfrac{28}{63} > \dfrac{27}{63}$ nên $\dfrac{4}{9} > \dfrac{3}{7}.$

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

Vì các số âm nhỏ hơn $0$ và $0$ nhỏ hơn các số dương nên ta có:

$\dfrac{-3}{4} < \dfrac{-2}{3} < 0 < \dfrac{3}{7} < \dfrac{4}{9}.$

So sánh các số âm:

+) $\dfrac{-7}{9}=\dfrac{-14}{18}$

+) $\dfrac{-5}{6}=\dfrac{-15}{18}.$

Mà $\dfrac{-14}{18} > \dfrac{-15}{18}$ nên $\dfrac{-7}{9} > \dfrac{-5}{6}.$

So sánh các số dương:

+) $0,5=\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}$

+) $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$

Mà $\dfrac{3}{6} < \dfrac{4}{6}$ nên $0,5 < \dfrac{2}{3}.$

Sắp xếp theo thứ tự giảm dần:

Vì các số dương lớn hơn $0$ và $0$ lớn hơn các số âm nên ta có:

$\dfrac{2}{3} > 0,5 > 0 > \dfrac{-7}{9} > \dfrac{-5}{6}.$

a) Vì $\dfrac{7}{23} < \dfrac{x}{23} < \dfrac{11}{23}$ nên $7 < x < 11.$

Mà $x$ là số nguyên nên $x$ bằng $8$ hoặc $9$ hoặc $10.$

b) Vì $\dfrac{-11}{12}\geq \dfrac{x}{12}\geq \dfrac{-17}{12}$ nên $-11 \geq x\geq -17.$

Mà $x$ là số nguyên nên $x$ bằng một trong các số $-11; -12; -13; -14; -15; -16; -17.$

a) Ta có: $\dfrac{-4}{5} > \dfrac{a}{5}\geq \dfrac{9}{-5}$

Suy ra: $\dfrac{-4}{5} > \dfrac{a}{5}\geq \dfrac{-9}{5}.$

Suy ra: $-4 > a\geq -9.$

Mà $a$ là số nguyên nên $a$ bằng một trong các số $-5; -6; -7; -8; -9.$

b) Ta có:

+) $\dfrac{-3}{8} < \dfrac{a}{10} < \dfrac{3}{5}$ (theo đề bài)

+) $\dfrac{-3}{8}=\dfrac{-15}{40}$

+) $\dfrac{a}{10}=\dfrac{4a}{40}$

+) $\dfrac{3}{5}=\dfrac{24}{40}$

Suy ra: $\dfrac{-15}{40} < \dfrac{4a}{40} < \dfrac{24}{40}$

Suy ra: $-15 < 4a < 24$ (1)

Mặt khác, ta luôn có $4a\;\vdots\;4$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $4a$ bằng một trong các số $-8; -4; 0; 4; 8; 12; 16; 20.$

Suy ra: $a$ bằng một trong các số $-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.$

c) Ta có:

+) $\dfrac{-5}{12} < \dfrac{a}{5} \leq 0,25$ (theo đề bài)

+) $\dfrac{-5}{12}=\dfrac{-25}{60}$

+) $\dfrac{a}{5}=\dfrac{12a}{60}$

+) $0,25=\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{60}.$

Suy ra: $\dfrac{-25}{60} < \dfrac{12a}{60}\leq \dfrac{15}{60}.$

Suy ra: $-25 < 12a < 15$ (1)

Mặt khác: $12a\;\vdots\;12$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $12a$ bằng một trong các số $-24; -12; 0; 12.$

Suy ra $a$ bằng một trong các số $-2; -1; 0; 1.$

a) $\dfrac{-123}{456}$ và $\dfrac{-78}{-91011}.$

Ta có:

+) $\dfrac{-123}{456} < 0$ (vì tử và mẫu trái dấu)

+) $\dfrac{-78}{-91011} > 0$ (vì tử và mẫu cùng dấu)

Áp dụng tính chất bắc cầu, ta suy ra: $\dfrac{-123}{456} < \dfrac{-78}{-91011}.$

b) $\dfrac{68}{67}$ và $\dfrac{67}{68}.$

Vì $68 > 67$ nên:

+) $\dfrac{68}{67} > 1$

+) $\dfrac{67}{68} < 1$

Áp dụng tính chất bắc cầu, suy ra: $\dfrac{68}{67} > \dfrac{67}{68}.$

Các điểm $A, B, C, D$ lần lượt biểu diễn các số hữu tỷ $\dfrac{-3}{6};$ $\dfrac{-2}{6};$ $\dfrac{2}{6};$ $\dfrac{7}{6}.$

Giải thích:

Quan sát hình ta thấy đoạn từ $0$ đến $1$ được chia thành $6$ đoạn nhỏ. Do đó, mỗi đoạn nhỏ có giá trị bằng $\dfrac{1}{6}.$

+) Điểm $A$ nằm bên trái số $0$ (nên là số âm) và cách $0$ ba đoạn nhỏ nên điểm $A$ biểu diễn số $\dfrac{-3}{6}.$

+) Điểm $B$ nằm bên trái số $0$ (nên là số âm) và cách $0$ hai đoạn nhỏ nên điểm $B$ biểu diễn số $\dfrac{-2}{6}.$

+) Điểm $C$ nằm bên phải số $0$ (nên là số dương) và cách $0$ hai đoạn nhỏ nên điểm $C$ biểu diễn số $\dfrac{2}{6}.$

+) Điểm $D$ nằm bên phải số $0$ (nên là số dương) và cách $0$ bảy đoạn nhỏ nên điểm $C$ biểu diễn số $\dfrac{7}{6}.$

Ta có: $\dfrac{1}{4}=0,25=\dfrac{-25}{-100}= \dfrac{5}{20}.$

Vậy các số $\dfrac{1}{4};$ $0,25;$ $\dfrac{-25}{-100};$ $\dfrac{5}{20}$ biểu diễn cùng một số hữu tỷ.

Do đó, khi biểu diễn các số $\dfrac{1}{4};$ $0,25;$ $\dfrac{-25}{-100};$ $\dfrac{5}{20}$ trên cùng một trục số thì ta chỉ được một điểm.

a) ĐÚNG. Dựa vào tính chất bắc cầu.

b) ĐÚNG. Vì số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng $0,$ còn số hữu tỷ âm thì nhỏ hơn $0.$

c) SAI. Số $0$ không âm cũng không dương.

d) SAI. Mọi số nguyên đều là số hữu tỷ nên số nguyên âm là số hữu tỷ âm.

e) SAI. Tập hợp $\mathbb{Q}$ gồm các số hữu tỷ dương, các số hữu tỷ âm và số $0.$

a) Để $x=\dfrac{m-2011}{2013}$ là số dương thì tử và mẫu phải cùng dấu.

Mà $2013$ là số dương nên $m-2011$ phải là số dương, tức là $m-2011 > 0.$

Suy ra $m>2011.$

b) Để $x=\dfrac{m-2011}{2013}$ là số âm thì tử và mẫu phải trái dấu.

Mà $2013$ là số dương nên $m-2011$ phải là số âm, tức là $m-2011 < 0.$

Suy ra $m < 2011.$

c) Để $x=\dfrac{m-2011}{2013}$ không là số dương cũng không là số âm thì $x=0.$

Suy ra $m-2011=0$

Suy ra $m=2011.$

Gọi số hữu tỷ có mẫu là $15$ là: $\dfrac{x}{15}$ $(x\in\mathbb{Z}).$

Theo đề, ta có: $\dfrac{-7}{10} < \dfrac{x}{15} < \dfrac{-9}{20}.$

Suy ra: $\dfrac{-42}{60} < \dfrac{4x}{60} < \dfrac{-27}{60}.$

Suy ra: $-42 < 4x < -27$ (1)

Mặt khác: $4x\;\vdots\;4$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $4x$ là một trong các số $-40; -36; -32; -28.$

Suy ra $x$ là một trong các số $-10; -9; -8; -7.$

Vậy các số hữu tỷ cần tìm là $\dfrac{-10}{15};$ $\dfrac{-9}{15};$ $\dfrac{8}{15};$ $\dfrac{-7}{15}.$

a) Ta có: $\dfrac{1}{9} < \dfrac{12}{a} < \dfrac{3}{2}.$

Suy ra: $\dfrac{12}{108} < \dfrac{12}{a} < \dfrac{12}{8}.$

Suy ra: $108 > a > 8.$

Mà $a$ là số nguyên nên $a$ là một trong các số $9; 10; …; 107.$

b) Ta có: $\dfrac{-1}{2} > \dfrac{12}{a} > \dfrac{4}{-3}.$

Suy ra: $\dfrac{1}{2} < \dfrac{-12}{a} < \dfrac{4}{3}.$

Suy ra: $\dfrac{12}{24} < \dfrac{12}{-a} < \dfrac{12}{9}.$

Suy ra: $24 > -a > 9.$

Suy ra: $-a$ là một trong các số $23; 22; 21; …; 11; 10.$

Suy ra $a$ là một trong các số $-23; -22; -21; …; -11; -10.$

Gọi số hữu tỷ có tử là $4$ là $\dfrac{4}{x}$ $(x\in \mathbb{Z}, x\neq 0).$

Theo đề: $\dfrac{2}{5} < \dfrac{4}{x} < \dfrac{6}{7}.$

Suy ra: $\dfrac{12}{30} < \dfrac{12}{3x} < \dfrac{12}{14}.$

Suy ra: $30 > 3x > 14$ (1)

Mặt khác $3x\;\vdots\;3$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $3x$ là một trong các số $27; 24; 21; 18; 15.$

Suy ra $x$ là một trong các số $9; 8; 7; 6; 5.$

Vậy các số hữu tỷ cần tìm là $\dfrac{4}{9};$ $\dfrac{4}{8};$ $\dfrac{4}{7};$ $\dfrac{4}{6};$ $\dfrac{4}{5}.$

Ta có: $\dfrac{1}{5}=\dfrac{8}{40}$ và $\dfrac{3}{8}=\dfrac{15}{40}.$

Vậy ta cần tìm năm phân số lớn hơn $\dfrac{8}{40}$ và nhỏ hơn $\dfrac{15}{40}.$

Ta có thể chọn năm phân số là: $\dfrac{9}{40};$ $\dfrac{10}{40};$ $\dfrac{11}{40};$ $\dfrac{12}{40};$ $\dfrac{13}{40}.$

Chứng minh $\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}.$

Ta có:

+) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{ad}{bd}$ và $\dfrac{c}{d}=\dfrac{bc}{bd}$ (1)

+) Vì $b > 0$ và $d > 0$ nên $bd > 0$ (2)

+) Theo đề bài thì $ad > bc$ (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra: $\dfrac{ad}{bd} > \dfrac{bc}{bd}$ (4)

Từ (1) và (4) ta suy ra: $\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}.$

Áp dụng: So sánh $\dfrac{231}{45}$ và $\dfrac{123}{36}.$

Ta có:

+) $45 > 0$ và $36 > 0.$

+) $231\cdot 36 = 8\;316$ và $45\cdot 123 = 5\;535.$ Suy ra $231\cdot 36 > 45\cdot 123.$

Suy ra: $\dfrac{231}{45} > \dfrac{123}{36}.$

Chứng minh:

Ta có:

+) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a(b+1)}{b(b+1)}=\dfrac{ab+a}{b(b+1)}$ (1)

+) $\dfrac{a+1}{b+1}=\dfrac{b(a+1)}{b(b+1)}=\dfrac{ab+b}{b(b+1)} (2)

+) Vì $a > b$ nên $ab+a > ab+b$ (3)

+) Vì $b$ là số nguyên dương nên $b(b+1)$ là số nguyên dương (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\dfrac{ab+a}{b(b+1)} > \dfrac{ab+b}{b(b+1)}$ (5)

Từ (1), (2) và (5) suy ra $\dfrac{a}{b} > \dfrac{a+1}{b+1}.$

Áp dụng: So sánh $\dfrac{145}{178}$ và $\dfrac{146}{179}.$

Ta có: $\dfrac{145}{178} < \dfrac{145+1}{178+1}$

Tức là: $\dfrac{145}{178} < \dfrac{146}{179}.$

a) $\dfrac{998}{555}$ và $\dfrac{999}{556}.$

Ta có: $\dfrac{998}{555}=\dfrac{555+443}{555}=1+\dfrac{443}{555}$ và $\dfrac{999}{556}=\dfrac{556+443}{556}=1+\dfrac{443}{556}$

Mà $\dfrac{443}{555} > \dfrac{443}{556}$ (so sánh hai phân số cùng tử)

Suy ra $1+\dfrac{443}{555} > 1+\dfrac{443}{556}.$

Do đó $\dfrac{998}{555} > \dfrac{999}{556}.$

b) $\dfrac{-315}{380}$ và $\dfrac{-316}{381}.$

Ta có: $\dfrac{-315}{380}=\dfrac{65-380}{380}=\dfrac{65}{380}-1$ và $\dfrac{-316}{381}=\dfrac{65-381}{381}=\dfrac{65}{381}-1.$

Mà $\dfrac{65}{380} > \dfrac{65}{381}$ (so sánh hai phân số cùng tử)

Suy ra $\dfrac{65}{380} – 1 > \dfrac{65}{381} – 1.$

Do đó $\dfrac{-315}{380} > \dfrac{-316}{381}.$

c) $\dfrac{2020}{2019}$ và $\dfrac{2018}{2019}.$

Ta có:

+) $\dfrac{2020}{2019} > 1$ (vì tử lớn hơn mẫu)

+) $\dfrac{2018}{2019} < 1$ (vì tử nhỏ hơn mẫu)

Theo tính chất bắc cầu, ta suy ra $\dfrac{2020}{2019} > \dfrac{2018}{2019}.$

a) $3,5$ và $\dfrac{35}{17}.$

Ta có: $3,5=\dfrac{35}{10} > \dfrac{35}{17}.$

Vậy $3,5 > \dfrac{35}{17}.$

b) $\dfrac{-19}{2022}$ và $\dfrac{-31}{3033}.$

Ta có:

+) $\dfrac{-19}{2022} > \dfrac{-20}{2022}=\dfrac{-10}{1011}$

+) $\dfrac{-31}{3033} < \dfrac{-30}{3033} =\dfrac{-10}{1011}$

Vậy $\dfrac{-19}{2022} > \dfrac{-10}{1011} > \dfrac{-31}{3033}$

Suy ra: $\dfrac{-19}{2022} > \dfrac{-31}{3033}.$

c) $\dfrac{2021}{2022}$ và $\dfrac{2022}{2023}.$

Ta có:

+) $\dfrac{2021}{2022}=\dfrac{2022-1}{2022}=1+\dfrac{-1}{2022}$

+) $\dfrac{2022}{2023}=\dfrac{2023-1}{2023}=1+\dfrac{-1}{2023}$

Ta có $\dfrac{1}{2022} > \dfrac{1}{2023}$ nên $\dfrac{-1}{2022} < \dfrac{-1}{2023}.$

Suy ra: $1+\dfrac{-1}{2022} < 1+\dfrac{-1}{2023}.$

Do đó $\dfrac{2021}{2022} < \dfrac{2022}{2023}.$

d) $\dfrac{2022}{2021}$ và $\dfrac{2023}{2022}.$

Ta có:

+) $\dfrac{2022}{2021}=\dfrac{2021+1}{2021}=1+\dfrac{1}{2021}.$

+) $\dfrac{2023}{2022}=\dfrac{2022+1}{2022}=1+\dfrac{1}{2022}.$

Mà $\dfrac{1}{2021} > \dfrac{1}{2022}$ nên $1+\dfrac{1}{2021} > 1+\dfrac{1}{2022}.$

Do đó $\dfrac{2022}{2021} > \dfrac{2023}{2022}.$

Ta có: $\dfrac{x}{9}<\dfrac{4}{7}<\dfrac{x+1}{9}$

Suy ra: $\dfrac{7x}{63} < \dfrac{36}{63} < \dfrac{7(x+1)}{63}$

Suy ra: $7x < 36 < 7(x+1)$

+) Từ $7x < 36$ suy ra $x < \dfrac{36}{7} \approx 5,14$ (1)

+) Từ $36 < 7(x+1)$ suy ra $x+1 > \dfrac{36}{7},$ hay $x > \dfrac{36}{7}-1=\dfrac{29}{7}\approx 4,14$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x=5.$

Để $\dfrac{5}{x-1}$ là số nguyên thì tử phải chia hết cho mẫu, tức là $5\;\vdots\;x-1.$

Vậy $x-1\in Ư(5)=\{1; 5; -1; -5\}.$

Ta có:

Vậy $x$ bằng $2$ hoặc $6$ hoặc $0$ hoặc $-4.$

Để $\dfrac{2x+3}{x-1}$ là số nguyên thì $2x+3\;\vdots\;x-1$ (1)

Mặt khác, ta luôn có $2(x-1)\;\vdots\;x-1,$ hay $2x-2\;\vdots\;x-1$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $(2x+3)-(2x-2)\;\vdots\;x-1.$

Suy ra: $5\;\vdots\;x-1$

Suy ra: $x-1\in Ư(5)=\{1; 5; -1; -5\}.$

Ta có:

Vậy $x$ bằng $2$ hoặc $6$ hoặc $0$ hoặc $-4.$

a) $A=\dfrac{3x+2}{2x+1}$

Để $A$ là số nguyên thì $3x+2\;\vdots\;2x+1.$

Suy ra: $2\cdot (3x+2)\;\vdots\;2x+1,$ hay $6x+4\;\vdots\;2x+1$ (1)

Mặt khác, ta luôn có: $3\cdot (2x+1)\;\vdots\;2x+1,$ hay $6x+3\;\vdots\;2x+1$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $(6x+4)-(6x+3)\;\vdots\;2x+1,$ hay $1\;\vdots\;2x+1.$

Suy ra $2x+1\in Ư(1)=\{1; -1\}.$

Suy ra $x\in \{0; -1\}.$

Thử lại ta thấy khi $x=0$ hoặc $x=1$ thì $A$ là số nguyên.

Vậy $x=0$ hoặc $x=1.$

b) $B=\dfrac{x^2+4x+7}{x+4}$

Để $B$ là số nguyên thì $x^2+4x+7\;\vdots\;x+4,$ (1)

Mặt khác, ta luôn có: $x\cdot (x+4)\;\vdots\;x+1,$ hay $x^2+4x\;\vdots\;x+4$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $(x^2+4x+7)-(x^2+4x)\;\vdots\;x+4,$ hay $7\;\vdots\;x+4.$

Suy ra $x+4\in Ư(7)=\{1; 7; -1; -7\}.$

Suy ra $x\in \{-3; 3; -5; -11\}.$

Thử lại ta thấy khi $x$ bằng $-3$ hoặc $3$ hoặc $-5$ hoặc $-11$ thì $B$ là số nguyên.

Vậy $x$ bằng một trong các số $-3; 3; -5; -11.$

c) $C=\dfrac{x^2+7}{x+4}.$

Để $C$ là số nguyên thì $x^2+7\;\vdots\;x+4$ (1)

Mặt khác, ta luôn có: $x\cdot (x+4)\;\vdots\;x+4,$ hay $x^2+4x\;\vdots\;x+4$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $(x^2+4x)-(x^2+7)\;\vdots\;x+4,$ hay $4x-7\;\vdots\;x+4$ (3)

Ta lại có: $4\cdot (x+4)\;\vdots\;x+4,$ hay $4x+16\;\vdots\;x+4$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $(4x+16)-(4x-7)\;\vdots\;x+4,$ hay $23\;\vdots\;x+4.$

Suy ra: $x+4\in Ư(23)=\{1; 23; -1; -23\}.$

Suy ra: $x\in \{-3; 19; -5; -27\}.$

Thử lại ta thấy khi $x$ bằng $-3$ hoặc $19$ hoặc $-5$ hoặc $-27$ thì $C$ là số nguyên.

Vậy $x$ bằng một trong các số $-3; 19; -5; -27.$

d) $D=\dfrac{x+10}{2x-8}$

Để $D$ là số nguyên thì $x+10\;\vdots\;2x-8=2(x-4).$

Suy ra $x+10\;\vdots\;x-4$ (1)

Mặt khác, ta luôn có: $x-4\;\vdots\;x-4$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $(x+10)-(x-4)\;\vdots\;x-4,$ hay $14\;\vdots\;x-4.$

Suy ra $x-4\in Ư(14)=\{\pm 1; \pm 2; \pm 7; \pm 14\}.$

Ta có:

Vậy $x$ bằng $6$ hoặc $2$ hoặc $18.$