Căn là phép tính ngược với lũy thừa. Căn bậc hai là phép tính ngược với lũy thừa bậc hai.
Khái niệm căn bậc hai số học
Ví dụ 1: Ta có: $5>0$ và $5^2 = 25$. Ta nói: $5$ là căn bậc hai số học của $25.$
Ví dụ 2: Ta có: $0,3>0$ và $0,3^2 = 0,09.$ Ta nói: $0,3$ là căn bậc hai số học của $0,09.$
🤔 Cho trước một số $a$ không âm. Số $x$ được gọi là căn bậc hai số học của $a$ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện: $x$ không âm và $x^2 = a.$
Câu hỏi 1: Biết rằng $13^2 = 169.$ Số $13$ có phải là căn bậc hai số học của $169$ không? Vì sao?
Hướng dẫn
Một số $x$ muốn là căn bậc hai số học của số $a$ không âm thì phải thỏa mãn cả hai điều:
- $x \geq 0$ (hoặc $x>0)$
- $x^2 = a.$
Giải
Ta có: $13 > 0$ và $13^2 = 169$ nên $13$ là căn bậc hai số học của $169.$
Câu hỏi 2: Biết rằng $(-7)^2 = 49.$ Số $-7$ có phải là căn bậc hai số học của $49$ không? Vì sao?
Giải
Ta có: $-7 < 0$ nên $-7$ không phải là căn bậc hai số học của $49.$
🤔 Căn bậc hai số học của $0$ bằng $0.$
🤔 Số âm không có căn bậc hai số học.
Câu hỏi 3: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau: $9;$ $16;$ $0;$ $-81.$
Giải
Căn bậc hai số học của $9$ là $3$ (vì $3>0$ và $3^2 = 9).$
Căn bậc hai số học của $16$ là $4$ (vì $4>0$ và $4^2 = 16).$
Căn bậc hai số học của $0$ là $0.$
Số $-81$ không có căn bậc hai số học vì $-81$ là số âm.
Ký hiệu căn bậc hai số học
🤔 Căn bậc hai số học của $a$ được ký hiệu là $\sqrt{a}.$
Ví dụ 3: Ký hiệu $\sqrt{4}$ để chỉ căn bậc hai số học của $4.$ Mà căn bậc hai số học của $4$ thì bằng $2$ (vì $2 > 0$ và $2^2 = 4).$ Do đó, $\sqrt{4} = 2.$
Ví dụ 4: Ký hiệu $\sqrt{25}$ để chỉ căn bậc hai số học của $25.$ Mà căn bậc hai số học của $25$ thì bằng $5.$ Do đó, $\sqrt{25} = 5.$
Câu hỏi 4: Tính: $\sqrt{36};$ $\sqrt{0,16}.$
Giải
+) $\sqrt{36} = 6$ vì $6 > 0$ và $6^2 = 36.$
+) $\sqrt{0,16} = 0,4$ vì $0,4 > 0$ và $0,4^2 = 0,16.$
Câu hỏi 5: Tính: $\sqrt{123^2};$ $\sqrt{2022^2}.$
Giải
+) Giả sử $\sqrt{123^2} = a.$ Khi đó, $a$ là căn bậc hai số học của $123^2.$ Do đó, $a\geq 0$ và $a^2 = 123^2.$ Suy ra $a = 123.$
Vậy $\sqrt{123^2} = 123.$
+) Giả sử $\sqrt{2022^2} = b.$ Khi đó, $b$ là căn bậc hai số học của $2022^2.$ Do đó, $b\geq 0$ và $b^2 = 2022^2.$ Suy ra $b = 2022.$
Vậy $\sqrt{2022^2} = 2022.$
Nhận xét
Nếu $a\geq 0$ thì $\sqrt{a^2} = a.$
Câu hỏi 6:
a) Số $-8$ có phải là căn bậc hai số học của $64$ không? Vì sao?
b) Chứng tỏ rằng $\sqrt{(-8)^2} = 8.$
Giải
a) KHÔNG. Vì $-8<0$ nên $-8$ không thể là căn bậc hai số học của $64$ được.
b) Ta có: $(-8)^2 = 8^2 \;(=64).$ Do đó: $\sqrt{(-8)^2} = \sqrt{8^2} = 8.$
Nhận xét
Nếu $a<0$ thì $\sqrt{a^2} = -a.$ (Dấu trừ giúp ta đổi dấu của $a).$
Thí dụ: $\sqrt{(-6)^2} = -(-6) = 6.$
Câu hỏi 7: Chứng tỏ rằng:
a) $1,2$ là căn bậc hai số học của $1,44.$
b) $\sqrt{100} = 10.$
c) $\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7.$
d) $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ với $a$ là một số không âm.
Giải
a) Ta có: $1,2>0$ và $1,2^2 = 1,44.$ Do đó $1,2$ là căn bậc hai số học của $1,44.$
b) Ta có: $10 > 0$ và $10^2 = 100.$ Do đó $10$ là căn bậc hai số học của $100.$ Tức là $\sqrt{100} = 10.$
c) Đặt $\sqrt{7} = x$ thì $x$ là căn bậc hai số học của $7.$ Do đó: $x\geq 0$ và $x^2 = 7.$ Suy ra: $\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7.$
d) Làm tương tự câu c). Đặt $\sqrt{a} = x$ thì $x$ là căn bậc hai số học của $a.$ Do đó: $x\geq 0$ và $x^2 = a.$ Suy ra: $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a.$
Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay
Sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính được (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai số học của một số không âm bất kỳ. Chẳng hạn:
Câu hỏi 8: Tính độ dài cạnh của một mảnh đất hình vuông có diện tích là $144\;m^2.$
Giải
Gọi $a$ (đơn vị: $m)$ là độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông đó. Khi đó, diện tích mảnh đất đó bằng $a^2\;(m^2).$
Theo đề, mảnh đất đó có diện tích là $144\;m^2.$
Do đó: $a^2 = 144.$
Mà $a$ biểu thị độ dài nên $a\geq 0.$
Suy ra: $a = \sqrt{144} = 12.$
Vậy độ dài cạnh của hình vuông đó là $12\;m.$
Nhận xét
Độ dài cạnh của một hình vuông bằng căn bậc hai số học của diện tích: $a = \sqrt{S}.$