Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 6 – Chương 2, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 7 – tập 1, thuộc bộ sách Cánh diều.
Luyện tập 1 (Trang 55 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Viết dãy tỷ số bằng nhau từ các tỷ số: $\dfrac{1}{4};$ $\dfrac{8}{32};$ $\dfrac{13}{54};$ $\dfrac{-9}{-36}.$
Hướng dẫn
Ở mỗi tỷ số (có thể xem như một phân số), bằng cách dùng máy tính, lấy tử số chia cho mẫu số, ta sẽ tính được giá trị thập phân của tỷ số ấy.
Cụ thể, sau khi bấm máy tính, ta tính được: $\dfrac{1}{4} = 0,25;$ $\dfrac{8}{32} =0,25;$ $\dfrac{13}{54} =0,2(407);$ $\dfrac{-9}{-36} = 0,25.$
Từ đó ta thấy $\dfrac{1}{4}; \dfrac{8}{32}; \dfrac{-9}{-36}$ đều bằng $0,25,$ nên chúng đôi một bằng nhau và lập thành dãy tỷ số bằng nhau.
Giải
Ta thấy các tỷ số $\dfrac{1}{4};$ $\dfrac{8}{32};$ $\dfrac{-9}{-36}$ đôi một bằng nhau và không bằng tỷ số $\dfrac{13}{54}.$ Do đó, ta có dãy tỷ số bằng nhau là: $ \dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{32}=\dfrac{-9}{-36}.$
Luyện tập 2 (Trang 57 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Tìm hai số $x, y,$ biết: $x:1,2 = y : 0,4$ và $x-y=2.$
Giải
Ta thấy: $x:1,2 = y:0,4$ đồng nghĩa với: $\dfrac{x}{1,2} = \dfrac{y}{0,4}.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$ \dfrac{x}{1,2} = \dfrac{y}{0,4} = \dfrac{x-y}{1,2-0,4}=\dfrac{2}{0,8} =2,5.$$
Suy ra: $x = 1,2\cdot 2,5 =3$ và $y = 0,4\cdot 2,5 = 1.$
Luyện tập 3 (Trang 57 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Tìm ba số $x; y; z,$ biết $x; y; z$ tỷ lệ với ba số $2; 3; 4$ và $x-y-z=2.$
Giải
Vì $x; y; z$ tỷ lệ với ba số $2; 3; 4$ nên $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$ \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = \dfrac{x-y-z}{2-3-4}$$
$$\;\;\;\;\; = \dfrac{2}{-5} = -0,4.$$
Suy ra: $x = (-0,4) \cdot 2 = -0,8;$ $y = (-0,4)\cdot 3 = -1,2$ và $z = (-0,4) \cdot 4 = -1,6.$
Luyện tập 4 (Trang 57 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Ba máy bơm cùng bơm nước vào một bể bơi không có nước, có dạng hình hộp chữ nhật, với các kích thước bể là: $12\;m;$ $10\;m;$ $1,2\;m.$ Lượng nước mà ba máy bơm được tỷ lệ với ba số $7; 8; 9.$ Mỗi máy cần bơm bao nhiêu mét khối nước để đầy bể bơi?
Giải
Thể tích của bể là: $12\cdot 10\cdot 1,2 = 144\;(m^3).$
Gọi $x; y; z$ là số mét khối nước mà máy bơm thứ nhất, thứ hai và thứ ba cần bơm để đầy bể bơi.
Khi đầy bể bơi thì tổng thể tích nước bơm vào bằng với thể tích của bể, nên ta có: $x+y+z = 144.$
Lượng nước mà ba máy bơm được tỷ lệ với ba số $7; 8; 9$ nên ta có: $\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{9}.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{9} = \dfrac{x+y+z}{7+8+9}$$
$$\;\;\;\;\; = \dfrac{144}{24} =6.$$
Suy ra: $x = 6\cdot 7 = 42;$ $y = 6\cdot 8 =48$ và $z = 6\cdot 9 = 54.$
Vậy các máy bơm lần lượt các thể tích nước là $42\;m^3;$ $48\;m^3$ và $54\;m^3$ để đầy bể bơi.
Bài tập 1 (Trang 58 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Cho tỷ lệ thức $\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{2}.$ Tìm hai số $x, y,$ biết:
$$\mathbf{a)}\; x+y = 18;$$
$$\mathbf{b)}\; x-y=20.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; x+y = 18$$
Ta có: $ \dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{x+y}{7+2} = \dfrac{18}{9} = 2.$
Do đó: $x = 2\cdot 7 = 14$ và $y=2\cdot 2 = 4.$
$$\mathbf{b)}\; x-y=20$$
Ta có: $ \dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{x-y}{7-2} = \dfrac{20}{5} = 4.$
Do đó: $x = 4\cdot 7 = 28$ và $y=4\cdot 2 = 8.$
Bài tập 2 (Trang 58 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Cho dãy tỷ số bằng nhau $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}.$ Tìm ba số $x; y; z,$ biết:
$$\mathbf{a)}\; x+y+z=180;$$
$$\mathbf{b)}\; x+y-z=8.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; x+y+z=180$$
Ta có:
$$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x+y+z}{3+4+5}$$
$$\;\;\;\;\; = \dfrac{180}{12} =15.$$
Suy ra: $x = 15\cdot 3 = 45;$ $y=15\cdot 4 = 60;$ $z = 15\cdot 5 = 75.$
$$\mathbf{b)}\; x+y-z=8$$
Ta có:
$$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x+y-z}{3+4-5}$$
$$\;\;\;\;\; = \dfrac{8}{2} =4.$$
Suy ra: $x = 4\cdot 3 = 12;$ $y=4\cdot 4 = 16;$ $z = 4\cdot 5 = 20.$
Bài tập 32 (Trang 58 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Cho ba số $x; y; z$ sao cho: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4};$ $\dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{6}.$
a) Chứng minh: $\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{20} = \dfrac{z}{24}.$
b) Tìm ba số $x; y; z,$ biết $x-y+z=-76.$
Giải
a) Vì $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}$ nên $\dfrac{x}{3}\cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{y}{4}\cdot \dfrac{1}{5}.$ Vậy ta có: $\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{20}\;\; {\color{DarkOrange} (a)}$
Tương tự, vì $\dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{6}$ nên $\dfrac{y}{5}\cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{z}{6}\cdot \dfrac{1}{4}.$ Vậy ta có: $\dfrac{y}{20} = \dfrac{z}{24} \;\; {\color{DarkOrange} (b)}$
Từ $ {\color{DarkOrange} (a)} $ và $ {\color{DarkOrange} (b)}$ ta suy ra: $\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{20} = \dfrac{z}{24}.$
b) Áp dụng kết quả câu a) và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{20} = \dfrac{z}{24} = \dfrac{x-y+z}{15-20+24}$$
$$\;\;\;\; = \dfrac{-76}{19} =-4.$$
Suy ra: $x=-4\cdot 15 = -60;$ $y = -4\cdot 20 = -80$ và $z = -4\cdot 24 = -96.$
Bài tập 4 (Trang 58 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Tỷ lệ phần trăm của lượng khí oxygen thải ra môi trường và lượng khí carbon dioxide hấp thụ trong quá trình quang hợp của lá cây Atriplex rosea (một loài thực vật thân mềm có hoa giống hoa cúc) ở nhiệt độ $27^oC$ và trong điều kiện bình thường là $21\%.$
Tính lượng khí oxygen thải ra môi trường và lượng khí carbon dioxide hấp thụ trong quá trình quang hợp của lá cây Atriplex rosea ở nhiệt độ $27^oC$ và trong điều kiện bình thường, biết lượng khí carbon dioxide lá cây hấp thụ nhiều hơn lượng khí oxygen thải ra môi trường là $15,8\;g.$
Giải
Gọi $x\;(g)$ là khối lượng khí oxygen thải ra môi trường; và $y\;(g)$ là khối lượng khí carbon dioxide hấp thụ trong quá trình quang hợp của lá cây Atriplex rosea.
Tỷ lệ phần trăm của lượng khí oxygen thải ra môi trường và lượng khí carbon dioxide hấp thụ là $21\%$ nên: $\dfrac{x}{y} = \dfrac{21}{100}.$ Suy ra: $\dfrac{x}{21} = \dfrac{y}{100}.$
Lượng khí carbon dioxide lá cây hấp thụ nhiều hơn lượng khí oxygen thải ra môi trường là $15,8\;g$ nên: $y – x = 15,8.$
Vậy ta có: $\dfrac{x}{21} = \dfrac{y}{100}$ và $y – x = 15,8.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$\dfrac{x}{21} = \dfrac{y}{100} = \dfrac{y-x}{100-21}$$
$$\;\;\;\;\; = \dfrac{15,8}{79} =0,2.$$
Suy ra: $x = 0,2\cdot 21 =4,2$ và $y = 0,2 \cdot 100 = 20.$
Vậy lượng khí oxygen thải ra môi trường là $4,2\;g$ và lượng khí carbon dioxide lá cây hấp thụ là $20\;g.$
Bài tập 5 (Trang 58 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với tỷ số giữa độ dài hai cạnh của nó bằng $\dfrac{3}{5}$ và chu vi bằng $48\;m.$
a) Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn đó.
b) Tính diện tích của mảnh vườn đó.
Giải
a) Gọi $x, y$ là độ dài hai cạnh của mảnh vườn (đơn vị: mét).
Tỷ số giữa độ dài hai cạnh bằng $\dfrac{3}{5}$ nên: $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{5}.$
Suy ra: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5}.$
Chu vi bằng $48\;m$ nên: $2\cdot (x+y) = 48.$
Suy ra: $x+y = 48:2 = 24.$
Vậy ta đã có: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5}$ và $x+y = 24.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$ \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{x+y}{3+5}$$
$$\;\;\;\;\; = \dfrac{24}{8} = 3.$$
Suy ra: $x = 3\cdot 3 = 9$ và $y = 3\cdot 5 = 15.$
Vậy mảnh vườn có chiều rộng là $9\;m$ và chiều dài là $15\;m.$
b) Diện tích của mảnh vườn đó là: $9\cdot 15 =135\;(m^2).$
Bài tập 6 (Trang 58 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Trong đợt quyên góp sách ủng hộ các bạn vùng lũ lụt, số sách mà ba lớp 7A, 7B, 7C quyên góp được tỷ lệ với ba số $5; 6; 8.$ Tính số sách cả ba lớp đã quyên góp, biết số sách lớp 7C quyên góp nhiều hơn số sách của lớp 7A quyên góp là $24$ quyển.
Giải
Gọi $x; y; z$ lần lượt là số sách mà lớp 7A, 7B, 7C quyên góp được.
Số sách mà ba lớp 7A, 7B, 7C quyên góp được tỷ lệ với ba số $5; 6; 8$ nên: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{8}.$
Số sách lớp 7C quyên góp nhiều hơn số sách của lớp 7A quyên góp là $24$ quyển nên: $z-x = 24.$
Vậy ta đã có: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{8}$ và $z-x = 24.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{8} =\dfrac{z-x}{8-5}$$
$$\;\;\;\;\; = \dfrac{24}{3} = 8.$$
Suy ra: $x=8\cdot 5 = 40;$ $y = 8\cdot 6 = 48$ và $z = 8\cdot 8 = 64.$
Vậy số sách cả ba lớp đã quyên góp là: $x+y+z = 40+48+64 =152$ (quyển).
Bài tập 7 (Trang 58 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Trên quần đảo Trường Sa của Việt Nam, cây bàng vuông, cây phong ba, cây mù u là những loài cây có sức sống mãnh liệt, chịu đựng được tàn phá của thiên nhiên, biển mặn và có thời gian sinh trưởng lâu. Nhân dịp Tết trồng cây, các chiến sĩ đã trồng tổng cộng $36$ cây bàng vuông, cây phong ba và cây mù u trên các đảo. Số cây bàng vuông, cây phong ba, cây mù u đã trồng tỷ lệ với ba số $5; 4; 3.$ Hỏi các chiến sĩ đã trồng mỗi loại bao nhiêu cây?
Giải
Gọi $x; y; z$ là số cây bàng vuông, cây phong ba và cây mù u mà các chiến sĩ đã trồng trên các đảo.
Các chiến sĩ đã trồng tổng cộng $36$ cây bàng vuông, cây phong ba và cây mù u trên các đảo nên: $x+y+z = 36.$
Số cây bàng vuông, cây phong ba, cây mù u đã trồng tỷ lệ với ba số $5; 4; 3$ nên: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{3}.$
Vậy ta đã có: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{3}$ và $x+y+z = 36.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$ \dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{3} =\dfrac{x+y+z}{5+4+3}$$
$$\;\;\;\;\; = \dfrac{36}{12} = 3.$$
Suy ra: $x = 3\cdot 5 = 15;$ $y=3\cdot 4 = 12$ và $z = 3\cdot 3 = 9.$
Vậy các chiến sĩ đã trồng $15$ cây bàng vuông, $12$ cây phong ba và $9$ cây mù u trên các đảo nhân dịp Tết trồng cây.