Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 8 – Chương 2, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 7 – tập 1, thuộc bộ sách Cánh diều.
Luyện tập 1 (Trang 65 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Một công nhân theo kế hoạch cần phải làm $1\;000$ sản phẩm.
a) Gọi $x\;(h)$ là thời gian người công nhân đó làm và $y$ là số sản phẩm làm được trong $1$ giờ. Viết công thức tính $y$ theo $x.$
b) $x$ và $y$ có phải là hai đại lượng tỷ lệ nghịch hay không? Nếu có, hãy xác định hệ số tỷ lệ.
c) Tính giá trị của $y$ khi $x=10;$ $x=20;$ $x=25.$
Giải
a) $y = \dfrac{1\;000}{x}.$
b) $x$ và $y$ là hai đại lượng tỷ lệ nghịch. Hệ số tỷ lệ là $1\;000.$
c) Khi $x=10$ thì $y = \dfrac{1\;000}{10} = 100.$
Khi $x=20$ thì $y = \dfrac{1\;000}{20} = 50.$
Khi $x=25$ thì $y = \dfrac{1\;000}{25} = 40.$
Luyện tập 2 (Trang 66 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Một ô tô dự định đi từ $A$ đến $B$ trong $6$ giờ. Nhưng thực tế, ô tô đi với vận tốc gấp $\dfrac{4}{3}$ vận tốc dự định. Tính thời gian ô tô đã đi quãng đường $AB.$
Giải
Gọi $t$ (giờ) là thời gian thực tế ô tô đã đi quãng đường $AB.$
Theo đề bài, vận tốc thực tế gấp $\dfrac{4}{3}$ vận tốc dự định. Do đó, tỷ số giữa vận tốc thực tế và vận tốc dự định bằng $\dfrac{4}{3}.$
Mặt khác, thời gian chuyển động và vận tốc là hai đại lượng tỷ lệ nghịch nên ta có: $\dfrac{6}{t} = \dfrac{4}{3}.$
Suy ra: $t = \dfrac{6\cdot 3}{4} = 4,5.$
Vậy thời gian thực tế ô tô đã đi quãng đường $AB$ là $4,5$ giờ.
Lưu ý
Để dễ hình dung hơn, có thể tham khảo cách giải sau:
Gọi $v_1; v_2$ lần lượt là vận tốc dự định và vận tốc thực tế.
Gọi $t$ (giờ) là thời gian thực tế ô tô đi quãng đường $AB.$
Ta có bảng sau:
| Dự định (giờ) | Thực tế | |
| Thời gian (giờ) | $6$ | $t$ |
| Vận tốc | $v_1$ | $v_2$ |
Vì thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỷ lệ nghịch nên: $\dfrac{6}{t} = \dfrac{v_2}{v_1} \;\;{\color{DarkOrange} (1)}$ (tỷ số hai giá trị của đại lượng này bằng nghịch đảo tỷ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia)
Mặt khác, theo đề bài, vận tốc thực tế gấp $\dfrac{4}{3}$ vận tốc dự định, nên ta có: $v_2 = \dfrac{4}{3}v_1.$ Suy ra: $\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{4}{3} \;\; {\color{DarkOrange} (2)}$
Từ ${\color{DarkOrange} (1)}$ và ${\color{DarkOrange} (2)}$ suy ra: $\dfrac{6}{t} = \dfrac{4}{3}.$
Do đó: $t = \dfrac{6\cdot 3}{4} = 4,5.$
Luyện tập 3 (Trang 67 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Một xưởng may có $56$ công nhân dự định hoàn thành một hợp đồng trong $21$ ngày. Nhưng bên đặt hàng muốn nhận hàng sớm nên xưởng may cần phải hoàn thành hợp đồng trong $14$ ngày. Hỏi xưởng may cần phải tăng thêm bao nhiêu công nhân? Giả sử năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau.
Giải
Gọi $x$ là số công nhân cần có để hoàn thành hợp đồng trong $14$ ngày.
Ta có bảng sau:
| Dự định | Thực tế cần | |
| Số công nhân | $56$ | $x$ |
| Số ngày hoàn thành hợp đồng | $21$ | $14$ |
Vì số công nhân và số ngày hoàn thành hợp đồng là hai đại lượng tỷ lệ nghịch nên: $\dfrac{56}{x} = \dfrac{14}{21}.$
Suy ra: $x = \dfrac{56\cdot 21}{14} = 84.$
Số công nhân tăng thêm là: $x – 56 = 84 – 56 = 28.$
Vậy xưởng may cần phải tăng thêm $28$ công nhân để hoàn thành hợp đồng (trong $14$ ngày).
Luyện tập 4 (Trang 67 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Có ba bánh răng $a, b, c$ ăn khớp nhau (Hình 13). Số răng của mỗi bánh răng $a, b, c$ theo thứ tự là $24; 18; 12.$ Cho biết mỗi phút bánh răng $c$ quay được $18$ vòng. Tính số vòng quay trong một phút của mỗi bánh răng $a$ và $b.$
Giải
Gọi $n_a; n_b$ lần lượt là số vòng quay được trong một phút của bánh răng $a$ và $b.$
Ta có bảng sau:
| Số răng | Số vòng quay trong một phút | |
| Bánh răng $a$ | $24$ | $n_a$ |
| Bánh răng $b$ | $18$ | $n_b$ |
| Bánh răng $c$ | $12$ | $18$ |
Vì số răng và số vòng quay được trong một phút là hai đại lượng tỷ lệ nghịch nên ta có: $\dfrac{24}{12} = \dfrac{18}{n_a}$ và $\dfrac{18}{12}=\dfrac{18}{n_b}.$
Suy ra:
$$n_a = \dfrac{18\cdot 12}{24} = 9.$$
$$n_b = \dfrac{18\cdot 12}{18} = 12.$$
Vậy trong một phút, bánh răng $a$ và $b$ lần lượt quay được số vòng là $9$ và $12$ vòng.
Bài tập 1 (Trang 68 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Giá trị của hai đại lượng $x, y$ được cho bởi bảng sau:
Hai đại lượng $x, y$ có tỷ lệ nghịch với nhau không? Vì sao?
Giải
Ta thấy các tích $3\cdot 32;$ $4\cdot 24;$ $6\cdot 16;$ $8\cdot 12;$ $48\cdot 2$ đều có giá trị bằng $96.$
Do đó, hai đại lượng $x$ và $y$ tỷ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỷ lệ là $96.$
Bài tập 2 (Trang 68 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Cho biết $x, y$ là hai đại lượng tỷ lệ nghịch với nhau và khi $x = 36$ thì $y = 15.$
a) Tìm hệ số tỷ lệ.
b) Viết công thức tính $y$ theo $x.$
c) Tính giá trị của $y$ khi $x = 12;$ $x = 18;$ $x = 60.$
Giải
a) Gọi $a$ là hệ số tỷ lệ. Ta có: $y = \dfrac{a}{x}.$
Khi $x = 36$ thì $y = 15$ nên: $15 = \dfrac{a}{36}.$
Suy ra: $a = 15\cdot 3 = 45.$
Vậy hệ số tỷ lệ là $45.$
b) Công thức tính $y$ theo $x$ là: $y = \dfrac{45}{x}.$
c) Khi $x = 12$ thì $y = \dfrac{45}{12} = 3,75.$
Khi $x = 18$ thì $y = \dfrac{45}{18} =2,5.$
Khi $x = 60$ thì $y = \dfrac{45}{60} =0,75.$
Bài tập 3 (Trang 68 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Theo dự định, một nhóm thợ có $35$ người sẽ xây một tòa nhà hết $168$ ngày. Nhưng khi bắt đầu làm, có một số người không tham gia được nên nhóm thợ chỉ còn $28$ người. Hỏi khi đó nhóm thợ phải mất bao lâu để xây xong tòa nhà? Giả sử năng suất làm việc của mỗi người là như nhau.
Giải
Gọi $t$ (ngày) là thời gian thực tế để xây xong tòa nhà.
Ta có bảng sau:
| Theo dự định | Theo thực tế | |
| Số người | $35$ | $28$ |
| Số ngày | $168$ | $t=?$ |
Vì số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỷ lệ nghịch nên: $\dfrac{35}{28} = \dfrac{t}{168}.$
Suy ra: $t = \dfrac{35\cdot 168}{28} = 210.$
Vậy khi chỉ còn $28$ người thì nhóm thợ đó phải mất $210$ ngày để xây xong tòa nhà.
Bài tập 4 (Trang 68 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Chị Lan định mua $10$ bông hoa với số tiền định trước. Nhưng do vào dịp lễ nên giá hoa tăng $25\%.$ Hỏi với số tiền đó, chị Lan mua được bao nhiêu bông hoa?
Giải
Gọi $t_1; t_2$ lần lượt là giá hoa trước và sau khi tăng giá.
Gọi $n$ là số bông hoa chị Lan mua được sau khi giá hoa tăng $25\%$ (với cùng số tiền định trước). Ta cần tìm giá trị của $n.$
Ta có bảng sau:
| Giá hoa | Số bông hoa mua được | |
| Trước khi tăng giá | $t_1$ | $10$ |
| Sau khi tăng giá | $t_2$ | $n = ?$ |
Với cùng một số tiền thì giá hoa và số bông hoa mua được là hai đại lượng tỷ lệ nghịch. Do đó, ta có: $\dfrac{10}{n} = \dfrac{t_2}{t_1} \;\;{\color{DarkOrange} (1)}$
Mặt khác, đề cho giá hoa tăng $25\%$ nên $t_2 = t_1 + \dfrac{25}{100}t_1 = \left(1+\dfrac{25}{100}\right)t_1 = \dfrac{125}{100}t_1 $
Suy ra: $\dfrac{t_2}{t_1} = \dfrac{125}{100} = 1,25 \;\; {\color{DarkOrange} (2)}$
Từ ${\color{DarkOrange} (1)}$ và ${\color{DarkOrange} (2)}$ suy ra: $\dfrac{10}{n} = 1,25.$
Do đó, $n = \dfrac{10}{1,25} = 8.$
Vậy với số tiền định trước đó, chị Lan chỉ mua được $8$ bông hoa.
Bài tập 5 (Trang 68 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Ở nội dung bơi $400\;m$ nữ tại vòng loại Thế vận hội mùa hè năm 2016, vận động viên Nguyễn Thị Ánh Viên đã về đích với thành tích $4$ phút $36$ giây $85$ (tức là $4$ phút và $36,85$ giây).
Cũng ở nội dung bơi $400\;m$ nữ tại Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015, Ánh Viên đạt thành tích là $4$ phút $38$ giây $78$ (tức là $4$ phút và $38,78$ giây).
Tính tỷ số giữa tốc độ bơi trung bình của Ánh Viên tại Thế vận hội mùa hè năm 2016 và tại Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015.
Giải
Đổi $4$ phút $36,85$ giây = $276,85$ giây;
Đổi $4$ phút $38,78$ giây = $278,78$ giây.
Tỉ số giữa thời gian bơi của Ánh Viên tại Thế vận hội mùa hè năm 2016 và Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015 là: $\dfrac{ 276,85 }{ 278,78 }.$
Vì tốc độ bơi và thời gian bơi tỉ lệ nghịch với nhau nên tỉ số giữa tốc độ bơi trung bình của Ánh Viên tại Thế vận hội mùa hè năm 2016 và tại Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015 là (nghịch đảo tỷ số về thời gian): $\dfrac{278,78}{276,85} = \dfrac{27878}{27685}.$
Bài tập 6 (Trang 68 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Một loại tàu cao tốc hiện nay ở Nhật Bản có thể di chuyển với tốc độ trung bình là $300\;km/h,$ nhanh gấp $1,43$ lần so với thế hệ tàu cao tốc đầu tiên.
Nếu tàu cao tốc loại đó chạy một quãng đường trong $4$ giờ thì tàu cao tốc thế hệ đầu tiên sẽ phải chạy quãng đường đó trong bao nhiêu giờ?
Giải
Gọi $t$ (giờ) là thời gian tàu cao tốc thế hệ đầu tiên chạy quãng đường đó. Ta cần tìm $t.$
Gọi $v_1; v_2$ là tốc độ trung bình của tàu cao tốc đầu tiên và tàu cao tốc hiện nay.
Ta có bảng sau:
| Tàu cao tốc hiện nay | Tàu cao tốc thế hệ đầu tiên | |
| Thời gian $(h)$ | $4$ | $t=?$ |
| Tốc độ $(km/h)$ | $v_2$ | $v_1$ |
Vì thời gian và tốc độ là hai đại lượng tỷ lệ nghịch nên: $\dfrac{t}{4} = \dfrac{v_2}{v_1}\;\; {\color{DarkOrange} (1)} $
Vì tàu cao tốc hiện nay có tốc độ nhanh gấp $1,43$ lần tàu cao tốc thế hệ đầu tiên nên: $v_2 = 1,43v_1.$ Suy ra: $\dfrac{v_2}{v_1} = 1,43\;\; {\color{DarkOrange} (2)}$
Từ $ {\color{DarkOrange} (1)} $ và $ {\color{DarkOrange} (2)} $ suy ra: $\dfrac{t}{4} = 1,43.$
Do đó, $t = 1,43\cdot 4 = 5,72.$
Vậy tàu cao tốc thế hệ đầu tiên sẽ phải chạy quãng đường đó trong $5,72$ giờ.
Bài tập 7 (Trang 68 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Một bánh răng có $40$ răng, quay mỗi phút được $15$ vòng, nó khớp với một bánh răng thứ hai. Giả sử bánh răng thứ hai quay một phút được $20$ vòng. Hỏi bánh răng thứ hai có bao nhiêu răng?
Giải
Gọi $n$ là số răng của bánh răng thứ hai.
Ta có bảng sau:
| Bánh răng thứ nhất | Bánh răng thứ hai | |
| Số răng | $40$ | $n=?$ |
| Số vòng trong một phút | $15$ | $20$ |
Vì số răng và số vòng quay trong một phút là hai đại lượng tỷ lệ nghịch nên: $\dfrac{40}{n} = \dfrac{20}{15}.$
Suy ra: $n = \dfrac{40\cdot 15}{20} =30.$
Vậy bánh răng thứ hai có $30$ răng.