Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập cuối chương 2, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 7 – tập 1, thuộc bộ sách Cánh diều.
Bài tập 1 (Trang 69 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Tìm những số vô tỷ trong các số sau đây: $-6,123(456);$ $-\sqrt{4};$ $\sqrt{\dfrac{4}{9}};$ $\sqrt{11};$ $\sqrt{15}.$
Giải
Số $-6,123(456)$ không phải là số vô tỷ vì nó là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
$-\sqrt{4} = -2$ là một số nguyên nên không phải là số vô tỷ.
$\sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}$ là một số hữu tỷ nên không phải là số vô tỷ.
$\sqrt{11} = 3,31662…$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên là số vô tỷ.
$\sqrt{15} = 3,87298…$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên là số vô tỷ.
Vậy các số vô tỷ là $\sqrt{11}$ và $\sqrt{15}.$
Bài tập 2 (Trang 69 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) So sánh:
a) $4,9(18)$ và $4,928…;$
b) $-4,315…$ và $-4,318…;$
c) $\sqrt{3}$ và $\sqrt{\dfrac{7}{2}}.$
Giải
a) $4,9(18)$ và $4,928…$
Ta có: $4,9(18) = 4,918(18) < 4,928…$
Vậy $4,9(18) < 4,928…$
b) $-4,315…$ và $-4,318…$
Ta có: $4,315… < 4,318…$ nên $-4,315… > -4,318…$
c) $\sqrt{3}$ và $\sqrt{\dfrac{7}{2}}$
Ta có: $3 = \dfrac{6}{2} < \dfrac{7}{2}.$
Suy ra: $\sqrt{3} < \sqrt{\dfrac{7}{2}}.$
Bài tập 3 (Trang 69 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều)
a) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $6;$ $\sqrt{35};$ $\sqrt{47};$ $-1,7;$ $-\sqrt{3};$ $0.$
b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: $-\sqrt{2,3};$ $\sqrt{5\dfrac{1}{6}};$ $0;$ $\sqrt{5,3};$ $-\sqrt{2\dfrac{1}{3}};$ $-1,5.$
Giải
a) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $6;$ $\sqrt{35};$ $\sqrt{47};$ $-1,7;$ $-\sqrt{3};$ $0.$
+) So sánh các số âm $(-1,7; -\sqrt{3})$
Ta có: $2,89 < 3$ nên $\sqrt{2,89} < \sqrt{3}.$
Mà $\sqrt{2,89} = 1,7.$ Do đó, $1,7 < \sqrt{3}.$
Suy ra: $-1,7 > -\sqrt{3}.$
+) So sánh các số dương $(6; \sqrt{35}; \sqrt{47})$
Ta có: $35 < 36 < 47$ nên $\sqrt{35} < \sqrt{36} < \sqrt{47}.$
Mà $\sqrt{36} = 6$ nên $\sqrt{35} < 6 < \sqrt{47}.$
Tóm lại, vì các số âm nhỏ hơn $0$ và $0$ nhỏ hơn các số dương nên các số sắp theo thứ tự tăng dần là: $-\sqrt{3} < -1,7 < 0 < \sqrt{35} < 6 < \sqrt{47}.$
b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: $-\sqrt{2,3};$ $\sqrt{5\dfrac{1}{6}};$ $0;$ $\sqrt{5,3};$ $-\sqrt{2\dfrac{1}{3}};$ $-1,5.$
+) So sánh các số âm $(-\sqrt{2,3}; -\sqrt{2\dfrac{1}{3}}; -1,5)$
Ta có: $2\dfrac{1}{3} > 2,3 > 2,25.$
Suy ra: $\sqrt{2\dfrac{1}{3}} > \sqrt{2,3} > \sqrt{2,25}.$
Mà $\sqrt{2,25} = 1,5$ nên $\sqrt{2\dfrac{1}{3}} > \sqrt{2,3} > 1,5.$
Do đó: $-\sqrt{2\dfrac{1}{3}} < -\sqrt{2,3} < -1,5.$
+) So sánh các số dương $(\sqrt{5\dfrac{1}{6}}; \sqrt{5,3})$
Ta có: $5\dfrac{1}{6} < 5,3$ nên $\sqrt{5\dfrac{1}{6}} < \sqrt{5,3}.$
Tóm lại, vì các số dương lớn hơn $0$ và $0$ lớn hơn các số âm nên các số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: $\sqrt{5,3} > \sqrt{5\dfrac{1}{6}} > 0 > -1,5 > -\sqrt{2,3} > -\sqrt{2\dfrac{1}{3}}.$
Bài tập 4 (Trang 69 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Tính:
$$\mathbf{a)}\; 2\cdot \sqrt{6}\cdot (-\sqrt{6});$$
$$\mathbf{b)}\; \sqrt{1,44} – 2\cdot \left(\sqrt{0,6}\right)^2;$$
$$\mathbf{c)}\; 0,1\cdot \left(\sqrt{7}\right)^2 + \sqrt{1,69};$$
$$\mathbf{d)}\; (-0,1)\cdot \left(\sqrt{120}\right)^2 – \dfrac{1}{4}\cdot\left(\sqrt{20}\right)^2.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; 2\cdot \sqrt{6}\cdot (-\sqrt{6})$$
$$\;\;\;\; = -2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$$
$$\;\;\;\; = -2\cdot \left(\sqrt{6}\right)^2$$
$$\;\;\;\; = -2\cdot 6$$
$$\;\;\;\; = -12.$$
$$\mathbf{b)}\; \sqrt{1,44} – 2\cdot \left(\sqrt{0,6}\right)^2$$
$$\;\;\;\; = 1,2 – 2\cdot 0,6$$
$$\;\;\;\; = 1,2 – 1,2$$
$$\;\;\;\; = 0.$$
$$\mathbf{c)}\; 0,1\cdot \left(\sqrt{7}\right)^2 + \sqrt{1,69}$$
$$\;\;\;\; = 0,1\cdot 7 +1,3$$
$$\;\;\;\; = 0,7 + 1,3$$
$$\;\;\;\; = 2,0.$$
$$\mathbf{d)}\; (-0,1)\cdot \left(\sqrt{120}\right)^2 – \dfrac{1}{4}\cdot\left(\sqrt{20}\right)^2$$
$$\;\;\;\; = -0,1\cdot 120 – \dfrac{1}{4}\cdot 20$$
$$\;\;\;\; = -12 – 5$$
$$\;\;\;\; = -17.$$
Bài tập 5 (Trang 69 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Tìm số $x$ không âm, biết:
$$\mathbf{a)}\; \sqrt{x}-16 = 0;$$
$$\mathbf{b)}\; 2\sqrt{x}= 1,5;$$
$$\mathbf{c)}\; \sqrt{x+4}-0,6 = 2,4.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \sqrt{x}-16 = 0$$
Muốn $\sqrt{x} – 16 = 0$ thì $\sqrt{x} = 16.$
Muốn $\sqrt{x} = 16$ thì $x = 16^2 = 256.$
$$\mathbf{b)}\; 2\sqrt{x}= 1,5$$
Muốn $2\sqrt{x} = 1,5$ thì $\sqrt{x} = 1,5 : 2 = 0,75.$
Muốn$\sqrt{x} = 0,75$ thì $x = 0,75^2 = 0,5625.$
$$\mathbf{c)}\; \sqrt{x+4}-0,6 = 2,4$$
Muốn $ \sqrt{x+4}-0,6 = 2,4 $ thì $\sqrt{x+4} = 2,4 + 0,6 = 3.$
Muốn $\sqrt{x+4} = 3$ thì $x+4 = 3^2 = 9.$
Muốn $x+4 = 9$ thì $x = 9-4 = 5.$
Bài tập 6 (Trang 69 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Tìm số $x$ trong các tỷ lệ thức sau:
$$\mathbf{a)}\; \dfrac{x}{-3} = \dfrac{7}{0,75};$$
$$\mathbf{b)}\; -0,52 : x = \sqrt{1,96} : (-1,5);$$
$$\mathbf{c)}\; x : \sqrt{5} = \sqrt{5} : x.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \dfrac{x}{-3} = \dfrac{7}{0,75}$$
Muốn $ \dfrac{x}{-3} = \dfrac{7}{0,75} $ thì $x\cdot 0,75 = 7\cdot (-3) = -21.$
Muốn $x\cdot 0,75 = -21$ thì $x = (-21) : 0,75 = -28.$
$$\mathbf{b)}\; -0,52 : x = \sqrt{1,96} : (-1,5)$$
Viết đề bài lại dưới dạng ký hiệu phân số, ta được: $\dfrac{-0,52}{x} = \dfrac{\sqrt{1,96}}{-1,5}.$
Muốn $\dfrac{-0,52}{x} = \dfrac{\sqrt{1,96}}{-1,5}$ thì $x\cdot \sqrt{1,96} = (-0,52)\cdot (-1,5) = 0,78.$
Muốn $x\cdot \sqrt{1,96} = 0,78$ thì $x = 0,78 : \sqrt{1,96} = 0,78: 1,4 = \dfrac{39}{70}.$
$$\mathbf{c)}\; x : \sqrt{5} = \sqrt{5} : x$$
Viết lại đề bài dưới dạng ký hiệu phân số, ta được: $\dfrac{x}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{x}.$
Muốn $\dfrac{x}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{x}$ thì $x^2 = (\sqrt{5})^2 = 5.$
Muốn $x^2 = 5$ thì $x = -\sqrt{5}$ hoặc $x = \sqrt{5}.$
Bài tập 7 (Trang 69 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Cho $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ với $b-d\neq 0,$ $b+2d\neq 0.$ Chứng tỏ rằng: $\dfrac{a-c}{b-d} = \dfrac{a+2c}{b+2d}.$
Hướng dẫn
Muốn làm tốt các bài tập chứng minh (chứng tỏ) một điều gì đó, trước tiên phải xác định rõ đâu là điều đã cho (đã có) và đâu là điều cần chứng minh (chưa có).
Trong bài tập này:
- Điều đã cho: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ với $b-d\neq0,$ $b+2d\neq 0.$
- Điều cần chứng minh: $\dfrac{a-c}{b-d} = \dfrac{a+2c}{b+2d}.$
Sau đó, ta được quyền sử dụng tất cả những điều đã cho (và những điều đã biết trong quá trình học), rồi dùng lập luận của mình để chỉ ra điều cần chứng minh là đúng.
Từ điều đã cho là $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d},$ kết hợp với điều đã biết là Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
- $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a-c}{b-d}$
- $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{2c}{2d} = \dfrac{a+2c}{b+2d}.$
Từ hai điều trên ta suy ra điều cần chứng minh là: $\dfrac{a-c}{b-d} = \dfrac{a+2c}{b+2d}$ (vì hai tỷ số này đều bằng $\dfrac{a}{b}.$
Giải
Ta có: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a-c}{b-d}\;\; {\color{DarkOrange} (1)}$
Mặt khác, ta có: $\dfrac{c}{d} = \dfrac{2c}{2d}$ nên $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2c}{2d}.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2c}{2d} = \dfrac{a+2c}{b+2d}\;\; {\color{DarkOrange} (2)}$
Từ ${\color{DarkOrange} (1)}$ và ${\color{DarkOrange} (2)}$ ta suy ra: $\dfrac{a-c}{b-d} = \dfrac{a+2c}{b+2d}$ (vì đều bằng $\dfrac{a}{b}).$
Mở rộng
Hãy thử sức trong bài tập tương tự sau:
Cho $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ với $b+d\neq 0,$ $3b-2d\neq 0.$ Chứng tỏ rằng: $\dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{3a-2c}{3b-2d}.$
Bài tập 8 (Trang 69 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Tìm ba số $x, y, z,$ biết $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{z}{9}$ và $x-y+z = \dfrac{7}{3}.$
Giải
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$ \dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{z}{9} =\dfrac{x-y+z}{5-7+9}$$
$$\;\;\;\;\; = \dfrac{\dfrac{7}{3}}{7} = \dfrac{7}{3} : 7 = \dfrac{1}{3}.$$
Suy ra: $x = \dfrac{1}{3}\cdot 5 = \dfrac{5}{3};$ $y = \dfrac{1}{3}\cdot 7 = \dfrac{7}{3};$ $z = \dfrac{1}{3}\cdot 9 = 3.$
Bài tập 9 (Trang 69 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Lớp 7A có $45$ học sinh. Trong đợt sơ kết học kỳ I, số học sinh của lớp 7A có kết quả học tập ở mức Tốt, Khá, Đạt tỷ lệ với ba số $3; 4; 2.$ Tính số học sinh có kết quả học tập ở mỗi mức của lớp 7A, biết trong lớp đó không có học sinh nào ở mức Chưa đạt.
Giải
Gọi $x, y, z$ lần lượt là số học sinh ở mức Tốt, Khá, Đạt của lớp 7A.
Điều kiện: $x, y, z\in \mathbb{N}^*$
Lớp 7A có $45$ học sinh và không có học sinh nào ở mức Chưa đạt nên: $x+y+z = 45.$
Số học sinh của lớp 7A có kết quả học tập ở mức Tốt, Khá, Đạt tỷ lệ với ba số $3; 4; 2$ nên: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{2}.$
Vậy ta đã có: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{2}$ và $x+y+z=45.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{2} = \dfrac{x+y+z}{3+4+2}$$
$$\;\;\;\; = \dfrac{45}{9} = 5.$$
Suy ra: $x = 5\cdot 3 = 15;$ $y = 5\cdot 4 = 20;$ $z = 5\cdot 2 = 10.$
Vậy lớp 7A có $15$ học sinh ở mức Tốt, $20$ học sinh ở mức Khá và $10$ học sinh ở mức Đạt.
Bài tập 10 (Trang 70 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Chị Phương định mua $3\;kg$ táo với số tiền định trước. Khi vào siêu thị đúng thời điểm khuyến mãi nên giá táo được giảm $25\%.$ Với số tiền đó, chị Phương mua được bao nhiêu ki-lô-gam táo?
Giải
Gọi $x$ là số ki-lô-gam táo chị phương mua được. Ta cần tìm $x.$
Gọi $g_1, g_2$ lần lượt là giá táo trước và sau khi giảm giá.
Ta có bảng sau:
| Giá bán | Số $kg$ táo mua được | |
| Trước giảm giá | $g_1$ | $3$ |
| Sau giảm giá | $g_2$ | $x=?$ |
Vì giá bán và số $kg$ táo mua được (với cùng số tiền) là hai đại lượng tỷ lệ nghịch nên: $\dfrac{3}{x} = \dfrac{g_2}{g_1} \;\; {\color{DarkOrange} (1)}$
Do giá táo giảm $25\%$ nên:
$$g_2 = g_1 – \dfrac{25}{100}g_1 $$
$$\;\;\;\; = \left(1-\dfrac{25}{100}\right)g_1 = \dfrac{3}{4}g_1.$$
Suy ra: $\dfrac{g_2}{g_1} = \dfrac{3}{4}\;\; {\color{DarkOrange} (2)}$
Từ ${\color{DarkOrange} (1)}$ và ${\color{DarkOrange} (2)}$ suy ra: $\dfrac{3}{x} = \dfrac{3}{4}.$
Do đó: $x = \dfrac{3\cdot 4}{3} = 4.$
Vậy với số tiền đó, chị Phương mua được $4\;kg$ táo.
Bài tập 11 (Trang 70 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Cứ $15$ phút, chị Lan chạy được $2,5\;km.$ Hỏi trong $1$ giờ, chị chạy được bao nhiêu ki-lô-mét? Biết rằng vận tốc chạy của chị Lan là không đổi?
Giải
Gọi $x$ là số ki-lô-mét chị Lan chạy được trong $1$ giờ $(=60$ phút). Ta cần tìm $x.$
Ta có bảng sau:
| Thời gian chạy (phút) | Quãng đường chạy được $(km)$ |
| $15$ | $2,5$ |
| $60$ | $x = ?$ |
Vì vận tốc không đổi nên thời gian chạy và quãng đường chạy được là hai đại lượng tỷ lệ thuận. Do đó, ta có: $\dfrac{15}{60} = \dfrac{2,5}{x}.$
Suy ra: $x = \dfrac{2,5\cdot 60}{15} = 10.$
Vậy trong $1$ giờ $(=60$ phút), chị Lan chạy được $10\;km.$
Bài tập 12 (Trang 70 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Một công nhân trong $30$ phút làm được $20$ sản phẩm. Hỏi để làm được $50$ sản phẩm, người đó cần bao nhiêu phút? Biết năng suất làm việc của người đó không đổi.
Giải
Gọi $x$ là số phút người đó cần để làm được $50$ sản phẩm. Ta cần tìm $x.$
Ta có bảng sau:
| Số phút | Số sản phẩm |
| $30$ | $20$ |
| $x = ?$ | $50$ |
Vì năng suất làm việc không đổi nên số phút và số sản phẩm là hai đại lượng tỷ lệ thuận. Do đó, ta có: $\dfrac{30}{x} = \dfrac{20}{50}$
Suy ra: $x = \dfrac{30\cdot 50}{20} = 75.$
Vậy người đó cần $75$ phút để làm được $50$ sản phẩm.
Bài tập 13 (Trang 70 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Cứ đổi $1\;158\;000$ đồng Việt Nam thì được $50$ đô la Mỹ. Để có $750$ đô la Mỹ thì cần đổi bao nhiêu đồng Việt Nam?
Giải
Gọi $x$ là số đồng Việt Nam đổi được từ $750$ đô la Mỹ. Ta cần tìm $x.$
Ta có bảng sau:
| Số đồng Việt Nam | Số đô la Mỹ |
| $1\;158\;000$ | $50$ |
| $x = ?$ | $750$ |
Số đồng Việt Nam và số đô la Mỹ tương ứng là hai đại lượng tỷ lệ thuận. Do đó, ta có: $\dfrac{1\;158\;000}{x} = \dfrac{50}{750}$
Suy ra: $x = \dfrac{1\;158\;000\cdot 750}{50} = 17\;370\;000$
Vậy để có $750$ đô la Mỹ thì cần đổi $17\;370\;000$ đồng Việt Nam.
Bài tập 14 (Trang 70 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Trong tháng trước, cứ $6$ giờ, dây chuyền làm ra $1\;000$ sản phẩm. Trong tháng này, do được cải tiến nên năng suất của dây chuyền bằng $1,2$ lần năng suất tháng trước. Hỏi trong tháng này, để làm ra $1\;000$ sản phẩm như thế thì dây chuyền đó cần bao nhiêu giờ?
Giải
Gọi $x$ là số giờ làm ra $1\;000$ sản phẩm như thế trong tháng này. Ta cần tìm $x.$
Gọi $n_1$ và $n_2$ lần lượt là năng suất tháng trước và năng suất tháng này.
Ta có bảng sau:
| Số giờ làm ra $1\;000$ sản phẩm | Năng suất | |
| Tháng trước | $6$ | $n_1$ |
| Tháng này | $x = ?$ | $n_2$ |
Số giờ làm ra $1\;000$ sản phẩm và năng suất là hai đại lượng tỷ lệ nghịch. Do đó, ta có: $\dfrac{6}{x} = \dfrac{n_2}{n_1} \;\; {\color{DarkOrange} (1)}$
Mặt khác, theo đề bài, năng suất tháng này bằng $1,2$ lần năng suất tháng trước nên: $n_2 = 1,2\cdot n_1.$
Suy ra: $\dfrac{n_2}{n_1} = 1,2 \;\; {\color{DarkOrange} (2)} $
Từ ${\color{DarkOrange} (1)}$ và $ {\color{DarkOrange} (2)}$ suy ra: $\dfrac{6}{x} = 1,2.$
Do đó: $x = \dfrac{6}{1,2} = 5.$
Vậy trong tháng này, cần $5$ giờ để làm ra $1\;000$ sản phẩm.
Bài tập 15 (Trang 70 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Đồng trắng là một hợp kim của đồng với nickel. Một hợp kim đồng trắng có khối lượng của đồng và nickel tỷ lệ với $9$ và $11.$ Tính khối lượng đồng và nickel cần dùng để tạo ra $25\;kg$ hợp kim đó.
Giải
Gọi $x, y$ lần lượt là số $kg$ đồng và nickel cần dùng để tạo ra $25\;kg$ hợp kim đồng trắng. Khi đó, $x + y = 25.$
Một hợp kim đồng trắng có khối lượng của đồng và nickel tỷ lệ với $9$ và $11$ nên: $\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{11}.$
Vậy ta có: $\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{11}$ và $x+y=25.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{11} = \dfrac{x+y}{9+11}$$
$$\;\;\;\;\; = \dfrac{25}{20} = 1,25.$$
Suy ra: $x = 1,25\cdot 9 = 11,25$ và $y = 1,25\cdot 11 = 13,75.$
Vậy cần dùng $11,25\;kg$ đồng và $13,75\;kg$ nickel để tạo ra $25\;kg$ hợp kim đồng trắng.
Bài tập 16 (Trang 70 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Cho ba hình chữ nhật có cùng diện tích. Biết chiều rộng của ba hình chữ nhật tỷ lệ với ba số $1; 2; 3.$ Tính chiều dài của mỗi hình chữ nhật đó, biết tổng chiều dài của ba hình chữ nhật là $110\;cm.$
Giải
Gọi $x, y, z$ là chiều dài của ba hình chữ nhật đó (đơn vị: $cm).$
Vì ba hình chữ nhật có cùng diện tích nên nếu gọi $V$ là thể tích của hình chữ nhật thứ nhất thì nó cũng là thể tích của hai hình chữ nhật còn lại.
Khi đó, chiều rộng của ba hình chữ nhật đó là: $\dfrac{V}{x}; \dfrac{V}{y}; \dfrac{V}{z}.$
Theo đề bài, chiều rộng của ba hình chữ nhật tỷ lệ với ba số $1; 2; 3$ nên ta có: $\dfrac{V}{x} : 1 = \dfrac{V}{y} : 2 = \dfrac{V}{z} : 3,$ hay $\dfrac{V}{x} = \dfrac{V}{2y} = \dfrac{V}{3z}$
Do đó: $x = 2y = 3z.$
Suy ra: $\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{2}.$
Mặt khác, tổng chiều dài của ba hình chữ nhật là $110\;cm$ nên $x+y+z = 110.$
Vậy ta đã có: $\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{2}$ và $x+y+z = 110.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$$\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{2} = \dfrac{x+y+z}{6+3+2}$$
$$\;\;\;\;\; = \dfrac{110}{11} = 10.$$
Suy ra: $x = 10\cdot 6 = 60;$ $y = 10\cdot 3 = 30$ và $z = 10\cdot 2 = 20.$
Vậy chiều dài của ba hình chữ nhật đó lần lượt là $60\;cm;$ $30\;cm$ và $20\;cm.$
Bài tập 17 (Trang 70 / Toán 7 – tập 1 / Cánh diều) Hình 14a mô tả hình dạng của một hộp sữa và lượng sữa chứa trong hộp đó. Hình 14b mô tả hình dạng hộp sữa đó và lượng sữa chứa trong hộp khi đặt hộp ngược lại. Tính tỷ số của thể tích sữa có trong hộp và thể tích của cả hộp.
Giải
Dựa vào Hình 14a, ta nhận thấy phần sữa trong hộp có dạng một hình hộp chữ nhật $H_1$ với chiều cao bằng $6\;cm.$ Gọi $S_1$ là diện tích đáy của $H_1$ thì thể tích của $H_1$ là: $V_1 = 6S_1.$
Dựa vào Hình 14b, ta nhận thấy phần không chứa sữa trong hộp là một hình hộp chữ nhật $H_2$ với chiều cao bằng: $12 – 7 = 5\;(cm).$ Gọi $S_2$ là diện tích đáy của $H_2$ thì thể tích của $H_2$ là: $V_2 = 5S_2.$
Gọi $V$ là thể tích của cả hộp thì $V = V_1 + V_2.$ Ta cần tính giá trị của tỷ số $\dfrac{V_1}{V}.$
Các hình hộp chữ nhật $H_1, H_2$ có đáy như nhau nên $S_1 = S_2 = S.$
Do đó ta có: $\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{6S_1}{5S_2} = \dfrac{6S}{5S} = \dfrac{6}{5}.$
Suy ra: $\dfrac{V_1}{6} = \dfrac{V_2}{5}.$
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta được: $\dfrac{V_1}{6} = \dfrac{V_2}{5} = \dfrac{V_1 + V_2}{6+5} = \dfrac{V}{11}.$
Vậy $\dfrac{V_1}{6} = \dfrac{V}{11}.$
Suy ra: $\dfrac{V_1}{V} = \frac{6}{11}.$
Vậy tỷ số của sữa có trong hộp và thể tích của cả hộp là $\dfrac{6}{11}.$
Lưu ý
Thực ra, ta cũng không cần áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau mà vẫn giải được bài toán này!
Các hình hộp chữ nhật $H_1, H_2$ có đáy như nhau nên $S_1 = S_2 = S.$
Ta có: $V_1 = 6S_1 = 6S$ và $V_2 = 5S_2 = 5S.$
Gọi $V$ là thể tích của cả hộp thì:
$V = V_1 + V_2 = 6S + 5S = 11S. $
Do đó: $\dfrac{V_1}{V} = \dfrac{6S}{11S} = \dfrac{6}{11}.$