Vì mỗi số hữu tỷ đều có thể viết được dưới dạng phân số, nên cộng, trừ, nhân, chia các số hữu tỷ thực chất là cộng, trừ, nhân, chia các phân số mà thôi. (Điều này đã được học ở lớp 6.)
Cách cộng, trừ, nhân, chia hai số hữu tỷ
🤔 Ta có thể cộng, trừ, nhân, chia hai số hữu tỷ bằng cách viết các số hữu tỷ đó dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số.
Nên xem:
Câu hỏi 1: Tính:
$$\mathbf{a)}\; -0,25 + \frac{3}{7};$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{-1}{-6} – 1,5.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; -0,25 + \frac{3}{7}$$
$$= \frac{-1}{4} + \frac{3}{7}$$
$$= \frac{-7}{28} + \frac{12}{28}$$
$$= \frac{5}{28}.$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{-1}{-6} – 1,5$$
$$= \frac{1}{6} – \frac{3}{2}$$
$$= \frac{1}{6} – \frac{9}{6}$$
$$= \frac{-8}{6}$$
$$= \frac{-4}{3}.$$
Câu hỏi 2: Tính:
$$\mathbf{a)}\; \frac{3}{23} \cdot (-4,6);$$
$$\mathbf{b)}\; 0,5 \cdot \frac{-2}{7};$$
$$\mathbf{c)}\; 4,5 : \frac{3}{-14};$$
$$\mathbf{d)}\; \frac{-1}{-15} : (-3,4).$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{3}{23} \cdot (-4,6)$$
$$= \frac{3}{23} \cdot \frac{-23}{5}$$
$$= \frac{3 \cdot (-23)}{23 \cdot 5}$$
$$= \frac{-3}{5}.$$
$$\mathbf{b)}\; 0,5 \cdot \frac{-2}{7}$$
$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{-2}{7}$$
$$= \frac{1 \cdot (-2)}{2 \cdot 7}$$
$$= \frac{-1}{7}.$$
$$\mathbf{c)}\; 4,5 : \frac{3}{-14}$$
$$= \frac{9}{2} : \frac{3}{-14}$$
$$= \frac{9}{2} \cdot \frac{-14}{3}$$
$$= \frac{9 \cdot (-14)}{2 \cdot 3}$$
$$= -21.$$
$$\mathbf{d)}\; \frac{-1}{-15} : (-3,4)$$
$$= \frac{-1}{-15} : \frac{-17}{5}$$
$$= \frac{1}{15} \cdot \frac{-5}{17}$$
$$= \frac{1\cdot (-5)}{15 \cdot 17}$$
$$= \frac{-1}{51}.$$
🤔 Nếu thuận tiện, ta vẫn có quyền đưa các số hữu tỷ về dạng số thập phân để cộng, trừ, nhân, chia chúng theo các quy tắc đã học.
Câu hỏi 3: Tính:
$$\mathbf{a)}\; \frac{9}{3} – 1,7;$$
$$\mathbf{b)}\; 23,98 + 1,1;$$
$$\mathbf{c)}\; 1,2 : \frac{-3}{5};$$
$$\mathbf{d)}\; (-3,9) \cdot (-2).$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{9}{3} – 1,7$$
$$= 3 – 1,7 = 1,3.$$
$$\mathbf{b)}\; 23,98 + 1,1 = 25,08.$$
$$\mathbf{c)}\; 1,2 : \frac{-3}{5}$$
$$= 1,2 : (-0,6) = -2.$$
$$\mathbf{d)}\; (-3,9) \cdot (-2) = 7,8.$$
Tính chất của phép cộng
Giống như phép cộng các số nguyên, phép cộng các số hữu tỷ cũng có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số $0,$ cộng với số đối.
- Giao hoán: $a + b = b + a.$
- Kết hợp: $(a + b) + c = a + (b + c).$
- Cộng với số $0$ thì bằng chính nó: $a + 0 = a.$
- Cộng với số đối của nó thì bằng $0:$ $a + (-a) = 0.$
🤔 Phép cộng số hữu tỷ cũng có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số $0,$ cộng với số đối.
Câu hỏi 4: Tính một cách hợp lý:
$$\mathbf{a)}\; 0,4 + \frac{1}{4} + 0,6;$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{1}{3} + 1,7 + \frac{-4}{3} + (-0,7).$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; 0,4 + \frac{1}{4} + 0,6$$
$= 0,4 + 0,6 + \frac{1}{4}$ (giao hoán)
$= (0,4 + 0,6) + \frac{1}{4}$ (kết hợp)
$= 1 + \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4}.$
$$\mathbf{b)}\; \frac{1}{3} + 0,7 + \frac{-4}{3} + (-0,7)$$
$= \frac{1}{3} + \frac{-4}{3} + 0,7 + (-0,7)$ (giao hoán)
$= \left(\frac{1}{3} + \frac{-4}{3}\right) + [0,7 + (-0,7)]$ (kết hợp)
$= \left(\frac{1}{3} + \frac{-4}{3}\right) + 0$ (cộng với số đối)
$= -1 + 0$
$= -1$ (cộng với số 0)
Ta có thể chuyển phép trừ cho một số thành phép cộng với số đối của số đó: $a – b = a + (-b).$ Mặt khác, trong phép cộng thì ta được quyền đổi chỗ tùy ý các số hạng. Do đó, trong một biểu thức chỉ gồm các phép cộng và phép trừ, ta có thể đổi chỗ tùy ý các số kèm theo dấu của chúng.
Ví dụ:
$$\frac{1}{5} – 9,2 – \frac{1}{10} + 1,2$$
$$= \frac{1}{5} – \frac{1}{10} – 9,2 + 1,2$$
🤔 Trong một biểu thức chỉ gồm các phép cộng và phép trừ, ta có thể đổi chỗ tùy ý các số kèm theo dấu của chúng.
Câu hỏi 5: Tính một cách hợp lý:
$$\frac{-3}{4} – 7 – \frac{1}{4}$$
Giải
$$\frac{-3}{4} – 7 – \frac{1}{4}$$
$$= \frac{-3}{4} – \frac{1}{4} – 7$$
$$= \frac{-4}{4} – 7$$
$$= -1 – 7$$
$$= -8.$$
Tính chất của phép nhân
Giống như phép nhân các số nguyên, phép nhân các số hữu tỷ cũng có các tính chất: giao hoán, kết hợp, nhân với số $1,$ phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.
- Giao hoán: $a \cdot b = b \cdot a.$
- Kết hợp: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).$
- Nhân với số $1$ thì bằng chính nó: $a \cdot 1 = a.$
- Phân phối: $m \cdot (a + b) = m\cdot a + m\cdot b$ và $m\cdot (a – b) = m\cdot a – m\cdot b.$
🤔 Phép nhân số hữu tỷ cũng có các tính chất: giao hoán, kết hợp, nhân với số $1,$ phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.
Câu hỏi 6: Tính một cách hợp lý:
$$\mathbf{a)}\; \frac{1}{2} \cdot \left(4 + \frac{2}{3}\right);$$
$$\mathbf{b)}\; 1,25 \cdot \frac{2022}{2023} – \frac{2022}{2023} \cdot 0,25.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{1}{2} \cdot \left(4 + \frac{2}{3}\right)$$
$$= \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$$
$$= 2 + \frac{1}{3}$$
$$= 2\frac{1}{3}.$$
$$\mathbf{b)}\; 1,25 \cdot \frac{2022}{2023} – \frac{2022}{2023} \cdot 0,25$$
$$= \frac{2022}{2023} \cdot (1,25 – 0,25)$$
$$= \frac{2022}{2023} \cdot 1$$
$$= \frac{2022}{2023}.$$
Lưu ý
Trong câu a), có thể viết kết quả ở dạng phân số:
$$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}.$$
Nên xem lại bài hỗn số để hiểu rõ hơn.