Lũy thừa của một số hữu tỷ cũng tương tự như lũy thừa của một số tự nhiên (đã học ở lớp 6)!!? Đó là tích của những số giống nhau.
Lũy thừa với số mũ tự nhiên
🤔 Với $x$ là một số hữu tỷ và $n$ là một số tự nhiên lớn hơn 1, ta định nghĩa:
Cách gọi tên: $x^n$ được gọi là lũy thừa bậc $n$ của $x$ (hoặc còn gọi là $x$ mũ $n$ hay $x$ lũy thừa $n.)$ Đó là tích của $n$ thừa số $x.$
🤔 Quy ước: $x^0 = 1\; (x\neq 0)$ và $x^1 = x.$
Câu hỏi 1: Tính:
$$\mathbf{a)}\; \left(\frac{1}{2}\right)^3;$$
$$\mathbf{b)}\; \left(\frac{-1}{2}\right)^2.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \left(\frac{1}{2}\right)^3$$
$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$$
$$= \frac{1}{8}.$$
$$\mathbf{b)}\; \left(\frac{-1}{2}\right)^2$$
$$= \left(\frac{-1}{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{2}\right)$$
$$= \frac{1}{4}.$$
🤔 Để viết lũy thừa bậc $n$ của phân số $\frac{a}{b},$ ta phải viết $\frac{a}{b}$ trong dấu ngoặc $(\;),$ tức là $\left(\frac{a}{b}\right)^n.$
Câu hỏi 2: Viết mỗi tích sau dưới dạng một lũy thừa:
$$\mathbf{a)}\; \frac{-3}{5} \cdot \frac{-3}{5} \cdot \frac{-3}{5} \cdot \frac{-3}{5};$$
$$\mathbf{b)}\; 0,7 \cdot 0,7 \cdot 0,7.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{-3}{5} \cdot \frac{-3}{5} \cdot \frac{-3}{5} \cdot \frac{-3}{5} = \left(\frac{-3}{5}\right)^4.$$
$$\mathbf{b)}\; 0,7 \cdot 0,7 \cdot 0,7 = (0,7)^3.$$
Chú ý:
+) $x^n$ được đọc là “$x$ mũ $n$”, hoặc “$x$ lũy thừa $n$”, hoặc “lũy thừa bậc $n$ của $x$”.
+) $x^2$ còn được đọc là “$x$ bình phương”, hoặc “bình phương của $x$”.
+) $x^3$ còn được đọc là “$x$ lập phương”, hoặc “lập phương của $x$”.
Câu hỏi 3:
a) Viết công thức tính diện tích hình vuông có cạnh là $a$ dưới dạng lũy thừa.
b) Viết công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh $a$ dưới dạng lũy thừa.
Giải
a) Diện tích hình vuông có cạnh bằng $a$ là:
$$S = a\cdot a = a^2.$$
b) Thể tích hình lập phương có cạnh bằng $a$ là:
$$S = a \cdot a \cdot a = a^3.$$
Nhân và chia hai lũy thừa có cùng cơ số
Với $x$ là số hữu tỷ và $m, n$ là các số tự nhiên, ta có:
🤔 Công thức nhân hai lũy thừa có cùng cơ số:
$$x^m \cdot x^n = x^{m + n}.$$
🤔 Công thức chia hai lũy thừa có cùng cơ số:
$$x^m : x^n = x^{m – n}\; (x\neq 0; m\geq n).$$
Nếu viết dưới dạng tỷ số, ta có:
$$\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}.$$
Câu hỏi 4: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:
$$\mathbf{a)}\; \left(-\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^3;$$
$$\mathbf{b)}\; (0,9)^4 : (0,9)^2.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \left(-\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^3$$
$$= \left(-\frac{2}{3}\right)^{2+3}$$
$$= \left(-\frac{2}{3}\right)^5.$$
$$\mathbf{b)}\; (0,9)^4 : (0,9)^2$$
$$= (0,9)^{4 – 2}$$
$$= (0,9)^2.$$
Câu hỏi 5: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:
$$\mathbf{a)}\; \left(\frac{6}{5}\right)^9 \cdot \frac{6}{5};$$
$$\mathbf{b)}\; \left(\frac{4}{9}\right)^4 \cdot \frac{4}{9} : \left(\frac{4}{9}\right)^2.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \left(\frac{6}{5}\right)^9 \cdot \frac{6}{5}$$
$$= \left(\frac{6}{5}\right)^9 \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^1$$
$$= \left(\frac{6}{5}\right)^{9 + 1}$$
$$= \left(\frac{6}{5}\right)^{10}.$$
$$\mathbf{b)}\; \left(\frac{4}{9}\right)^4 \cdot \frac{4}{9} : \left(\frac{4}{9}\right)^2$$
$$= \left(\frac{4}{9}\right)^4 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^1 : \left(\frac{4}{9}\right)^2$$
$$= \left(\frac{4}{9}\right)^{4+1} : \left(\frac{4}{9}\right)^2$$
$$= \left(\frac{4}{9}\right)^{4+1-2}$$
$$= \left(\frac{4}{9}\right)^3.$$
Nhân chia hai lũy thừa có cùng số mũ
Với $x, y$ là các số hữu tỷ và $m$ là số tự nhiên, ta có:
🤔 Công thức nhân hai lũy thừa có cùng số mũ:
$$x^m \cdot y^m = (x\cdot y)^m.$$
🤔 Công thức chia hai lũy thừa có cùng số mũ:
$$x^m : y^m = (x : y)^m \; (y\neq 0).$$
Nếu viết dưới dạng tỷ số, ta có:
$$\frac{x^m}{y^m} = \left(\frac{x}{y}\right)^m.$$
Câu hỏi 6: Tính:
$$\mathbf{a)}\; \left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot (-4)^3;$$
$$\mathbf{b)}\; \left(\frac{1}{-3}\right)^2;$$
$$\mathbf{c)}\; \left(\frac{2}{3}\right)^4 : \frac{4}{9}.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot (-4)^3$$
$$= \left[\frac{3}{4} \cdot (-4)\right]^3$$
$$= \left[-3\right]^3$$
$$= -27.$$
$$\mathbf{b)}\; \left(\frac{1}{-3}\right)^2$$
$$= \frac{1^2}{(-3)^2} = \frac{1}{9}.$$
$$\mathbf{c)}\; \left(\frac{2}{3}\right)^4 : \frac{4}{9}$$
Ta có:
$$\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2.$$
Do đó:
$$ \left(\frac{2}{3}\right)^4 : \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^4 : \left(\frac{2}{3}\right)^2$$
$$= \left(\frac{2}{3}\right)^{4 – 2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}.$$
Nhận xét:
+) Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ. Còn khi nhân hai lũy thừa có cùng số mũ, ta giữ nguyên số mũ và nhân các cơ số.
+) Tương tự, khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số thì giữ nguyên cơ số. Còn khi chia hai lũy thừa có cùng số mũ thì giữ nguyên số mũ.
Mẹo để nhớ: Cùng cái gì thì giữ nguyên cái đó.
Lũy thừa của một lũy thừa
🤔 Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ:
$$\left(x^m\right)^n = x^{m \cdot n}.$$
Câu hỏi 7: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỷ:
$$\mathbf{a)}\; \left[\left(\frac{-7}{3}\right)^2\right]^3;$$
$$\mathbf{b)}\; \left[\left(0,7\right)^5\right]^2.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \left[\left(\frac{-7}{3}\right)^2\right]^3 = \left(\frac{-7}{3}\right)^{2\cdot 3} = \left(\frac{-7}{3}\right)^6.$$
$$\mathbf{b)}\; \left[\left(0,7\right)^5\right]^2 = \left(0,7\right)^{5\cdot 2} = \left(0,7\right)^{10}.$$