Tập hợp các số thực bao gồm tất cả các tập hợp số đã học.
Số thực
Câu hỏi 1: Cách viết nào sau đây là đúng: $\sqrt{2}\in\mathbb{Q};$ $0,17 \in \mathbb{I};$ $15\in\mathbb{R};$ $\sqrt{3}\in\mathbb{R}.$
Giải
+) $\sqrt{2}$ là số vô tỷ, không phải là số hữu tỷ, nên cách viết $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$ là sai.
+) $0,17$ là số hữu tỷ, không phải số vô tỷ, nên cách viết $0,17\in\mathbb{I}$ là sai.
+) $15$ là số hữu tỷ nên nó cũng là số thực. Do đó, cách viết $15\in\mathbb{R}$ là đúng.
+) $\sqrt{3}$ là số vô tỷ nên nó cũng là số thực. Do đó, cách viết $\sqrt{3}\in\mathbb{R}$ là đúng.
Câu hỏi 2: Các số tự nhiên và các số nguyên có phải là số thực không? Vì sao?
Giải
CÓ.
Vì mọi số tự nhiên và mọi số nguyên đều là số hữu tỷ, mà số thực thì bao gồm cả số hữu tỷ và số vô tỷ, do đó, mọi số tự nhiên và mọi số nguyên đều là số thực.
Nhận xét: Trong các tập hợp số đã học, tập hợp số thực là “rộng lớn” nhất, bao gồm tất cả các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ và cả số vô tỷ.
Câu hỏi 3: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Nếu $a\in\mathbb{Z}$ thì $a\in\mathbb{R}.$
b) Nếu $a\in\mathbb{Q}$ thì $a\in\mathbb{R}.$
c) Nếu $a\in\mathbb{R}$ thì $a\in\mathbb{Z}.$
d) Nếu $a\in\mathbb{R}$ thì $a\notin\mathbb{Q}.$
Giải
a) ĐÚNG. Vì $a\in\mathbb{Z}$ nên $a$ là số nguyên. Mọi số nguyên đều là số hữu tỷ nên $a$ cũng là số hữu tỷ. Mọi số hữu tỷ đều là số thực nên $a$ cũng là số thực. Do đó $a\in\mathbb{R}.$
b) ĐÚNG. Vì $a\in\mathbb{Q}$ nên $a$ là số hữu tỷ. Mọi số hữu tỷ đều là số thực nên $a$ cũng là số thực. Do đó $a\in\mathbb{R}.$
c) SAI. Ta có $\dfrac{1}{2}\in\mathbb{R}$ nhưng $\dfrac{1}{2}\notin\mathbb{Z}.$
d) SAI. Ta có $\dfrac{1}{2}\in\mathbb{R}$ và $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}.$
Biểu diễn thập phân của số thực
Ta đã biết, mỗi số hữu tỷ được biểu diễn bởi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn; mỗi số vô tỷ được biểu diễn bởi số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Mà số thực thì bao gồm cả số hữu tỷ và vô tỷ, do đó, mỗi số thực được biểu diễn bởi một trong ba dạng số thập phân: hữu hạn, vô hạn tuần hoàn hoặc vô hạn không tuần hoàn.
Câu hỏi 4: Thay $..?..$ bằng cụm từ “hữu hạn“, “vô hạn tuần hoàn“, hoặc “vô hạn không tuần hoàn” thích hợp.
a) Mọi số hữu tỷ đều có thể được biểu diễn bởi số thập phân $..?..$ hoặc số thập phân $..?..$
b) Mọi số vô tỷ đều có thể được biểu diễn bởi số thập phân $..?..$
c) Mọi số thực đều có thể được biểu diễn bởi số thập phân $..?..$, số thập phân $..?..$ hoặc số thập phân $..?..$
d) Nếu $a$ là số thập phân $..?..$ thì $a$ phải là số vô tỷ, và do đó $a$ cũng là số thực.
Giải
a) Mọi số hữu tỷ đều có thể được biểu diễn bởi số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.
b) Mọi số vô tỷ đều có thể được biểu diễn bởi số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
c) Mọi số thực đều có thể được biểu diễn bởi số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn hoặc số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
d) Nếu $a$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn thì $a$ phải là số vô tỷ, và do đó $a$ cũng là số thực.