So sánh hai số hữu tỷ
Ở lớp 6, chúng ta đã được học cách so sánh hai phân số và cách so sánh hai số thập phân. Dựa vào đó, chúng ta có thể so sánh hai số hữu tỷ bất kỳ.
🤔 Khi hai số hữu tỷ cùng là phân số hoặc cùng là số thập phân, ta so sánh chúng theo những quy tắc đã biết ở lớp 6.
Câu hỏi 1: So sánh:
$$\mathbf{a)}\; \frac{-1}{5} \;và\; \frac{-2}{3};$$
$$\mathbf{b)}\; -7,89 \;và\; -7,809.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{-1}{5} \;và\; \frac{-2}{3}$$
+) Quy đồng mẫu số:
$$\frac{-1}{5} = \frac{-3}{15}$$
$$\frac{-2}{3} = \frac{-10}{15}$$
+) So sánh:
Vì $-3 > -10$ nên $\frac{-3}{15} > \frac{-10}{15}.$
Do đó:
$$\frac{-1}{5} > \frac{-2}{3}.$$
$$\mathbf{b)}\; -7,89 \;và\; -7,809$$
Vì $7,89 > 7,809$ nên $-7,89 < -7,809.$
🤔 Để so sánh hai số hữu tỷ bất kỳ, ta có thể viết chúng về cùng dạng phân số rồi so sánh chúng.
Câu hỏi 2: So sánh:
$$\mathbf{a)}\; 0,3 \;và\; \frac{5}{6};$$
$$\mathbf{b)}\; -\frac{19}{16} \;và\; -1,25.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; 0,3 \;và\; \frac{5}{6}$$
+) Viết về cùng dạng phân số, đồng thời quy đồng mẫu số hai phân số thu được:
$$0,3 = \frac{3}{10}$$
+) Quy đồng mẫu số:
$$\frac{3}{10} = \frac{18}{60}.$$
$$\frac{5}{6} = \frac{50}{60}.$$
+) So sánh:
Vì $\frac{18}{60} < \frac{50}{60}$ nên $\frac{3}{10} < \frac{5}{6}.$
Do đó: $0,3 < \frac{5}{6}.$
$$\mathbf{b)}\; -\frac{19}{16} \;và\; -1,25$$
+) Viết về cùng dạng phân số:
$$-1,25 = \frac{125}{100} = \frac{-5}{4}.$$
+) Quy đồng mẫu số:
$$-\frac{19}{16} = \frac{-19}{16}.$$
$$\frac{-5}{4} = \frac{-20}{16}.$$
+) So sánh:
Vì $\frac{-19}{16} > \frac{-20}{16}$ nên $-\frac{19}{16} > \frac{-5}{4}.$
Do đó: $-\frac{19}{16} > -1,25.$
🤔 Đôi khi, ta cũng có thể so sánh hai số hữu tỷ bằng cách viết chúng về cùng dạng số thập phân (nếu có thể).
Câu hỏi 3: So sánh:
$$\mathbf{a)}\; 1,2 \;và\; \frac{7}{5};$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{-7}{10}\; và\; \frac{16}{-25}.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; 1,2 \;và\; \frac{7}{5}$$
+) Đưa về cùng dạng số thập phân:
$$\frac{7}{5} = 1,4.$$
+) So sánh:
Vì $1,2 < 1,4$ nên $1,2 < \frac{7}{5}.$
$$\mathbf{b)}\; \frac{-7}{10}\; và\; \frac{16}{-25}$$
+) Đưa về cùng dạng số thập phân:
$$\frac{-7}{10} = -0,7.$$
$$\frac{16}{-25} = -0,64.$$
+) So sánh:
Vì $-0,7 < -0,64$ nên $\frac{-7}{10} < \frac{16}{-25}.$
Chú ý: Có những số hữu tỷ khi viết về dạng số thập phân thì phần thập phân kéo dài mãi mãi (viết hoài không hết). Chẳng hạn: $\frac{1}{3} = 0,3333….$ Do đó, khi so sánh loại số hữu tỷ này, ta bắt buộc phải đưa chúng về cùng dạng phân số (chứ không thể đưa về cùng dạng số thập phân được)!!?
Câu hỏi 4: So sánh:
$$\frac{8}{9} \;và\; 0,9.$$
Giải
Ta có:
$$\frac{8}{9} = \frac{80}{90}.$$
$$0,9 = \frac{9}{10} = \frac{81}{90}.$$
Vì $\frac{80}{90} < \frac{81}{90}$ nên $\frac{8}{9} < \frac{9}{10}.$
Nhận xét
Phân số $\frac{8}{9}$ không thể đưa về dạng số thập phân một cách trọn vẹn được (viết mãi mà không hết phần thập phân, $\frac{8}{9} = 0,888…)$ Do đó, để so sánh hai số trên, ta buộc phải đưa chúng “cùng về dạng phân số”.
Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỷ
Tương tự như số nguyên: Với hai số hữu tỷ bất kỳ, nếu chúng không bằng nhau thì phải có một số nhỏ hơn số kia.
Các ký hiệu $<, >, \leq, \geq $ và các khái niệm “âm, dương” được áp dụng tương tự như trong tập hợp số nguyên:
- Nếu số hữu tỷ $a$ nhỏ hơn số hữu tỷ $b$ thì ta viết: $a < b.$ Thêm nữa, lúc này ta còn rằng $b$ lớn hơn $a$ và viết $b > a.$
- Ký hiệu $a \leq b$ được hiểu là: “$a$ nhỏ hơn hoặc bằng $b$”. Tương tự vậy, ký hiệu $c \geq d$ được hiểu là: “$c$ lớn hơn hoặc bằng $d$”.
- Số hữu tỷ nhỏ hơn $0$ được gọi là số hữu tỷ âm.
- Số hữu tỷ lớn hơn $0$ được gọi là số hữu tỷ dương.
- Số $0$ không phải là số hữu tỷ âm, cũng không phải là số hữu tỷ dương.
Tính chất bắc cầu: Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c.$
🤔 Có thể áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh các số hữu tỷ.
Câu hỏi 5: Cho $a$ là một số hữu tỷ âm, và $b$ là một số hữu tỷ dương. Đố em số nào lớn hơn?
Giải
Vì $a$ là một số hữu tỷ âm nên $a < 0.$
Vì $b$ là một số hữu tỷ dương nên $b > 0.$ Hay ta có thể viết lại là $0 < b.$
Vậy ta đã có: $a < 0$ và $0 < b.$
Áp dụng tính chất bắc cầu, ta suy ra: $a < b.$
Lưu ý: Số hữu tỷ âm thì nhỏ hơn số hữu tỷ dương. Do đó, nếu so sánh nhiều hữu tỷ, ta nên so sánh riêng các số âm với nhau và riêng các số dương với nhau, rồi cho các số âm nhỏ hơn $0$ và nhỏ hơn các số dương.
Ví dụ: Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
$$-\frac{3}{7}; \frac{1}{4}; -0,5; 1,4.$$
+) Các số âm là: $-\frac{3}{7}; -0,5$
$$-\frac{3}{7} = \frac{-6}{14}$$
$$-0,5 = \frac{-1}{2} = \frac{-7}{14}$$
Vì $\frac{-7}{14} > \frac{-6}{14}$ nên $-0,5 < -\frac{3}{7}.$
+) Các số dương là: $\frac{1}{4}; 1,4$
$$\frac{1}{4} = 0,25$$
Vì $0,25 < 1,4$ nên $\frac{1}{4} < 1,4.$
+) Vì các số âm nhỏ hơn các số dương nên ta có:
$$-0,5 < -\frac{3}{7} < \frac{1}{4} < 1,4.$$
Câu hỏi 6: Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự giảm dần:
$$\frac{2}{9}; \frac{-4}{15}; \frac{-1}{-2}; -0,2; 0.$$
Giải
+) Các số hữu tỷ âm là: $\frac{-4}{15}; -0,2$
$$-0,2 = \frac{-1}{5} = \frac{-3}{15}.$$
Vì $\frac{-3}{15} > \frac{-4}{5}$ nên $-0,2 > \frac{-4}{5}.$
+) Các số hữu tỷ dương là: $\frac{2}{9}; \frac{-1}{-2}$
$$\frac{2}{9} = \frac{4}{18}$$
$$\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} = \frac{9}{18}$$
Vì $\frac{9}{18} > \frac{4}{18}$ nên $\frac{-1}{-2} > \frac{2}{9}$
+) Vì các số dương lớn hơn $0$ và lớn hơn các số âm nên ta có:
$$\frac{-1}{-2} > \frac{2}{9} > 0 > -0,2 > \frac{-4}{5}.$$
Khi biểu diễn hai số hữu tỷ $x$ và $y$ trên trục số, nếu $x < y$ thì điểm $x$ nằm trước điểm $y.$ Có nghĩa là:
🤔 Nếu biểu diễn $x < y$ trên trục số nằm ngang có chiều từ trái sang phải thì điểm $x$ nằm bên trái điểm $y.$
🤔 Nếu biểu diễn $x < y$ trên trục số thẳng đứng có chiều từ dưới lên trên thì điểm $x$ nằm bên dưới điểm $y.$
Câu hỏi 7: Cho $a$ là một số hữu tỷ âm và $b$ là một số hữu tỷ dương. Khi biểu diễn $a$ và $b$ trên trục số, đố em điểm $a$ hay điểm $b$ nằm trước?
Giải
Vì số hữu tỷ âm nhỏ hơn số hữu tỷ dương nên $a < b.$
Do đó, khi biểu diễn $a$ và $b$ trên trục số thì điểm $a$ nằm trước điểm $b.$