Bài tập TOÁN 8 (CT mới) – Chuyên đề PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ ĐA THỨC.

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 8 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG. Mức độ DỄ: BT 1: Tính tổng và hiệu của mỗi cặp đa thức sau: a) $A=4x^2-5xy+3y^2$ và $B=3x^2+2xy-y^2.$ b) $C=x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1$ và $D=-x^3-\dfrac{1}{2}x^2y+xy^2-y^4-2.$ […]

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 8 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.

Mức độ DỄ:

BT 1: Tính tổng và hiệu của mỗi cặp đa thức sau:

a) $A=4x^2-5xy+3y^2$ và $B=3x^2+2xy-y^2.$

b) $C=x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1$ và $D=-x^3-\dfrac{1}{2}x^2y+xy^2-y^4-2.$

c) $E=5xy-\dfrac{2}{3}x^2y+xyz^2-1$ và $F=2x^2y-xyz^2-\dfrac{2}{5}xy+x+\dfrac{1}{2}.$

a) $A=4x^2-5xy+3y^2$ và $B=3x^2+2xy-y^2.$

+) $A+B$ $=(4x^2-5xy+3y^2)+(3x^2+2xy-y^2)$ $=4x^2-5xy+3y^2+3x^2+2xy-y^2$ $=4x^2+3x^2-5xy+2xy+3y^2-y^2$ $=(4x^2+3x^2)-(5xy-2xy)+(3y^2-y^2)$ $=7x^2-3xy+2y^2.$

+) $A-B$ $=(4x^2-5xy+3y^2)-(3x^2+2xy-y^2)$ $=4x^2-5xy+3y^2-3x^2-2xy+y^2$ $=4x^2-3x^2-5xy-2xy+3y^2+y^2$ $=(4x^2-3x^2)-(5xy+2xy)+(3y^2+y^2)$ $=x^2-7xy+4y^2.$

b) $C=x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1$ và $D=-x^3-\dfrac{1}{2}x^2y+xy^2-y^4-2.$

+) $C+D$ $=\left(x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1\right)+\left(-x^3-\dfrac{1}{2}x^2y+xy^2-y^4-2\right)$ $=x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1-x^3-\dfrac{1}{2}x^2y+xy^2-y^4-2$ $=x^3-x^3-2x^2y-\dfrac{1}{2}x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2+xy^2-y^4-y^4+1-2$ $=\left(x^3-x^3\right)-\left(2x^2y+\dfrac{1}{2}x^2y\right)+\left(\dfrac{1}{3}xy^2+xy^2\right)-\left(y^4+y^4\right)+(1-2)$ $=0-\dfrac{5}{2}x^2y+\dfrac{4}{3}xy^2-2y^4+(-1)$ $=-\dfrac{5}{2}x^2y+\dfrac{4}{3}xy^2-2y^4-1.$

+) $C-D$ $=\left(x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1\right)-\left(-x^3-\dfrac{1}{2}x^2y+xy^2-y^4-2\right)$ $=x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1+x^3+\dfrac{1}{2}x^2y-xy^2+y^4+2$ $=x^3+x^3-2x^2y+\dfrac{1}{2}x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-xy^2-y^4+y^4+1+2$ $=\left(x^3+x^3\right)-\left(2x^2y-\dfrac{1}{2}x^2y\right)+\left(\dfrac{1}{3}xy^2-xy^2\right)-\left(y^4-y^4\right)+(1+2)$ $=2x^3-\dfrac{3}{2}x^2y+\dfrac{-2}{3}xy^2-0+3$ $=2x^3-\dfrac{3}{2}x^2y-\dfrac{2}{3}xy^2+3.$

c) $E=5xy-\dfrac{2}{3}x^2y+xyz^2-1$ và $F=2x^2y-xyz^2-\dfrac{2}{5}xy+x+\dfrac{1}{2}.$

+) $E+F$ $=\left(5xy-\dfrac{2}{3}x^2y+xyz^2-1\right)+\left(2x^2y-xyz^2-\dfrac{2}{5}xy+x+\dfrac{1}{2}\right)$ $=5xy-\dfrac{2}{3}x^2y+xyz^2-1+2x^2y-xyz^2-\dfrac{2}{5}xy+x+\dfrac{1}{2}$ $=5xy-\dfrac{2}{5}xy-\dfrac{2}{3}x^2y+2x^2y+xyz^2-xyz^2-1+\dfrac{1}{2}$ $=\left(5xy-\dfrac{2}{5}xy\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^2y-2x^2y\right)+\left(xyz^2-xyz^2\right)-\left(1-\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{23}{5}xy-\dfrac{-4}{3}x^2y+0-\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{23}{5}xy+\dfrac{4}{3}x^2y-\dfrac{1}{2}.$

+) $E-F$ $=\left(5xy-\dfrac{2}{3}x^2y+xyz^2-1\right)-\left(2x^2y-xyz^2-\dfrac{2}{5}xy+x+\dfrac{1}{2}\right)$ $=5xy-\dfrac{2}{3}x^2y+xyz^2-1-2x^2y+xyz^2+\dfrac{2}{5}xy-x-\dfrac{1}{2}$ $=5xy+\dfrac{2}{5}xy-\dfrac{2}{3}x^2y-2x^2y+xyz^2+xyz^2-1-\dfrac{1}{2}$ $=\left(5xy+\dfrac{2}{5}xy\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^2y+2x^2y\right)+\left(xyz^2+xyz^2\right)-\left(1+\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{27}{25}xy-\dfrac{8}{3}x^2y+2xyz^2-\dfrac{3}{2}.$

BT 2: Cho hai đa thức: $M=2,5x^3-0,1x^2y+y^3$ và $N=4x^2y-3,5x^3+7xy^2-y^3.$

a) Tìm $M+N$ và bậc của nó.

b) Tìm $M-N$ và bậc của nó.

a) $M+N$ $=\left(2,5x^3-0,1x^2y+y^3\right)+\left(4x^2y-3,5x^3+7xy^2-y^3\right)$ $=2,5x^3-0,1x^2y+y^3+4x^2y-3,5x^3+7xy^2-y^3$ $=2,5x^3-3,5x^3-0,1x^2y+4x^2y+y^3-y^3+7xy^2$ $=\left(2,5x^3-3,5x^3\right)-\left(0,1x^2y-4x^2y\right)+\left(y^3-y^3\right)+7xy^2$ $=-x^3-\left(-3,9x^2y\right)+0+7xy^2$ $=-x^3+3,9x^2y+7xy^2$

Các hạng tử của $M+N$ gồm:

+) $-x^3$ có bậc $3.$

+) $3,9x^2y$ có bậc $2+1=3.$

+) $7xy^2$ có bậc $1+2=3.$

Do đó $M+N$ có bậc $3.$

b) $M-N$ $=\left(2,5x^3-0,1x^2y+y^3\right)-\left(4x^2y-3,5x^3+7xy^2-y^3\right)$ $=2,5x^3-0,1x^2y+y^3-4x^2y+3,5x^3-7xy^2+y^3$ $=2,5x^3+3,5x^3-0,1x^2y-4x^2y+y^3+y^3-7xy^2$ $=\left(2,5x^3+3,5x^3\right)-\left(0,1x^2y+4x^2y\right)+\left(y^3+y^3\right)-7xy^2$ $=6x^3-4,1x^2y+2y^3-7xy^2$

Các hạng tử của $M-N$ đều có bậc $3$ nên $M-N$ có bậc $3.$

BT 3: Cho các đa thức $A=-2xy^2+3xy+5xy^2+5xy+1-7x^2-3y^2-2x^2+y^2$ và $B=5x^2+xy-x^2-2y^2.$

a) Thu gọn các đa thức $A$ và $B.$ Tìm bậc của $A, B.$

b) Tính giá trị của $A$ tại $x=\dfrac{-1}{2},$ $y=-1.$

c) Tính $C=A+B$ và $D=A-B.$

d) Tính giá trị của đa thức $C$ tại $x=-1,$ $y=\dfrac{-1}{2}.$

a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức:

+) $A=-2xy^2+3xy+5xy^2+5xy+1-7x^2-3y^2-2x^2+y^2$ $=-2xy^2+5xy^2+3xy+5xy+1-7x^2-2x^2-3y^2+y^2$ $=(-2xy^2+5xy^2)+(3xy+5xy)+1-(7x^2+2x^2)-(3y^2-y^2)$ $=3xy^2+8xy+1-9x^2-2y^2$ $=3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1.$

$\Rightarrow$ Đa thức $A$ có bậc $3.$

+) $B=5x^2+xy-x^2-2y^2$ $=5x^2-x^2+xy-2y^2$ $=(5x^2-x^2)+xy-2y^2$ $=4x^2+xy-2y^2.$

$\Rightarrow$ Đa thức $B$ có bậc $2.$

b) Thay $x=\dfrac{-1}{2},$ $y=-1$ vào $A=3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1,$ ta được: $A=3\cdot\dfrac{-1}{2}\cdot(-1)^2+8\cdot\dfrac{-1}{2}\cdot(-1)-9\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2-2\cdot(-1)^2+1$ $=\dfrac{-3}{2}+4-\dfrac{9}{4}-2+1$ $=\dfrac{-3}{2}-\dfrac{9}{4}+4-2+1$ $=\left(\dfrac{-3}{2}-\dfrac{9}{4}\right)+(4-2+1)$ $=\left(\dfrac{-6}{4}-\dfrac{9}{4}\right)+1$ $=\dfrac{-15}{4}+1$ $=\dfrac{-11}{4}.$

c)

+) $C=A+B$ $=(3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1)+(4x^2+xy-2y^2)$ $=3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1+4x^2+xy-2y^2$ $=3xy^2+8xy+xy-9x^2+4x^2-2y^2-2y^2+1$ $=3xy^2+(8xy+xy)-(9x^2-4x^2)-(2y^2+2y^2)+1$ $=3xy^2+9xy-5x^2-4y^2+1.$

+) $D=A-B$ $=(3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1)-(4x^2+xy-2y^2)$ $=3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1-4x^2-xy+2y^2$ $=3xy^2+8xy-xy-9x^2-4x^2-2y^2+2y^2+1$ $=3xy^2+(8xy-xy)-(9x^2+4x^2)-(2y^2-2y^2)+1$ $=3xy^2+7xy-13x^2-0+1$ $=3xy^2+7xy-13x^2+1.$

d) Thay $x=-1,$ $y=\dfrac{-1}{2}$ vào $C=3xy^2+9xy-5x^2-4y^2+1,$ ta được: $C=3\cdot (-1)\cdot\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+9\cdot(-1)\cdot\dfrac{-1}{2}-5\cdot(-1)^2-4\cdot\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+1$ $=\dfrac{-3}{4}+\dfrac{9}{2}-5-1+1$ $=\dfrac{-3}{4}+\dfrac{18}{4}-5-1+1$ $=\dfrac{15}{4}-5$ $=\dfrac{-5}{4}.$

Mức độ TRUNG BÌNH:

BT 4: Tính tổng và hiệu của hai đa thức $P$ và $Q,$ biết: $P=xy-x+1$ và $Q=2xy-(xy-x+5).$

Thu gọn $Q=2xy-(xy-x+5)$ $=2xy-xy+x-5$ $=xy+x-5.$

+) Tính tổng: $P+Q$ $=(xy-x+1)+(xy+x-5)$ $=xy-x+1+xy+x-5$ $=xy+xy-x+x+1-5$ $=(xy+xy)-(x-x)+(1-5)$ $=2xy-0+(-4)$ $=2xy-4.$

+) Tính hiệu: $P-Q$ $=(xy-x+1)-(xy+x-5)$ $=xy-x+1-xy-x+5$ $=xy-xy-x-x+1+5$ $=(xy-xy)-(x+x)+(1+5)$ $=0-2x+6$ $=-2x+6.$

BT 5: Cho hai đa thức $M=2x^2+4xy-4y^2$ và $N=3x^2-2xy+2y^2.$ Tính giá trị của đa thức $M+N$ tại $x=1,$ $y=-2.$

$M+N$ $=(2x^2+4xy-4y^2)+(3x^2-2xy+2y^2)$ $=2x^2+4xy-4y^2+3x^2-2xy+2y^2$ $=2x^2+3x^2+4xy-2xy-4y^2+2y^2$ $=(2x^2+3x^2)+(4xy-2xy)-(4y^2-2y^2)$ $=5x^2+2xy-2y^2.$

Thay $x=1,$ $y=-2$ vào $M+N=5x^2+2xy-2y^2,$ ta được: $M+N=5\cdot 1^2+2\cdot 1\cdot (-2)-2\cdot(-2)^2$ $=5-4-8$ $=-7.$

Vậy tại $x=1,$ $y=-2$ thì $M+N=-7.$

BT 6: Tìm đa thức $M,$ biết:

a) $M+(5x^2-2xy)=6x^2+9xy-y^2.$

b) $\left(\dfrac{1}{2}xy^2+x^2-x^2y\right)-M=-xy^2+x^2y+1.$

c) $M-\left(x^3y^2-x^2y+xy\right)=2x^3y^2-\dfrac{3}{2}xy.$

a) $M+(5x^2-2xy)=6x^2+9xy-y^2.$

$M=(6x^2+9xy-y^2)-(5x^2-2xy)$ $=6x^2+9xy-y^2-5x^2+2xy$ $=x^2+11xy-y^2.$

Vậy $M=x^2+11xy-y^2.$

b) $\left(\dfrac{1}{2}xy^2+x^2-x^2y\right)-M=-xy^2+x^2y+1.$

$M=\left(\dfrac{1}{2}xy^2+x^2-x^2y\right)-\left(-xy^2+x^2y+1\right)$ $=\dfrac{1}{2}xy^2+x^2-x^2y+xy^2-x^2y-1$ $=\dfrac{3}{2}xy^2+x^2-2x^2y-1.$

Vậy $M=\dfrac{3}{2}xy^2+x^2-2x^2y-1.$

c) $M-\left(x^3y^2-x^2y+xy\right)=2x^3y^2-\dfrac{3}{2}xy.$

$M=\left(2x^3y^2-\dfrac{3}{2}xy\right)+\left(x^3y^2-x^2y+xy\right)$ $=2x^3y^2-\dfrac{3}{2}xy+x^3y^2-x^2y+xy$ $=3x^3y^2-\dfrac{1}{2}xy-x^2y.$

Vậy $M=3x^3y^2-\dfrac{1}{2}xy-x^2y.$

BT 7: Cho đa thức $Q=3xy^2-2xy+x^2y-2y^4.$ Tìm đa thức $N$ thỏa mãn $Q-N=2y^4+x^2y+xy^2.$

$Q-N=2y^4+x^2y+xy^2$ nên $N=Q-\left(2y^4+x^2y+xy^2\right)$ $=\left(3xy^2-2xy+x^2y-2y^4\right)-\left(2y^4+x^2y+xy^2\right)$ $=3xy^2-2xy+x^2y-2y^4-2y^4-x^2y-xy^2$ $=2xy^2-2xy-4y^4.$

Vậy $N=2xy^2-2xy-4y^4.$

BT 8: Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ nhất $90$ triệu đồng với kỳ hạn $1$ năm, lãi suất $x$%/năm. Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ hai $80$ triệu đồng với kỳ hạn $1$ năm, lãi suất $y$%/năm.

a) Viết đa thức biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ nhất sau khi hết kỳ hạn $1$ năm.

b) Viết đa thức biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ hai sau khi hết kỳ hạn $1$ năm.

c) Viết đa thức biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở cả hai ngân hàng sau khi hết kỳ hạn $1$ năm.

d) Ngân hàng thứ hai có độ uy tín cao hơn nên lãi suất thấp hơn: Lãi suất ở ngân hàng thứ hai chỉ bằng $\dfrac{4}{5}$ lãi suất ở ngân hàng thứ nhất. Hỏi số tiền lãi bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ hai gấp bao nhiêu lần số tiền lãi có được ở ngân hàng thứ nhất?

a) Đa thức biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ nhất sau khi hết kỳ hạn $1$ năm: $90+90\cdot\dfrac{x}{100}$ $=90+\dfrac{9}{10}x.$

b) Đa thức biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ hai sau khi hết kỳ hạn $1$ năm: $80+80\cdot\dfrac{y}{100}$ $=80+\dfrac{4}{5}y.$

c) Đa thức biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở cả hai ngân hàng sau khi hết kỳ hạn $1$ năm: $\left(90+\dfrac{9}{10}x\right)+\left(80+\dfrac{4}{5}y\right)$ $=170+\dfrac{9}{10}x+\dfrac{4}{5}y.$

d) Lãi suất ở ngân hàng thứ hai chỉ bằng $\dfrac{4}{5}$ lãi suất ở ngân hàng thứ nhất nên $y=\dfrac{4}{5}x.$ $\Rightarrow$ Số tiền lãi có được ở ngân hàng thứ hai là $t_2=80\cdot\dfrac{y}{100}$ $=\dfrac{4}{5}y$ $=\dfrac{4}{5}\left(\dfrac{4}{5}x\right)$ $=\dfrac{16}{25}x.$

Số tiền lãi có được ở ngân hàng thứ nhất là $t_1=90\cdot\dfrac{x}{100}$ $=\dfrac{9}{10}x.$

Ta có: $t_2\;:\;t_1=\left(\dfrac{16}{25}x\right)\;:\;\left(\dfrac{9}{10}x\right)$ $=\dfrac{16}{25}\;:\;\dfrac{9}{10}$ $=\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{10}{9}$ $=\dfrac{32}{45}.$

Vậy số tiền lãi bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ hai gấp $\dfrac{32}{45}$ lần số tiền lãi có được ở ngân hàng thứ nhất.

BT 9: Một chiếc bình có dạng hình lập phương với độ dài cạnh là $x\;cm.$

a) Viết đa thức biểu thị thể tích nước tối đa mà chiếc bình đó có thể chứa được.

b) Biết rằng độ cao mực nước trong bình đang là $h\;cm$ (với $h < x).$ Viết đa thức biểu thị thể tích phần không có nước trong bình.

a) Thể tích nước tối đa mà chiếc bình đó có thể chứa được bằng với thể tích của chiếc bình đó, tức là bằng: $x^3\;(cm^3).$

Đa thức biểu thị thể tích nước tối đa mà chiếc bình đó có thể chứa được là $x^3.$

b) Thể tích nước đang có trong bình là: $x^2h\;(cm^3).$

$\Rightarrow$ Thể tích phần không có nước là: $x^3-x^2h\;(cm^3).$

Đa thức biểu thị thể tích phần không có nước trong bình là: $x^3-x^2h.$

BT 10: Hai người đi xe đạp cùng một lúc và ngược chiều nhau từ hai địa điểm $A$ và $B.$ Người xuất phát từ $A$ đi với tốc độ $x\;km/h.$ Người xuất phát từ $B$ đi với tốc độ $y\;km/h.$ Hai người gặp nhau tại điểm $C$ sau $2$ giờ.

a) Lập biểu thức $S$ biểu thị quãng đường $AB.$

b) Tính $S$ tại $x=12, y=9.$

c) Biết rằng người xuất phát từ $B$ đi với tốc độ nhanh gấp đôi người xuất phát từ $A.$ Tính thời gian để người xuất phát từ $A$ đi hết quãng đường $AB.$

a) $S=2x+2y\;(km/h).$

b) Tại $x=12, y=9$ thì $S=2\cdot 12+2\cdot 9=42.$

c) Người xuất phát từ $B$ đi nhanh gấp đôi người xuất phát từ $A$ nên $y=2x.$ Suy ra $S=2x+2y=2x+2\cdot 2x=6x.$

Thời gian người xuất phát từ $A$ đi hết quãng đường $AB$ là: $t=S\;:\;v=6x\;:\;x=6\;(h).$

Mức độ KHÓ:

BT 11: Chứng minh rằng $\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$ chia hết cho $37.$

Ta có: $\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$ $=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)$ $=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b$ $=100(a+b+c)+10(a+b+c)+(a+b+c)$ $=111(a+b+c).$

Do $111\;\vdots\;37$ nên $111(a+b+c)\;\vdots\;37.$

Vậy $\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$ chia hết cho $37.$

BT 12: Cho $a, b, c$ là các số nguyên. Đặt $A=3a-5b,$ $B=7b-9c,$ $C=11c-13a.$ Chứng tỏ tích $A\cdot B\cdot C$ là số chẵn.

Xét $A+B+C$ $=(3a-5b)+(7b-9c)+(11c-13a)$ $=3a-5b+7b-9c+11c-13a$ $=(3a-13a)+(-5b+7b)+(-9c+11c)$ $=-10a+2b+2c$ $=2\cdot (-5a+b+c)\;\vdots\;2.$

Suy ra $A+B+C$ là số chẵn.

Suy ra trong ba số $A, B, C$ phải có ít nhất một số chẵn (vì nếu cả ba số đều là số lẻ thì tổng $A+B+C$ là số lẻ).

Do đó, tích $A\cdot B\cdot C$ là số chẵn.

BT 13: Chứng minh rằng:

a) Tổng của $5$ số nguyên liên tiếp thì chia hết cho $5.$

b) Tổng của $2k+1$ số nguyên liên tiếp $(k\in\mathbb{N}$ thì chia hết cho $2k+1.$

a) Gọi $5$ số nguyên liên tiếp là $n-2,$ $n-1,$ $n,$ $n+1,$ $n+2$ $(n\in\mathbb{Z}).$

Tổng của $5$ số đó bằng $5n,$ chia hết cho $5.$

b) Gọi $2k+1$ số nguyên liên tiếp là $n-k,$ $n-k+1,…,$ $n-1,$ $n,$ $n+1,…,$ $n+k-1,$ $n+k$ $(n\in\mathbb{Z}).$

Tổng của $2k+1$ số đó bằng $(2k+1)n$ chia hết cho $2k+1.$

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.