Bài tập TOÁN 8 (CT mới) – Chuyên đề PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ ĐA THỨC.

a) $A=4x^2-5xy+3y^2$ và $B=3x^2+2xy-y^2.$

+) $A+B$ $=(4x^2-5xy+3y^2)+(3x^2+2xy-y^2)$ $=4x^2-5xy+3y^2+3x^2+2xy-y^2$ $=4x^2+3x^2-5xy+2xy+3y^2-y^2$ $=(4x^2+3x^2)-(5xy-2xy)+(3y^2-y^2)$ $=7x^2-3xy+2y^2.$

+) $A-B$ $=(4x^2-5xy+3y^2)-(3x^2+2xy-y^2)$ $=4x^2-5xy+3y^2-3x^2-2xy+y^2$ $=4x^2-3x^2-5xy-2xy+3y^2+y^2$ $=(4x^2-3x^2)-(5xy+2xy)+(3y^2+y^2)$ $=x^2-7xy+4y^2.$

b) $C=x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1$ và $D=-x^3-\dfrac{1}{2}x^2y+xy^2-y^4-2.$

+) $C+D$ $=\left(x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1\right)+\left(-x^3-\dfrac{1}{2}x^2y+xy^2-y^4-2\right)$ $=x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1-x^3-\dfrac{1}{2}x^2y+xy^2-y^4-2$ $=x^3-x^3-2x^2y-\dfrac{1}{2}x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2+xy^2-y^4-y^4+1-2$ $=\left(x^3-x^3\right)-\left(2x^2y+\dfrac{1}{2}x^2y\right)+\left(\dfrac{1}{3}xy^2+xy^2\right)-\left(y^4+y^4\right)+(1-2)$ $=0-\dfrac{5}{2}x^2y+\dfrac{4}{3}xy^2-2y^4+(-1)$ $=-\dfrac{5}{2}x^2y+\dfrac{4}{3}xy^2-2y^4-1.$

+) $C-D$ $=\left(x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1\right)-\left(-x^3-\dfrac{1}{2}x^2y+xy^2-y^4-2\right)$ $=x^3-2x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-y^4+1+x^3+\dfrac{1}{2}x^2y-xy^2+y^4+2$ $=x^3+x^3-2x^2y+\dfrac{1}{2}x^2y+\dfrac{1}{3}xy^2-xy^2-y^4+y^4+1+2$ $=\left(x^3+x^3\right)-\left(2x^2y-\dfrac{1}{2}x^2y\right)+\left(\dfrac{1}{3}xy^2-xy^2\right)-\left(y^4-y^4\right)+(1+2)$ $=2x^3-\dfrac{3}{2}x^2y+\dfrac{-2}{3}xy^2-0+3$ $=2x^3-\dfrac{3}{2}x^2y-\dfrac{2}{3}xy^2+3.$

c) $E=5xy-\dfrac{2}{3}x^2y+xyz^2-1$ và $F=2x^2y-xyz^2-\dfrac{2}{5}xy+x+\dfrac{1}{2}.$

+) $E+F$ $=\left(5xy-\dfrac{2}{3}x^2y+xyz^2-1\right)+\left(2x^2y-xyz^2-\dfrac{2}{5}xy+x+\dfrac{1}{2}\right)$ $=5xy-\dfrac{2}{3}x^2y+xyz^2-1+2x^2y-xyz^2-\dfrac{2}{5}xy+x+\dfrac{1}{2}$ $=5xy-\dfrac{2}{5}xy-\dfrac{2}{3}x^2y+2x^2y+xyz^2-xyz^2-1+\dfrac{1}{2}$ $=\left(5xy-\dfrac{2}{5}xy\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^2y-2x^2y\right)+\left(xyz^2-xyz^2\right)-\left(1-\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{23}{5}xy-\dfrac{-4}{3}x^2y+0-\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{23}{5}xy+\dfrac{4}{3}x^2y-\dfrac{1}{2}.$

+) $E-F$ $=\left(5xy-\dfrac{2}{3}x^2y+xyz^2-1\right)-\left(2x^2y-xyz^2-\dfrac{2}{5}xy+x+\dfrac{1}{2}\right)$ $=5xy-\dfrac{2}{3}x^2y+xyz^2-1-2x^2y+xyz^2+\dfrac{2}{5}xy-x-\dfrac{1}{2}$ $=5xy+\dfrac{2}{5}xy-\dfrac{2}{3}x^2y-2x^2y+xyz^2+xyz^2-1-\dfrac{1}{2}$ $=\left(5xy+\dfrac{2}{5}xy\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^2y+2x^2y\right)+\left(xyz^2+xyz^2\right)-\left(1+\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{27}{25}xy-\dfrac{8}{3}x^2y+2xyz^2-\dfrac{3}{2}.$

a) $M+N$ $=\left(2,5x^3-0,1x^2y+y^3\right)+\left(4x^2y-3,5x^3+7xy^2-y^3\right)$ $=2,5x^3-0,1x^2y+y^3+4x^2y-3,5x^3+7xy^2-y^3$ $=2,5x^3-3,5x^3-0,1x^2y+4x^2y+y^3-y^3+7xy^2$ $=\left(2,5x^3-3,5x^3\right)-\left(0,1x^2y-4x^2y\right)+\left(y^3-y^3\right)+7xy^2$ $=-x^3-\left(-3,9x^2y\right)+0+7xy^2$ $=-x^3+3,9x^2y+7xy^2$

Các hạng tử của $M+N$ gồm:

+) $-x^3$ có bậc $3.$

+) $3,9x^2y$ có bậc $2+1=3.$

+) $7xy^2$ có bậc $1+2=3.$

Do đó $M+N$ có bậc $3.$

b) $M-N$ $=\left(2,5x^3-0,1x^2y+y^3\right)-\left(4x^2y-3,5x^3+7xy^2-y^3\right)$ $=2,5x^3-0,1x^2y+y^3-4x^2y+3,5x^3-7xy^2+y^3$ $=2,5x^3+3,5x^3-0,1x^2y-4x^2y+y^3+y^3-7xy^2$ $=\left(2,5x^3+3,5x^3\right)-\left(0,1x^2y+4x^2y\right)+\left(y^3+y^3\right)-7xy^2$ $=6x^3-4,1x^2y+2y^3-7xy^2$

Các hạng tử của $M-N$ đều có bậc $3$ nên $M-N$ có bậc $3.$

a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức:

+) $A=-2xy^2+3xy+5xy^2+5xy+1-7x^2-3y^2-2x^2+y^2$ $=-2xy^2+5xy^2+3xy+5xy+1-7x^2-2x^2-3y^2+y^2$ $=(-2xy^2+5xy^2)+(3xy+5xy)+1-(7x^2+2x^2)-(3y^2-y^2)$ $=3xy^2+8xy+1-9x^2-2y^2$ $=3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1.$

$\Rightarrow$ Đa thức $A$ có bậc $3.$

+) $B=5x^2+xy-x^2-2y^2$ $=5x^2-x^2+xy-2y^2$ $=(5x^2-x^2)+xy-2y^2$ $=4x^2+xy-2y^2.$

$\Rightarrow$ Đa thức $B$ có bậc $2.$

b) Thay $x=\dfrac{-1}{2},$ $y=-1$ vào $A=3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1,$ ta được: $A=3\cdot\dfrac{-1}{2}\cdot(-1)^2+8\cdot\dfrac{-1}{2}\cdot(-1)-9\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2-2\cdot(-1)^2+1$ $=\dfrac{-3}{2}+4-\dfrac{9}{4}-2+1$ $=\dfrac{-3}{2}-\dfrac{9}{4}+4-2+1$ $=\left(\dfrac{-3}{2}-\dfrac{9}{4}\right)+(4-2+1)$ $=\left(\dfrac{-6}{4}-\dfrac{9}{4}\right)+1$ $=\dfrac{-15}{4}+1$ $=\dfrac{-11}{4}.$

c)

+) $C=A+B$ $=(3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1)+(4x^2+xy-2y^2)$ $=3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1+4x^2+xy-2y^2$ $=3xy^2+8xy+xy-9x^2+4x^2-2y^2-2y^2+1$ $=3xy^2+(8xy+xy)-(9x^2-4x^2)-(2y^2+2y^2)+1$ $=3xy^2+9xy-5x^2-4y^2+1.$

+) $D=A-B$ $=(3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1)-(4x^2+xy-2y^2)$ $=3xy^2+8xy-9x^2-2y^2+1-4x^2-xy+2y^2$ $=3xy^2+8xy-xy-9x^2-4x^2-2y^2+2y^2+1$ $=3xy^2+(8xy-xy)-(9x^2+4x^2)-(2y^2-2y^2)+1$ $=3xy^2+7xy-13x^2-0+1$ $=3xy^2+7xy-13x^2+1.$

d) Thay $x=-1,$ $y=\dfrac{-1}{2}$ vào $C=3xy^2+9xy-5x^2-4y^2+1,$ ta được: $C=3\cdot (-1)\cdot\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+9\cdot(-1)\cdot\dfrac{-1}{2}-5\cdot(-1)^2-4\cdot\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+1$ $=\dfrac{-3}{4}+\dfrac{9}{2}-5-1+1$ $=\dfrac{-3}{4}+\dfrac{18}{4}-5-1+1$ $=\dfrac{15}{4}-5$ $=\dfrac{-5}{4}.$

Thu gọn $Q=2xy-(xy-x+5)$ $=2xy-xy+x-5$ $=xy+x-5.$

+) Tính tổng: $P+Q$ $=(xy-x+1)+(xy+x-5)$ $=xy-x+1+xy+x-5$ $=xy+xy-x+x+1-5$ $=(xy+xy)-(x-x)+(1-5)$ $=2xy-0+(-4)$ $=2xy-4.$

+) Tính hiệu: $P-Q$ $=(xy-x+1)-(xy+x-5)$ $=xy-x+1-xy-x+5$ $=xy-xy-x-x+1+5$ $=(xy-xy)-(x+x)+(1+5)$ $=0-2x+6$ $=-2x+6.$

$M+N$ $=(2x^2+4xy-4y^2)+(3x^2-2xy+2y^2)$ $=2x^2+4xy-4y^2+3x^2-2xy+2y^2$ $=2x^2+3x^2+4xy-2xy-4y^2+2y^2$ $=(2x^2+3x^2)+(4xy-2xy)-(4y^2-2y^2)$ $=5x^2+2xy-2y^2.$

Thay $x=1,$ $y=-2$ vào $M+N=5x^2+2xy-2y^2,$ ta được: $M+N=5\cdot 1^2+2\cdot 1\cdot (-2)-2\cdot(-2)^2$ $=5-4-8$ $=-7.$

Vậy tại $x=1,$ $y=-2$ thì $M+N=-7.$

a) $M+(5x^2-2xy)=6x^2+9xy-y^2.$

$M=(6x^2+9xy-y^2)-(5x^2-2xy)$ $=6x^2+9xy-y^2-5x^2+2xy$ $=x^2+11xy-y^2.$

Vậy $M=x^2+11xy-y^2.$

b) $\left(\dfrac{1}{2}xy^2+x^2-x^2y\right)-M=-xy^2+x^2y+1.$

$M=\left(\dfrac{1}{2}xy^2+x^2-x^2y\right)-\left(-xy^2+x^2y+1\right)$ $=\dfrac{1}{2}xy^2+x^2-x^2y+xy^2-x^2y-1$ $=\dfrac{3}{2}xy^2+x^2-2x^2y-1.$

Vậy $M=\dfrac{3}{2}xy^2+x^2-2x^2y-1.$

c) $M-\left(x^3y^2-x^2y+xy\right)=2x^3y^2-\dfrac{3}{2}xy.$

$M=\left(2x^3y^2-\dfrac{3}{2}xy\right)+\left(x^3y^2-x^2y+xy\right)$ $=2x^3y^2-\dfrac{3}{2}xy+x^3y^2-x^2y+xy$ $=3x^3y^2-\dfrac{1}{2}xy-x^2y.$

Vậy $M=3x^3y^2-\dfrac{1}{2}xy-x^2y.$

$Q-N=2y^4+x^2y+xy^2$ nên $N=Q-\left(2y^4+x^2y+xy^2\right)$ $=\left(3xy^2-2xy+x^2y-2y^4\right)-\left(2y^4+x^2y+xy^2\right)$ $=3xy^2-2xy+x^2y-2y^4-2y^4-x^2y-xy^2$ $=2xy^2-2xy-4y^4.$

Vậy $N=2xy^2-2xy-4y^4.$

a) Đa thức biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ nhất sau khi hết kỳ hạn $1$ năm: $90+90\cdot\dfrac{x}{100}$ $=90+\dfrac{9}{10}x.$

b) Đa thức biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ hai sau khi hết kỳ hạn $1$ năm: $80+80\cdot\dfrac{y}{100}$ $=80+\dfrac{4}{5}y.$

c) Đa thức biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở cả hai ngân hàng sau khi hết kỳ hạn $1$ năm: $\left(90+\dfrac{9}{10}x\right)+\left(80+\dfrac{4}{5}y\right)$ $=170+\dfrac{9}{10}x+\dfrac{4}{5}y.$

d) Lãi suất ở ngân hàng thứ hai chỉ bằng $\dfrac{4}{5}$ lãi suất ở ngân hàng thứ nhất nên $y=\dfrac{4}{5}x.$ $\Rightarrow$ Số tiền lãi có được ở ngân hàng thứ hai là $t_2=80\cdot\dfrac{y}{100}$ $=\dfrac{4}{5}y$ $=\dfrac{4}{5}\left(\dfrac{4}{5}x\right)$ $=\dfrac{16}{25}x.$

Số tiền lãi có được ở ngân hàng thứ nhất là $t_1=90\cdot\dfrac{x}{100}$ $=\dfrac{9}{10}x.$

Ta có: $t_2\;:\;t_1=\left(\dfrac{16}{25}x\right)\;:\;\left(\dfrac{9}{10}x\right)$ $=\dfrac{16}{25}\;:\;\dfrac{9}{10}$ $=\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{10}{9}$ $=\dfrac{32}{45}.$

Vậy số tiền lãi bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ hai gấp $\dfrac{32}{45}$ lần số tiền lãi có được ở ngân hàng thứ nhất.

a) Thể tích nước tối đa mà chiếc bình đó có thể chứa được bằng với thể tích của chiếc bình đó, tức là bằng: $x^3\;(cm^3).$

Đa thức biểu thị thể tích nước tối đa mà chiếc bình đó có thể chứa được là $x^3.$

b) Thể tích nước đang có trong bình là: $x^2h\;(cm^3).$

$\Rightarrow$ Thể tích phần không có nước là: $x^3-x^2h\;(cm^3).$

Đa thức biểu thị thể tích phần không có nước trong bình là: $x^3-x^2h.$

a) $S=2x+2y\;(km/h).$

b) Tại $x=12, y=9$ thì $S=2\cdot 12+2\cdot 9=42.$

c) Người xuất phát từ $B$ đi nhanh gấp đôi người xuất phát từ $A$ nên $y=2x.$ Suy ra $S=2x+2y=2x+2\cdot 2x=6x.$

Thời gian người xuất phát từ $A$ đi hết quãng đường $AB$ là: $t=S\;:\;v=6x\;:\;x=6\;(h).$

Ta có: $\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$ $=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)$ $=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b$ $=100(a+b+c)+10(a+b+c)+(a+b+c)$ $=111(a+b+c).$

Do $111\;\vdots\;37$ nên $111(a+b+c)\;\vdots\;37.$

Vậy $\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$ chia hết cho $37.$

Xét $A+B+C$ $=(3a-5b)+(7b-9c)+(11c-13a)$ $=3a-5b+7b-9c+11c-13a$ $=(3a-13a)+(-5b+7b)+(-9c+11c)$ $=-10a+2b+2c$ $=2\cdot (-5a+b+c)\;\vdots\;2.$

Suy ra $A+B+C$ là số chẵn.

Suy ra trong ba số $A, B, C$ phải có ít nhất một số chẵn (vì nếu cả ba số đều là số lẻ thì tổng $A+B+C$ là số lẻ).

Do đó, tích $A\cdot B\cdot C$ là số chẵn.

a) Gọi $5$ số nguyên liên tiếp là $n-2,$ $n-1,$ $n,$ $n+1,$ $n+2$ $(n\in\mathbb{Z}).$

Tổng của $5$ số đó bằng $5n,$ chia hết cho $5.$

b) Gọi $2k+1$ số nguyên liên tiếp là $n-k,$ $n-k+1,…,$ $n-1,$ $n,$ $n+1,…,$ $n+k-1,$ $n+k$ $(n\in\mathbb{Z}).$

Tổng của $2k+1$ số đó bằng $(2k+1)n$ chia hết cho $2k+1.$