Bài tập TOÁN 8 (CT mới) – Chuyên đề ĐƠN THỨC.

+) $-y$ là đơn thức.

+) $4$ là đơn thức.

+) $7x+2y$ không phải là đơn thức vì chứa phép cộng.

+) $3x^2y$ là đơn thức.

+) $2x\sqrt{y}$ không phải là đơn thức vì chứa $\sqrt{y}.$

+) $\dfrac{x}{y}$ không phải là đơn thức vì là một tỷ số.

+) $1,5yx^8$ là đơn thức.

a) CÓ. Vì mỗi biến $x, y, z$ chỉ được viết một lần (không lặp lại).

b) KHÔNG. Vì mỗi biến $x, y$ được viết đến hai lần.

c) KHÔNG. Vì $3x+y$ không phải là đơn thức, nên không thể là đơn thức thu gọn được.

+) $3xyxy=3(xx)(yy)=3x^2y^2.$ Hệ số là $3,$ phần biến là $x^2y^2,$ bậc là $2+2=4.$

+) $2x(-4)yx^2=[2\cdot (-4)](xx^2)y=-8x^3y.$ Hệ số là $-8,$ phần biến là $x^3y,$ bậc là $3+1=4.$

+) $7xyz\left(\dfrac{6}{7}yx^2\right)=\left(7\cdot \dfrac{6}{7}\right)(xx^2)(yy)z=6x^3y^2z.$ Hệ số là $6,$ phần biến là $x^3y^2z,$ bậc là $3+2+1=6.$

+) $x^2y (-1,3)xy^2=(-1,3)(x^2x)(yy^2)=-1,3x^3y^3.$ Hệ số là $-1,3,$ phần biến là $x^3y^3,$ bậc là $3+3=6.$

a) Khi $x=-2$ và $y=2$ thì:

$A=5\cdot (-2)^2\cdot 2^3=5\cdot 4\cdot 8=160.$

b) Khi $x=2,$ $y=9$ và $z=1$ thì:

$B=\dfrac{1}{8}\cdot 2^3\cdot 9\cdot (-1)^3=\dfrac{1}{8}\cdot 8\cdot 9\cdot (-1)=-9.$

a) $x^2y$ và $-\dfrac{2}{5}x^2y$ đồng dạng vì phần biến giống nhau (đều là $x^2y).$

b) $\dfrac{7}{3}xy^5$ và $\dfrac{3}{7}x^5y$ không đồng dạng vì phần biến khác nhau $(xy^5$ khác $x^5y).$

c) $7xy^2z;$ $-xy^2z$ và $\sqrt{3}xy^2z$ đồng dạng vì phần biến của ba đơn thức giống nhau (đều là $xy^2z).$

a) $2x^2y + 18x^2y$ $=(2+18)x^2y$ $=20x^2y.$

b) $15xyz^2-5xyz^2+xyz^2$ $=(15-5+1)xyz^2$ $=11xyz^2.$

c) $x^2y^7-\dfrac{2}{3}x^2y^7$ $=\left(1-\dfrac{2}{3}\right)x^2y^7$ $=\dfrac{1}{3}x^2y^7.$

Hình chữ nhật có chiều rộng là $a$ mét và chiều dài là $b$ mét nên diện tích của nó là $ab$ mét vuông.

Vậy biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật đó là $ab.$

Biểu thức đó là một đơn thức (với biến là $a$ và $b).$

Các đơn thức là: $x\sqrt{17};$ $0;$ $z2x^2y;$ $\left(\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\right)x^2z;$ $4am^{2023}.$

Các biểu thức còn lại không phải là đơn thức.

+) $(x+1)y^2=xy^2+y^2$ không phải là đơn thức vì chứa phép toán cộng.

+) $\dfrac{2x}{y}$ không phải là đơn thức vì có dạng tỷ số.

+) $6x\sqrt{y}z^5$ không phải là đơn thức vì chứa $\sqrt{y}.$

a) $A=\dfrac{1}{2}xy^5\cdot (-6x^2yz)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot (-6)\cdot (xx^2)(y^5y)z$ $=-3x^3y^6z.$

Bậc của $A$ là $3+6+1=10.$

b) $B=\left(-\dfrac{1}{3}xy^2\right)^3$ $=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3x^3\left(y^2\right)^3$ $=-\dfrac{1}{27}x^3y^6.$

Bậc của $B$ là $3+6=9.$

c) $C=2x^3y \cdot \left[-\dfrac{1}{2}(-x)y^2\right]$ $=2x^3y\cdot \left[\dfrac{1}{2}xy^2\right]$ $=\left(2\cdot \dfrac{1}{2}\right) \left(x^3x\right) \left(yy^2\right)$ $=x^4y^3.$

Bậc của $C$ là $4+3=7.$

d) $D=\dfrac{12}{35}xyz\cdot \left(xy^3\right)^2\cdot \dfrac{7}{4}z$ $=\dfrac{12}{35}xyz\cdot x^2\left(y^3\right)^2\cdot \dfrac{7}{4}z$ $=\dfrac{12}{35}xyz\cdot x^2y^6\cdot \dfrac{7}{4}z$ $=\left(\dfrac{12}{35}\cdot \dfrac{7}{4}\right)\cdot \left(xx^2\right)\cdot y^6z$ $=\dfrac{3}{5}x^3y^6z.$

Bậc của $D$ là $3+6+1=10.$

a) Các đơn thức thu gọn là $B=-7,123zx$ và $D=(7+\sqrt{7})y.$

Thu gọn các đơn thức còn lại:

+) $A=3x^2y(-2)xy^2$ $=[3\cdot (-2)]\cdot \left(x^2x\right)\cdot \left(yy^2\right)$ $=-6x^3y^3.$

+) $C=(1,5+8,2)xyzxz$ $=(1,5+8,2)(xx)y(zz)$ $=9,7x^2yz^2.$

b) Đơn thức $A=-6x^3y^3$ có hệ số là $-6,$ phần biến là $x^3y^3$ và bậc là $3+3=6.$

Đơn thức $B=-7,123zx$ có hệ số là $-7,123,$ phần biến là $zx$ và bậc là $1+1=2.$

Đơn thức $C=9,7x^2yz^2$ có hệ số là $9,7,$ phần biến là $x^2yz^2$ và bậc là $2+1+2=5.$

Đơn thức $D=(7+\sqrt{7})y$ có hệ số là $(7+\sqrt{7}),$ phần biến là $y$ và bậc là $1.$

Thu gọn: $M=\dfrac{1}{2}x^3y\dfrac{2}{7}x^2$ $=\left(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{7}\right)\cdot \left(x^3x^2\right)\cdot y$ $=\dfrac{1}{2}x^5y.$

Khi $x=\dfrac{-1}{2}$ và $y=14$ thì $M=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{-1}{2}\right)^5\cdot 14$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{-1}{32}\cdot 14$ $=\dfrac{-7}{32}.$

Các nhóm đơn thức đồng dạng là:

+) $2xy^2z; -5xy^2z; \dfrac{1}{2}xy^2z.$

+) $6xy; 3xy; -\dfrac{1}{5}xy.$

+) $-3x^2y; \dfrac{3}{4}x^2y.$

Rút gọn:

$S=\dfrac{1}{9}x^2y^7+\dfrac{5}{6}x^2y^7$ $=\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{6}\right)x^2y^7$

Ta có: $=\dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{6}$ $=\dfrac{2}{18}+\dfrac{15}{18}$ $=\dfrac{17}{18}.$

Vậy $S=\dfrac{17}{18}x^2y^7.$

Tính giá trị:

Khi $x=-3$ và $y=-1$ thì $S=\dfrac{17}{18}\cdot (-3)^2\cdot (-1)^7=\dfrac{17}{18}\cdot 9\cdot (-1)$ $=\dfrac{-17}{2}.$

Chiều rộng là $x.$

Chiều dài gấp hai lần chiều rộng nên chiều dài là $2x.$

Do đó, diện tích của hình chữ nhật là $S=x\cdot (2x)=2x^2.$

Vậy công thức tính diện tích hình chữ nhật đó là $S=2x^2.$

Số tiền lãi bác Hoa có được sau $12$ tháng là $T=a\cdot \dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{100}ax.$

Vậy công thức tính số tiền lãi bác Hoa có được sau $12$ tháng là $T=\dfrac{1}{100}ax.$

a) $D=(-5xy)\cdot (11xy^2)\cdot (x^2y^3)$ $=-55x^4y^6.$

$D$ có hệ số là $-55,$ phần biến là $x^4y^6$ và bậc là $4+6=10.$

b) Vì $4$ và $6$ là số chẵn nên $x^4y^6\geq 0$ (với $x,y$ bất kỳ).

Do đó $-55x^4y^6\leq 0$

Vậy $A\cdot B\cdot C\leq 0$

Suy ra $A, B, C$ không thể cùng có giá trị dương được (vì nếu $A, B, C$ cùng dương thì $A\cdot B\cdot C > 0).$

Vì $A$ và $B$ trái dấu nên $A\cdot B < 0.$

Mà $A\cdot B=(3a^2b^3c)\cdot (-5a^3bc^3)$ $=-15a^5b^4c^4.$

Vậy $-15a^5b^4c^4 < 0$ (1)

Mặt khác, $b^4c^4\geq 0$ với $b, c$ bất kỳ.

Suy ra $-15b^4c^4\leq 0$ với $b, c$ bất kỳ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a^5 > 0.$ (Vì nếu $a^5\leq 0$ thì kết hợp với (2) ta được $-15a^5b^4c^4\geq 0$ trái với (1), vô lý!)

Do đó $a > 0,$ tức $a$ mang dấu dương.

Xét tích của ba đơn thức đã cho:

$(3x^4yz^2)\cdot (-xy^3z^2t)\cdot (6x^5y^4t^3)=-18x^{10}y^8z^4t^4\leq 0$ với mọi $x, y, z, t.$

(Vì $-18<0$ và $x^{10}y^8z^4t^4\geq 0$ với mọi $x, y, z, t).$

Do đó, trong ba đơn thức đã cho phải có ít nhất một đơn thức âm (vì nếu cả ba đơn thức đều không âm thì tích của chúng là số không âm, vô lý!)

a) $5ax^2yz\cdot \left(-8xy^3bz\right)^2$ $=5ax^2yz\cdot (-8)^2x^2\left(y^3\right)^2b^2z^2$ $=5ax^2yz\cdot 64x^2y^6b^2z^2$ $=320ab^2x^4y^7z^3.$

b) $15xy^2z\cdot \left(-\dfrac{4}{3}x^2yz^3\right)^3\cdot 2xy$ $=15xy^2z\cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right)^3\left(x^2\right)^3y^3\left(z^3\right)^3\cdot 2xy$ $=15xy^2z\cdot \dfrac{-64}{27}x^6y^3z^9\cdot 2xy$ $=\dfrac{-640}{9}x^8y^6z^{10}.$

a) Nếu $m$ là biến thì hai đơn thức $A$ và $B$ có phần biến khác nhau $(A$ có phần biến là $m^2x^2y^3z$ còn $B$ có phần biến là $x^2y^3z)$ nên không đồng dạng.

b) Nếu $m$ là hằng số thì hai đơn thức $A$ và $B$ có phần biến giống nhau (đều là $x^2y^3z)$ nên đồng dạng.

c) Khi $m$ là hằng số thì $A$ và $B$ là hai đơn thức đồng dạng (theo câu b), ta có: $C=A-B=(3m^2-12)x^2y^3z.$

d) Để $C=0$ với mọi giá trị $x, y, z$ thì $3m^2-12=0,$ hay $m^2=4.$ Do đó $m=\pm 4.$

Gọi $r$ là bán kính của hình tròn đó.

Hình tròn có chu vi là $p$ nên $p=2\pi r.$

Suy ra $r=\dfrac{p}{2\pi}.$

Do đó, diện tích của hình tròn đó là $S=\pi r^2$ $=\pi\left(\dfrac{p}{2\pi}\right)^2$ $=\pi\dfrac{p^2}{(2\pi)^2}$ $=\pi\dfrac{p^2}{4\pi^2}$ $=\dfrac{p^2}{4\pi}$ $=\dfrac{1}{4\pi}p^2.$

Vậy $S=\dfrac{1}{4\pi}p^2.$

a) Diện tích của mảnh vườn đó là $xy$ (đơn vị là $m^2).$

Biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn là $xy.$

b) Chiều rộng của mảnh vườn mới là $4x.$ Chiều của mảnh vườn mới là $\dfrac{y}{2}.$

Suy ra diện tích của mảnh vườn mới là $4x\cdot \dfrac{y}{2}=2xy$ (đơn vị là $m^2).$

Biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn mới là $2xy.$

c) Phần diện tích lớn hơn của mảnh vườn mới so với mảnh vườn ban đầu là $2xy-xy=xy$ (đơn vị là $m^2).$

Biểu thức biểu diễn phần diện tích lớn hơn của mảnh vườn mới so với mảnh vườn ban đầu là $xy.$

a)

$A=A_1\cdot A_2\cdot A_3…A_{100}$

$\;\;\;=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)x\cdot \left(\dfrac{1}{3}-1\right)x^2\cdot \left(\dfrac{1}{4}-1\right)x^3… \left(\dfrac{1}{101}-1\right)x^{100}$

$\;\;\;=\dfrac{-1}{2}x\cdot \dfrac{-2}{3}x^2\cdot \dfrac{-3}{4}x^3…\dfrac{-100}{101}x^{100}$

$\;\;\;=\left(\dfrac{-1}{2}\cdot \dfrac{-2}{3}\cdot \dfrac{-3}{4}…\dfrac{-100}{101}\right)\cdot \left(xx^2x^3…x^{100}\right)$

$\;\;\;=\dfrac{1}{101}\cdot x^{1+2+3+…+100}$

$\;\;\;=\dfrac{1}{101}\cdot x^{(100+1)\cdot 100:2}$

$\;\;\;=\dfrac{1}{101}\cdot x^{505}.$

b) Ta có: $2014\cdot 2016+2018$ $=2014\cdot 2016+2016+2$ $=(2014+1)\cdot 2016+2$ $=2015\cdot 2016+2.$

Suy ra $x=\dfrac{-2015\cdot 2016-2}{2014\cdot 2016+2018}=\dfrac{-(2015\cdot 2016+2)}{2015\cdot 2016+2}=-1.$

Khi đó, $A=\dfrac{1}{101}\cdot (-1)^{505}=\dfrac{-1}{101}.$