Bài tập TOÁN 8 (CT mới) – Chuyên đề ĐƠN THỨC.

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 8 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG. Mức độ DỄ: BT 1: Chỉ ra các đơn thức trong các biểu thức sau: $-y;$ $4;$ $7x+2y;$ $3x^2y;$ $2x\sqrt{y};$ $\dfrac{x}{y};$ $1,5yx^8.$ BT […]

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 8 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.

Mức độ DỄ:

BT 1: Chỉ ra các đơn thức trong các biểu thức sau: $-y;$ $4;$ $7x+2y;$ $3x^2y;$ $2x\sqrt{y};$ $\dfrac{x}{y};$ $1,5yx^8.$

+) $-y$ là đơn thức.

+) $4$ là đơn thức.

+) $7x+2y$ không phải là đơn thức vì chứa phép cộng.

+) $3x^2y$ là đơn thức.

+) $2x\sqrt{y}$ không phải là đơn thức vì chứa $\sqrt{y}.$

+) $\dfrac{x}{y}$ không phải là đơn thức vì là một tỷ số.

+) $1,5yx^8$ là đơn thức.

BT 2:

a) Biểu thức $3xyz$ có phải là đơn thức thu gọn không?

b) Biểu thức $2x^2yzxy$ có phải là đơn thức thu gọn không?

c) Biểu thức $3x+y$ có phải là đơn thức thu gọn không?

a) CÓ. Vì mỗi biến $x, y, z$ chỉ được viết một lần (không lặp lại).

b) KHÔNG. Vì mỗi biến $x, y$ được viết đến hai lần.

c) KHÔNG. Vì $3x+y$ không phải là đơn thức, nên không thể là đơn thức thu gọn được.

BT 3: Thu gọn các đơn thức sau. Chỉ ra hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức.

$3xyxy;$ $2x(-4)yx^2;$ $7xyz\left(\dfrac{6}{7}yx^2\right);$ $x^2y (-1,3)xy^2.$

+) $3xyxy=3(xx)(yy)=3x^2y^2.$ Hệ số là $3,$ phần biến là $x^2y^2,$ bậc là $2+2=4.$

+) $2x(-4)yx^2=[2\cdot (-4)](xx^2)y=-8x^3y.$ Hệ số là $-8,$ phần biến là $x^3y,$ bậc là $3+1=4.$

+) $7xyz\left(\dfrac{6}{7}yx^2\right)=\left(7\cdot \dfrac{6}{7}\right)(xx^2)(yy)z=6x^3y^2z.$ Hệ số là $6,$ phần biến là $x^3y^2z,$ bậc là $3+2+1=6.$

+) $x^2y (-1,3)xy^2=(-1,3)(x^2x)(yy^2)=-1,3x^3y^3.$ Hệ số là $-1,3,$ phần biến là $x^3y^3,$ bậc là $3+3=6.$

BT 4: Tính giá trị của mỗi đơn thức sau:

a) $A=5x^2y^3$ khi $x=-2;$ $y=2.$

b) $B=\dfrac{1}{8}x^3yz^3$ khi $x=2;$ $y=9;$ $z=-1.$

a) Khi $x=-2$ và $y=2$ thì:

$A=5\cdot (-2)^2\cdot 2^3=5\cdot 4\cdot 8=160.$

b) Khi $x=2,$ $y=9$ và $z=1$ thì:

$B=\dfrac{1}{8}\cdot 2^3\cdot 9\cdot (-1)^3=\dfrac{1}{8}\cdot 8\cdot 9\cdot (-1)=-9.$

BT 5: Các đơn thức trong mỗi trường hợp sau có đồng dạng hay không? Vì sao?

a) $x^2y$ và $-\dfrac{2}{5}x^2y.$

b) $\dfrac{7}{3}xy^5$ và $\dfrac{3}{7}x^5y.$

c) $7xy^2z;$ $-xy^2z$ và $\sqrt{3}xy^2z.$

a) $x^2y$ và $-\dfrac{2}{5}x^2y$ đồng dạng vì phần biến giống nhau (đều là $x^2y).$

b) $\dfrac{7}{3}xy^5$ và $\dfrac{3}{7}x^5y$ không đồng dạng vì phần biến khác nhau $(xy^5$ khác $x^5y).$

c) $7xy^2z;$ $-xy^2z$ và $\sqrt{3}xy^2z$ đồng dạng vì phần biến của ba đơn thức giống nhau (đều là $xy^2z).$

BT 6: Thực hiện phép tính:

a) $2x^2y + 18x^2y.$

b) $15xyz^2-5xyz^2+xyz^2.$

c) $x^2y^7-\dfrac{2}{3}x^2y^7.$

a) $2x^2y + 18x^2y$ $=(2+18)x^2y$ $=20x^2y.$

b) $15xyz^2-5xyz^2+xyz^2$ $=(15-5+1)xyz^2$ $=11xyz^2.$

c) $x^2y^7-\dfrac{2}{3}x^2y^7$ $=\left(1-\dfrac{2}{3}\right)x^2y^7$ $=\dfrac{1}{3}x^2y^7.$

BT 7: Một hình chữ nhật có chiều rộng là $a$ mét và chiều dài là $b$ mét. Viết biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật đó (đơn vị là mét vuông). Biểu thức đó có phải là một đơn thức không?

Hình chữ nhật có chiều rộng là $a$ mét và chiều dài là $b$ mét nên diện tích của nó là $ab$ mét vuông.

Vậy biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật đó là $ab.$

Biểu thức đó là một đơn thức (với biến là $a$ và $b).$

Mức độ TRUNG BÌNH:

BT 8: Chỉ ra các đơn thức trong các biểu thức sau: $x\sqrt{17};$ $0;$ $(x+1)y^2;$ $z2x^2y;$ $\dfrac{2x}{y};$ $6x\sqrt{y}z^5;$ $\left(\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\right)x^2z;$ $4am^{2023}.$

Các đơn thức là: $x\sqrt{17};$ $0;$ $z2x^2y;$ $\left(\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\right)x^2z;$ $4am^{2023}.$

Các biểu thức còn lại không phải là đơn thức.

+) $(x+1)y^2=xy^2+y^2$ không phải là đơn thức vì chứa phép toán cộng.

+) $\dfrac{2x}{y}$ không phải là đơn thức vì có dạng tỷ số.

+) $6x\sqrt{y}z^5$ không phải là đơn thức vì chứa $\sqrt{y}.$

BT 9: Rút gọn các biểu thức sau và xác định bậc của chúng.

a) $A=\dfrac{1}{2}xy^5\cdot \left(-6x^2yz\right).$

b) $B=\left(-\dfrac{1}{3}xy^2\right)^3.$

c) $C=2x^3y \cdot \left[-\dfrac{1}{2}(-x)y^2\right].$

d) $D=\dfrac{12}{35}xyz\cdot \left(xy^3\right)^2\cdot \dfrac{7}{4}z.$

a) $A=\dfrac{1}{2}xy^5\cdot (-6x^2yz)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot (-6)\cdot (xx^2)(y^5y)z$ $=-3x^3y^6z.$

Bậc của $A$ là $3+6+1=10.$

b) $B=\left(-\dfrac{1}{3}xy^2\right)^3$ $=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3x^3\left(y^2\right)^3$ $=-\dfrac{1}{27}x^3y^6.$

Bậc của $B$ là $3+6=9.$

c) $C=2x^3y \cdot \left[-\dfrac{1}{2}(-x)y^2\right]$ $=2x^3y\cdot \left[\dfrac{1}{2}xy^2\right]$ $=\left(2\cdot \dfrac{1}{2}\right) \left(x^3x\right) \left(yy^2\right)$ $=x^4y^3.$

Bậc của $C$ là $4+3=7.$

d) $D=\dfrac{12}{35}xyz\cdot \left(xy^3\right)^2\cdot \dfrac{7}{4}z$ $=\dfrac{12}{35}xyz\cdot x^2\left(y^3\right)^2\cdot \dfrac{7}{4}z$ $=\dfrac{12}{35}xyz\cdot x^2y^6\cdot \dfrac{7}{4}z$ $=\left(\dfrac{12}{35}\cdot \dfrac{7}{4}\right)\cdot \left(xx^2\right)\cdot y^6z$ $=\dfrac{3}{5}x^3y^6z.$

Bậc của $D$ là $3+6+1=10.$

BT 10: Cho các đơn thức: $A=3x^2y(-2)xy^2;$ $B=-7,123zx;$ $C=(1,5+8,2)xyzxz;$ $D=(7+\sqrt{7})y.$

a) Liệt kê các đơn thức thu gọn trong các đơn thức đã cho và thu gọn các đơn thức còn lại.

b) Với mỗi đơn thức nhận được, hãy cho biết hệ số, phần biến và bậc của nó.

a) Các đơn thức thu gọn là $B=-7,123zx$ và $D=(7+\sqrt{7})y.$

Thu gọn các đơn thức còn lại:

+) $A=3x^2y(-2)xy^2$ $=[3\cdot (-2)]\cdot \left(x^2x\right)\cdot \left(yy^2\right)$ $=-6x^3y^3.$

+) $C=(1,5+8,2)xyzxz$ $=(1,5+8,2)(xx)y(zz)$ $=9,7x^2yz^2.$

b) Đơn thức $A=-6x^3y^3$ có hệ số là $-6,$ phần biến là $x^3y^3$ và bậc là $3+3=6.$

Đơn thức $B=-7,123zx$ có hệ số là $-7,123,$ phần biến là $zx$ và bậc là $1+1=2.$

Đơn thức $C=9,7x^2yz^2$ có hệ số là $9,7,$ phần biến là $x^2yz^2$ và bậc là $2+1+2=5.$

Đơn thức $D=(7+\sqrt{7})y$ có hệ số là $(7+\sqrt{7}),$ phần biến là $y$ và bậc là $1.$

BT 11: Thu gọn và tính giá trị của đơn thức $M=\dfrac{1}{2}x^3y\dfrac{2}{7}x^2$ khi $x=\dfrac{-1}{2};$ $y=14.$

Thu gọn: $M=\dfrac{1}{2}x^3y\dfrac{2}{7}x^2$ $=\left(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{7}\right)\cdot \left(x^3x^2\right)\cdot y$ $=\dfrac{1}{2}x^5y.$

Khi $x=\dfrac{-1}{2}$ và $y=14$ thì $M=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{-1}{2}\right)^5\cdot 14$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{-1}{32}\cdot 14$ $=\dfrac{-7}{32}.$

BT 12: Hãy sắp xếp các đơn thức sau theo từng nhóm, mỗi nhóm chứa tất cả các đơn thức đồng dạng với nhau: $2xy^2z;$ $6xy;$ $-3x^2y;$ $-5xy^2z;$ $3xy;$ $\dfrac{3}{4}x^2y;$ $\dfrac{1}{2}xy^2z;$ $-\dfrac{1}{5}xy.$

Các nhóm đơn thức đồng dạng là:

+) $2xy^2z; -5xy^2z; \dfrac{1}{2}xy^2z.$

+) $6xy; 3xy; -\dfrac{1}{5}xy.$

+) $-3x^2y; \dfrac{3}{4}x^2y.$

BT 13: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $S=\dfrac{1}{9}x^2y^7+\dfrac{5}{6}x^2y^7$ khi $x=-3$ và $y=-1.$

Rút gọn:

$S=\dfrac{1}{9}x^2y^7+\dfrac{5}{6}x^2y^7$ $=\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{6}\right)x^2y^7$

Ta có: $=\dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{6}$ $=\dfrac{2}{18}+\dfrac{15}{18}$ $=\dfrac{17}{18}.$

Vậy $S=\dfrac{17}{18}x^2y^7.$

Tính giá trị:

Khi $x=-3$ và $y=-1$ thì $S=\dfrac{17}{18}\cdot (-3)^2\cdot (-1)^7=\dfrac{17}{18}\cdot 9\cdot (-1)$ $=\dfrac{-17}{2}.$

BT 14: Một hình chữ nhật có chiều rộng là $x$ và chiều dài gấp hai lần chiều rộng. Viết công thức tính diện tích $S$ của hình chữ nhật đó theo $x.$

Chiều rộng là $x.$

Chiều dài gấp hai lần chiều rộng nên chiều dài là $2x.$

Do đó, diện tích của hình chữ nhật là $S=x\cdot (2x)=2x^2.$

Vậy công thức tính diện tích hình chữ nhật đó là $S=2x^2.$

BT 15: Bác Hoa gửi tiết kiệm $a$ đồng kỳ hạn $12$ tháng ở một ngân hàng với lãi suất $x$ %/năm. Viết công thức tính số tiền lãi $T$ bác Hoa có được sau $12$ tháng mà không rút tiền ra khỏi ngân hàng.

Số tiền lãi bác Hoa có được sau $12$ tháng là $T=a\cdot \dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{100}ax.$

Vậy công thức tính số tiền lãi bác Hoa có được sau $12$ tháng là $T=\dfrac{1}{100}ax.$

Mức độ KHÓ:

BT 16: Cho các đơn thức: $A=-5xy;$ $B=11xy^2;$ $C=x^2y^3.$

a) Tìm hệ số, phần biến và bậc của $D=A\cdot B\cdot C.$

b) Các đơn thức $A, B, C$ có thể cùng có giá trị dương hay không?

a) $D=(-5xy)\cdot (11xy^2)\cdot (x^2y^3)$ $=-55x^4y^6.$

$D$ có hệ số là $-55,$ phần biến là $x^4y^6$ và bậc là $4+6=10.$

b) Vì $4$ và $6$ là số chẵn nên $x^4y^6\geq 0$ (với $x,y$ bất kỳ).

Do đó $-55x^4y^6\leq 0$

Vậy $A\cdot B\cdot C\leq 0$

Suy ra $A, B, C$ không thể cùng có giá trị dương được (vì nếu $A, B, C$ cùng dương thì $A\cdot B\cdot C > 0).$

BT 17: Cho $A=3a^2b^3c$ và $B=-5a^3bc^3.$ Tìm dấu của $a,$ biết $A$ và $B$ trái dấu.

Vì $A$ và $B$ trái dấu nên $A\cdot B < 0.$

Mà $A\cdot B=(3a^2b^3c)\cdot (-5a^3bc^3)$ $=-15a^5b^4c^4.$

Vậy $-15a^5b^4c^4 < 0$ (1)

Mặt khác, $b^4c^4\geq 0$ với $b, c$ bất kỳ.

Suy ra $-15b^4c^4\leq 0$ với $b, c$ bất kỳ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a^5 > 0.$ (Vì nếu $a^5\leq 0$ thì kết hợp với (2) ta được $-15a^5b^4c^4\geq 0$ trái với (1), vô lý!)

Do đó $a > 0,$ tức $a$ mang dấu dương.

BT 18: Chứng minh rằng trong ba đơn thức $3x^4yz^2,$ $-xy^3z^2t,$ $6x^5y^4t^3$ có ít nhất một đơn thức âm.

Xét tích của ba đơn thức đã cho:

$(3x^4yz^2)\cdot (-xy^3z^2t)\cdot (6x^5y^4t^3)=-18x^{10}y^8z^4t^4\leq 0$ với mọi $x, y, z, t.$

(Vì $-18<0$ và $x^{10}y^8z^4t^4\geq 0$ với mọi $x, y, z, t).$

Do đó, trong ba đơn thức đã cho phải có ít nhất một đơn thức âm (vì nếu cả ba đơn thức đều không âm thì tích của chúng là số không âm, vô lý!)

BT 19: Rút gọn:

a) $5ax^2yz\cdot \left(-8xy^3bz\right)^2.$

b) $15xy^2z\cdot \left(-\dfrac{4}{3}x^2yz^3\right)^3\cdot 2xy.$

a) $5ax^2yz\cdot \left(-8xy^3bz\right)^2$ $=5ax^2yz\cdot (-8)^2x^2\left(y^3\right)^2b^2z^2$ $=5ax^2yz\cdot 64x^2y^6b^2z^2$ $=320ab^2x^4y^7z^3.$

b) $15xy^2z\cdot \left(-\dfrac{4}{3}x^2yz^3\right)^3\cdot 2xy$ $=15xy^2z\cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right)^3\left(x^2\right)^3y^3\left(z^3\right)^3\cdot 2xy$ $=15xy^2z\cdot \dfrac{-64}{27}x^6y^3z^9\cdot 2xy$ $=\dfrac{-640}{9}x^8y^6z^{10}.$

BT 20: Cho $A=3m^2x^2y^3z$ và $B=12x^2y^3z.$

a) Nếu $m$ là biến thì hai đơn thức $A$ và $B$ có đồng dạng không?

b) Nếu $m$ là hằng số thì hai đơn thức $A$ và $B$ có đồng dạng không?

c) Khi $m$ là hằng số, tìm $C=A-B.$

d) Xác định $m$ để $C=0$ với mọi giá trị $x, y, z.$

a) Nếu $m$ là biến thì hai đơn thức $A$ và $B$ có phần biến khác nhau $(A$ có phần biến là $m^2x^2y^3z$ còn $B$ có phần biến là $x^2y^3z)$ nên không đồng dạng.

b) Nếu $m$ là hằng số thì hai đơn thức $A$ và $B$ có phần biến giống nhau (đều là $x^2y^3z)$ nên đồng dạng.

c) Khi $m$ là hằng số thì $A$ và $B$ là hai đơn thức đồng dạng (theo câu b), ta có: $C=A-B=(3m^2-12)x^2y^3z.$

d) Để $C=0$ với mọi giá trị $x, y, z$ thì $3m^2-12=0,$ hay $m^2=4.$ Do đó $m=\pm 4.$

BT 21: Một hình tròn có chu vi là $p.$ Viết công thức tính diện tích $S$ của hình tròn đó theo $p.$

Gọi $r$ là bán kính của hình tròn đó.

Hình tròn có chu vi là $p$ nên $p=2\pi r.$

Suy ra $r=\dfrac{p}{2\pi}.$

Do đó, diện tích của hình tròn đó là $S=\pi r^2$ $=\pi\left(\dfrac{p}{2\pi}\right)^2$ $=\pi\dfrac{p^2}{(2\pi)^2}$ $=\pi\dfrac{p^2}{4\pi^2}$ $=\dfrac{p^2}{4\pi}$ $=\dfrac{1}{4\pi}p^2.$

Vậy $S=\dfrac{1}{4\pi}p^2.$

BT 22: Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là $x\;(m)$ và chiều dài là $y\;(m).$

a) Viết biểu thức biểu thị diện tích của mảnh vườn đó.

b) Nếu tăng chiều rộng $4$ lần và giảm chiều dài $2$ lần thì được mảnh vườn mới. Viết biểu thức biểu thị diện tích của mảnh vườn mới.

c) Phần diện tích lớn hơn của mảnh vườn mới so với mảnh vườn ban đầu có thể biểu thị bởi biểu thức nào? (Viết ở dạng rút gọn nhất)

a) Diện tích của mảnh vườn đó là $xy$ (đơn vị là $m^2).$

Biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn là $xy.$

b) Chiều rộng của mảnh vườn mới là $4x.$ Chiều của mảnh vườn mới là $\dfrac{y}{2}.$

Suy ra diện tích của mảnh vườn mới là $4x\cdot \dfrac{y}{2}=2xy$ (đơn vị là $m^2).$

Biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn mới là $2xy.$

c) Phần diện tích lớn hơn của mảnh vườn mới so với mảnh vườn ban đầu là $2xy-xy=xy$ (đơn vị là $m^2).$

Biểu thức biểu diễn phần diện tích lớn hơn của mảnh vườn mới so với mảnh vườn ban đầu là $xy.$

BT 23: Cho các đơn thức: $A_1=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)x;$ $A_2=\left(\dfrac{1}{3}-1\right)x^2;$ $A_3=\left(\dfrac{1}{4}-1\right)x^3;$ …; $A_{100}=\left(\dfrac{1}{101}-1\right)x^{100}.$

a) Tìm $A=A_1\cdot A_2\cdot A_3…A_{100}.$

b) Tính giá trị của $A$ khi $x=\dfrac{-2015\cdot 2016-2}{2014\cdot 2016+2018}.$

a)

$A=A_1\cdot A_2\cdot A_3…A_{100}$

$\;\;\;=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)x\cdot \left(\dfrac{1}{3}-1\right)x^2\cdot \left(\dfrac{1}{4}-1\right)x^3… \left(\dfrac{1}{101}-1\right)x^{100}$

$\;\;\;=\dfrac{-1}{2}x\cdot \dfrac{-2}{3}x^2\cdot \dfrac{-3}{4}x^3…\dfrac{-100}{101}x^{100}$

$\;\;\;=\left(\dfrac{-1}{2}\cdot \dfrac{-2}{3}\cdot \dfrac{-3}{4}…\dfrac{-100}{101}\right)\cdot \left(xx^2x^3…x^{100}\right)$

$\;\;\;=\dfrac{1}{101}\cdot x^{1+2+3+…+100}$

$\;\;\;=\dfrac{1}{101}\cdot x^{(100+1)\cdot 100:2}$

$\;\;\;=\dfrac{1}{101}\cdot x^{505}.$

b) Ta có: $2014\cdot 2016+2018$ $=2014\cdot 2016+2016+2$ $=(2014+1)\cdot 2016+2$ $=2015\cdot 2016+2.$

Suy ra $x=\dfrac{-2015\cdot 2016-2}{2014\cdot 2016+2018}=\dfrac{-(2015\cdot 2016+2)}{2015\cdot 2016+2}=-1.$

Khi đó, $A=\dfrac{1}{101}\cdot (-1)^{505}=\dfrac{-1}{101}.$

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.