$\S\;$ 1.3. ĐA THỨC. THU GỌN ĐA THỨC.

Đa thức.

Đa thức là tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Chẳng hạn:

+) Biểu thức $xy^2+5x+y$ là một đa thức, nó gồm có ba hạng tử là $xy^2,$ $5x$ và $y.$

+) Biểu thức $x-3y$ có thể đưa về dạng tổng các đơn thức: $x-3y=x+(-3y).$ Do đó, $x-3y$ là một đa thức, nó gồm có hai hạng tử là $x$ và $-3y.$

+) Các biểu thức $\dfrac{3}{x}$ và $\sqrt{x-1}$ đều không phải là đa thức, vì chúng không có dạng tổng của những đơn thức.

Chú ý: Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức (có một hạng tử).

Thu gọn đa thức.

Nếu trong đa thức có các đơn thức đồng dạng thì ta có thể thu gọn đa thức đó bằng cách nhóm và cộng (trừ) các đa thức đồng dạng này (áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng).

Chẳng hạn:

$3xy-x^2-2xy+5x^2$ $=3xy-2xy+5x^2-x^2$ $=(3xy-2xy)+(5x^2-x^2)$ $=xy+4x^2.$

Làm theo cách trên thì cuối cùng ta sẽ được một đa thức thu gọn (đó là đa thức mà trong đó không còn hai đơn thức nào đồng dạng).

Chẳng hạn:

+) $A=xy+4x^2$ là một đa thức thu gọn, vì trong đó không có hai đơn thức nào đồng dạng.

+) $B=4x+5y^3+2x$ không phải là đa thức thu gọn, vì trong đó có hai đơn thức đồng dạng (là $4x$ và $2x).$

Bài tập:

1)- Biểu thức nào dưới đây là đa thức? Hãy chỉ rõ các hạng tử của mỗi đa thức ấy.

$2x-y^2;$ $3+\dfrac{4}{5}xy+x^4;$ $x^3+\sqrt{xy};$ $3y+\dfrac{2}{y};$ $\sqrt{5}x-y;$ $\dfrac{7}{9}x^2y^5;$ $2023.$

2)- Bà Khanh mua $x$ hộp sữa và $y$ hộp kẹo. Biết mỗi hộp sữa có giá $19\;000$ đồng và mỗi hộp kẹo có giá $32\;000$ đồng.

a) Viết biểu thức $T$ thể hiện số tiền bà Khanh phải trả (đơn vị: đồng) để mua số sữa và kẹo vừa nêu.

b) Biểu thức $T$ có phải là đa thức không? Nếu phải, hãy liệt kê các hạng tử của nó.

3)- Đa thức sau đã là đa thức thu gọn chưa? Nếu chưa, hãy thu gọn nó.

$x^2y-\dfrac{1}{3}y-\dfrac{2}{3}x^2yz^5+8x^2y+\dfrac{2}{3}x^2yz^5.$

4)- Rút gọn biểu thức sau: $M=x^2+0,5yz-7x^2+\sqrt{2}xz-8yz.$

(Chú ý rằng “rút gọn” và “thu gọn” có cùng một nghĩa.)

Giải:

1)- Các đa thức là: $2x-y^2;$ $3+\dfrac{4}{5}xy+x^4;$ $\sqrt{5}x-y;$ $\dfrac{7}{9}x^2y^5;$ $2023.$ Các biểu thức còn lại không phải là đa thức.

+) Đa thức $2x-y^2$ gồm các hạng tử là $2x$ và $-y^2.$

+) Đa thức $3+\dfrac{4}{5}xy+x^4$ gồm các hạng tử là $3;$ $\dfrac{4}{5}xy$ và $x^4.$

+) Đa thức $\sqrt{5}x-y$ gồm các hạng tử là $\sqrt{5}x$ và $-y.$

+) Đa thức $\dfrac{7}{9}x^2y^5$ có một hạng tử là $\dfrac{7}{9}x^2y^5.$

+) Đa thức $2023$ có một hạng tử là $2023.$

2)-

a) $T=19\;000x+32\;000y$ (đồng).

b) Biểu thức $T$ là đa thức, gồm các hạng tử là $19\;000x$ và $32\;000y.$

3)- Đa thức đã cho chưa phải là đa thức thu gọn. Ta thu gọn nó như sau:

$x^2y-\dfrac{1}{3}y-\dfrac{2}{3}x^2yz^5+8x^2y+\dfrac{2}{3}x^2yz^5$ $=x^2y+8x^2y-\dfrac{1}{3}y-\dfrac{2}{3}x^2yz^5+\dfrac{2}{3}x^2yz^5$ $=(x^2y+8x^2y)-\dfrac{1}{3}y+\left(-\dfrac{2}{3}x^2yz^5+\dfrac{2}{3}x^2yz^5\right)$ $=9x^2y-\dfrac{1}{3}y+0$ $=9x^2y-\dfrac{1}{3}y.$

4)- $M=x^2+0,5yz-7x^2+\sqrt{2}xz-8yz$ $=x^2-7x^2+0,5yz-8yz+\sqrt{2}xz$ $=(x^2-7x^2)+(0,5yz-8yz)+\sqrt{2}xz$ $=-6x^2+(-7,5yz)+\sqrt{2}xz$ $=-6x^2-7,5yz+\sqrt{2}xz.$