$\S\;$ 1.5. PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ ĐA THỨC.

Phép cộng, phép trừ đa thức.

Để cộng, trừ hai đa thức, ta áp dụng quy tắc dấu ngoặc đã học. Nhắc lại:

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu $+$ đằng trước, ta giữ nguyên dấu các số hạng (hạng tử) bên trong dấu ngoặc.
• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu $-$ đằng trước, ta đổi dấu các số hạng (hạng tử) bên trong dấu ngoặc.

Chẳng hạn:

$(3x+2xy^2)-(5x-3xy^2)$ $=3x+2xy^2-5x+3xy^2.$

Sau khi phá bỏ dấu ngoặc, ta thu gọn đa thức nhận được:

$3x+2xy^2-5x+3xy^2$ $=3x-5x+2xy^2+3xy^2$ $=(3x-5x)+(2xy^2+3xy^2)$ $=-2x+5xy^2.$

Chú ý: Tương tự như đối với các số, phép cộng đa thức cũng có tính chất giao hoán và kết hợp. Tức là, với $A,B,C$ là các đa thức, ta luôn có: $A+B=B+A$ và $A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C.$

Mối liên hệ giữa phép cộng và phép trừ đa thức.

Với $A,B,C$ là các đa thức:

+) Nếu $A-B=C$ thì $A=B+C$ và $B=A-C.$

+) Nếu $A=B+C$ thì $B=A-C$ và $C=A-B.$

Bài tập:

1)- Cho hai đa thức: $M=2,5x^3-0,1x^2y+y^3$ và $N=4x^2y-3,5x^3+7xy^2-y^3.$

Hãy tính các tổng và hiệu sau: $M+N,$ $N+M,$ $M-N,$ $N-M.$

2)- Rút gọn biểu thức:

a) $(x+5y)-(y+5z)-(z+5x).$

b) $(x-y)+(y-z)+(z-x).$

3)- Cho hai đa thức: $P=2x^2+4xy-4y^2$ và $Q=3x^2-2xy+2y^2.$

a) Tính giá trị của đa thức $P+Q$ tại $x=1, y=-2.$

b) Tính giá trị của đa thức $P-Q$ tại $x=0, y=\dfrac{3}{2}.$

4)- Cho đa thức $Q=3xy^2-2xy+x^2y-2y^4.$ Tìm đa thức $N$ thỏa mãn: $Q-N=2y^4+x^2y+xy^2.$

5)- Tìm đa thức $M,$ biết: $\dfrac{1}{2}xy^2+x^2-x^2y-M=-xy^2+x^2y+1.$

6)- Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ nhất $90$ triệu đồng với kỳ hạn $1$ năm, lãi suất $x$ %/năm. Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ hai $80$ triệu đồng với kỳ hạn $1$ năm, lãi suất $y$ %/năm.

a) Viết đa thức $T_1$ biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ nhất sau khi hết kỳ hạn $1$ năm.

b) Viết đa thức $T_2$ biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ hai sau khi hết kỳ hạn $1$ năm.

c) Viết đa thức $T$ biểu thị số tiền cả gốc và lãi bác Ngọc có được ở cả hai ngân hàng sau khi hết kỳ hạn $1$ năm.

Giải:

1)-

+) $M+N$ $=(2,5x^3-0,1x^2y+y^3)+(4x^2y-3,5x^3+7xy^2-y^3)$ $=2,5x^3-0,1x^2y+y^3+4x^2y-3,5x^3+7xy^2-y^3$ $=2,5x^3-3,5x^3-0,1x^2y+4x^2y+y^3-y^3+7xy^2$ $=(2,5x^3-3,5x^3)+(-0,1x^2y+4x^2y)+(y^3-y^3)+7xy^2$ $=-x^3+3,9x^2y+0+7xy^2$ $=-x^3+3,9x^2y+7xy^2.$

+) $N+M=M+N$ $=-x^3+3,9x^2y+7xy^2.$

+) $M-N$ $=(2,5x^3-0,1x^2y+y^3)-(4x^2y-3,5x^3+7xy^2-y^3)$ $=2,5x^3-0,1x^2y+y^3-4x^2y+3,5x^3-7xy^2+y^3$ $=2,5x^3+3,5x^3-0,1x^2y-4x^2y+y^3+y^3-7xy^2$ $=(2,5x^3+3,5x^3)+(-0,1x^2y-4x^2y)+(y^3+y^3)-7xy^2$ $=6x^3-4,1x^2y+2y^3-7xy^2.$

+) $N-M=-(M-N)$ $=-6x^3+4,1x^2y-2y^3+7xy^2.$

2)-

a) $(x+5y)-(y+5z)-(z+5x)$ $=x+5y-y-5z-z-5x$ $=x-5x+5y-y-5z-z$ $=(x-5x)+(5y-y)+(-5z-z)$ $=-4x+4y-6z.$

b) $(x-y)+(y-z)+(z-x)$ $=x-y+y-z+z-x$ $=x-x-y+y-z+z$ $=(x-x)+(-y+y)+(-z+z)$ $=0+0+0=0.$

3)-

a) Ta có: $P+Q$ $=(2x^2+4xy-4y^2)+(3x^2-2xy+2y^2)$ $=2x^2+4xy-4y^2+3x^2-2xy+2y^2$ $=2x^2+3x^2+4xy-2xy-4y^2+2y^2$ $=(2x^2+3x^2)+(4xy-2xy)+(-4y^2+2y^2)$ $=5x^2+2xy-2y^2.$

Thay $x=1, y=-2$ vào $P+Q=5x^2+2xy-2y^2,$ ta được: $P+Q=5\cdot 1^2+2\cdot 1\cdot (-2)-2\cdot(-2)^2$ $=5\cdot 1+(-4)-2\cdot 4$ $=5-4-8$ $=-7.$

Vậy tại $x=1, y=-2$ thì $P+Q=-7.$

b) Ta có: $P-Q$ $=(2x^2+4xy-4y^2)-(3x^2-2xy+2y^2)$ $=2x^2+4xy-4y^2-3x^2+2xy-2y^2$ $=2x^2-3x^2+4xy+2xy-4y^2-2y^2$ $=(2x^2-3x^2)+(4xy+2xy)+(-4y^2-2y^2)$ $=-x^2+6xy-6y^2.$

Thay $x=0, y=\dfrac{3}{2}$ vào $P-Q=-x^2+6xy-6y^2,$ ta được: $P-Q=-0^2+6\cdot 0\cdot \dfrac{3}{2}-6\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ $=0+0-6\cdot \dfrac{9}{4}$ $=-\dfrac{27}{2}.$

Vậy tại $x=0, y=\dfrac{3}{2}$ thì $P-Q=-\dfrac{27}{2}.$

4)- Do $Q-N=2y^4+x^2y+xy^2$ nên $Q-2y^4-x^2y-xy^2=N,$ hay $N=Q-2y^4-x^2y-xy^2$ $=3xy^2-2xy+x^2y-2y^4-2y^4-x^2y-xy^2$ $=3xy^2-xy^2-2xy+x^2y-x^2y-2y^4-2y^4$ $=(3xy^2-xy^2)-2xy+(x^2y-x^2y)+(-2y^4-2y^4)$ $=2xy^2-2xy+0-4y^4$ $=2xy^2-2xy-4y^4.$

Vậy $N=2xy^2-2xy-4y^4.$

5)- $M=\dfrac{1}{2}xy^2+x^2-x^2y+xy^2-x^2y-1$ $=\dfrac{1}{2}xy^2+xy^2+x^2-x^2y-x^2y-1$ $=\left(\dfrac{1}{2}xy^2+xy^2\right)+x^2+(-x^2y-x^2y)-1$ $=\dfrac{3}{2}xy^2+x^2-2x^2y-1.$

6)-

a) $T_1=90+90\cdot \dfrac{x}{100}=90+\dfrac{9}{10}x.$

b) $T_2=80+80\cdot\dfrac{y}{100}=80+\dfrac{4}{5}y.$

c) $T=T_1+T_2$ $=\left(90+\dfrac{9}{10}x\right)+\left(80+\dfrac{4}{5}y\right)$ $=170+\dfrac{9}{10}x+\dfrac{4}{5}y.$