$\S\;$ 1.6. PHÉP NHÂN ĐA THỨC.

Nhân hai đơn thức.

Để nhân hai đơn thức, ta áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân (tương tự như khi thu gọn đơn thức).

Chẳng hạn:

$(3xy^2)\cdot(-4x^2y)$ $=[3\cdot(-4)](x\cdot x^2)(y^2\cdot y)$ $=-12x^3y^3.$

Nhân đơn thức với đa thức.

Để nhân đơn thức với đa thức, ta áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Theo đó, ta lấy đơn thức nhân với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

Chẳng hạn:

$(5xy)\cdot(4x^2+x-2)$ $=(5xy)\cdot(4x^2)+(5xy)\cdot(x)+(5xy)\cdot(-2)$ $=20x^3y+5x^2y-10xy.$

Nhân đa thức với đa thức.

Để nhân đa thức với đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả lại với nhau.

Chẳng hạn:

$(2x-y)(3x+5y)$ $=(2x)(3x)+(2x)(5y)+(-y)(3x)+(-y)(5y)$ $=6x^2+10xy-3xy-5y^2$ $=6x^2+(10xy-3xy)-5y^2$ $=6x^2+7xy-5y^2.$

Bài tập:

1)- Thực hiện các phép tính sau:

a) $\left(4y^5-10xy-\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{3}{4}x^8\right).$

b) $-\dfrac{1}{2}xy^2\left(4x-\dfrac{2}{3}y+12\right).$

c) $(x-y)(x^2+xy+y^2).$

d) $(0,5x-xy+y)(x-2y).$

2)- Thu gọn biểu thức sau: $M=(x+y)(1-y)+(x-y)(1+y)+2y^2.$

3)- Rút gọn biểu thức sau để chứng minh rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến: $N=(2x+1)(y-2)-y(1+2x)+(x+1)\cdot 4.$

4)- Hình chữ nhật $N_1$ có độ dài hai cạnh là $x$ và $y$ (đơn vị độ dài). Nếu tăng cả hai cạnh của hình chữ nhật đó thêm $2$ đơn vị thì được hình chữ nhật $N_2.$

a) Viết các biểu thức $S_1, S_2$ lần lượt biểu thị diện tích của các hình chữ nhật $N_1, N_2.$

b) Tính giá trị của mỗi biểu thức $S_1, S_2$ tại $x=2, y=3.$

c) Biết rằng hình chữ nhật $N_1$ có chu vi bằng $5$ đơn vị độ dài. Tính $S_2-S_1.$

Giải:

1)-

a) $\left(4y^5-10xy-\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{3}{4}x^8\right)$ $=(4y^5)\left(\dfrac{3}{4}x^8\right)+(-10xy)\left(\dfrac{3}{4}x^8\right)+\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{3}{4}x^8\right)$ $=3x^8y^5-\dfrac{15}{2}x^9y+\dfrac{1}{2}x^8.$

b) $-\dfrac{1}{2}xy^2\left(4x-\dfrac{2}{3}y+12\right)$ $=\left(-\dfrac{1}{2}xy^2\right)(4x)+\left(-\dfrac{1}{2}xy^2\right)\left(-\dfrac{2}{3}y\right)+\left(-\dfrac{1}{2}xy^2\right)(12)$ $=-2x^2y^2+\dfrac{1}{3}xy^3-6xy^2.$

c) $(x-y)(x^2+xy+y^2)$ $=(x)(x^2)+(x)(xy)+(x)(y^2)+(-y)(x^2)+(-y)(xy)+(-y)(y^2)$ $=x^3+x^2y+xy^2-x^2y-xy^2-y^3$ $=x^3-y^3.$

d) $(0,5x-xy+y)(x-2y)$ $=(0,5x)(x)+(0,5x)(-2y)+(-xy)(x)+(-xy)(-2y)+(y)(x)+(y)(-2y)$ $=0,5x^2-xy-x^2y+2xy^2+xy-2y^2$ $=0,5x^2-x^2y+2xy^2-2y^2.$

2)- $M=(x+y)(1-y)+(x-y)(1+y)+2y^2$ $=(x-xy+y-y^2)+(x+xy-y-y^2)+2y^2$ $=x-xy+y-y^2+x+xy-y-y^2+2y^2$ $=(x+x)+(-xy+xy)+(y-y)+(-y^2-y^2+2y^2)$ $=2x+0+0+0=2x.$

3)- Ta có: $N=(2x+1)(y-2)-y(1+2x)+(x+1)\cdot 4$ $=(2xy-4x+y-2)-(y+2xy)+(4x+4)$ $=2xy-4x+y-2-y-2xy+4x+4$ $=(2xy-2xy)+(-4x+4x)+(y-y)+(-2+4)$ $=0+0+0+2$ $=2.$

Vậy giá trị của $N$ luôn bằng $2$ và không phụ thuộc vào giá trị của biến.

4)-

a) $S_1=xy,$ $S_2=(x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4.$

b) Tại $x=2, y=3$ thì $S_1=2\cdot 3=6$ và $S_2=2\cdot 3+2\cdot 2+2\cdot 3+4=20.$

c) Biết rằng hình chữ nhật $N_1$ có chu vi bằng $5$ đơn vị độ dài.

Ta có: $S_2-S_1$ $=(xy+2x+2y+4)-(xy)$ $=xy+2x+2y+4-xy$ $=2x+2y+4$ $=2(x+y)+4.$

Mặt khác, hình chữ nhật $N_1$ có chu vi bằng $5$ nên: $2(x+y)=5.$

Vậy $S_2-S_1=5+4=9.$