$\S\;$ 1.7. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC.

Khái niệm.

Với $A, B$ là các đa thức $(B\neq 0),$ nếu có đa thức $Q$ sao cho $A=B\cdot Q$ thì ta có phép chia hết $A\;:\;B=Q.$ Tương tự như đối với các số, ta gọi $A, B, Q$ lần lượt là đa thức bị chia, đa thức chia và đa thức thương (gọi tắt là thương).

Chẳng hạn:

+) Ta có $(2x)\cdot(4xy)=8x^2y,$ nên $(8x^2y)\;:\;(2x)=4xy.$

+) Ta có $(xy)\cdot(2y-1)=2xy^2-xy,$ nên $(2xy^2-xy)\;:\;(xy)=2y-1.$

Chia đơn thức cho đơn thức.

Để chia đơn thức $A=35x^3y^4z^2$ cho đơn thức $B=7xy^4,$ ta có thể làm như sau:

$A\;:\;B=(35x^3y^4z^2)\;:\;(7xy^4)$ $=(35\;:\;7)(x^3\;:\;x)(y^4\;:\;y^4)z^2$ $=5x^2\cdot 1\cdot z^2$ $=5x^2z^2.$

Theo đó, nếu đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B,$ ta có thể thực hiện phép chia như sau:

• Chia hệ số của $A$ cho hệ số của $B.$
• Chia lũy thừa của từng biến trong $A$ cho lũy thừa của cùng biến đó trong $B.$
• Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Lưu ý: Đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ khi mỗi biến của $B$ đều là biến của $A$ với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong $A.$

Chia đa thức cho đơn thức.

Để chia đa thức $M=6xy+4y^2$ cho đơn thức $N=2y,$ ta có thể làm như sau:

$M\;:\;N=(6xy+4y^2)\;:\;(2y)$ $=(6xy)\;:\;(2y)+(4y^2)\;:\;(2y)$ $=3x+2y.$

Theo đó, nếu đa thức $M$ chia hết cho đơn thức $N,$ ta có thể thực hiện phép chia như sau:

• Chia mỗi hạng tử của $M$ cho $N.$
• Cộng các kết quả với nhau.

Lưu ý: Đa thức $M$ chia hết cho đơn thức $N$ khi mọi hạng tử của $M$ đều chia hết cho $N.$

Bài tập:

1)- Thực hiện các phép tính sau:

a) $(-12x^3y^5z^2)\;:\;(15xy^4z).$

b) $(8x^3yz)\;:\;(-6xyz).$

c) $(4x^2yz^4-6xy-15xyz)\;:\;(-6xy).$

d) $(2x^7y^2z^2+7x^2y^7z^3-4x^3y^3z^2)\;:\;\left(\dfrac{2}{3}x^2y^2z^2\right).$

2)- Rút gọn biểu thức sau: $(2x+3y)xy-(2x^3y^2+3x^2y^3)\;:\;(xy).$

3)- Tìm đa thức $N,$ biết: $-\dfrac{1}{2}xy^2z\cdot N=5xy^2z-\dfrac{3}{4}x^2y^2z^2+1,5x^3y^2z.$

4)- Từ điểm $A,$ một người đi với tốc độ $v$ km/h trong $2$ giờ đầu, và với tốc độ gấp ba lần tốc độ trước đó trong $t$ giờ tiếp theo để đến điểm $B.$ Sau đó, người này quay trở về điểm $A$ với tốc độ $2v$ km/h. Viết biểu thức tính thời gian người này đi từ $B$ trở về $A.$

Giải:

1)-

a) $(-12x^3y^5z^2)\;:\;(15xy^4z)=\dfrac{-4}{5}x^2yz.$

b) $(8x^3yz)\;:\;(-6xyz)=\dfrac{-4}{3}x^2.$

c) $(4x^2yz^4-6xy-15xyz)\;:\;(-6xy)$ $=(4x^2yz^4)\;:\;(-6xy)+(-6xy)\;:\;(-6xy)+(-15xyz)\;:\;(-6xy)$ $=\dfrac{-2}{3}xz^4+1+\dfrac{5}{2}z.$

d) $(2x^7y^2z^2+7x^2y^7z^3-4x^3y^3z^2)\;:\;\left(\dfrac{2}{3}x^2y^2z^2\right)$ $=(2x^7y^2z^2)\;:\;\left(\dfrac{2}{3}x^2y^2z^2\right)+(7x^2y^7z^3)\;:\;\left(\dfrac{2}{3}x^2y^2z^2\right)+(-4x^3y^3z^2)\;:\;\left(\dfrac{2}{3}x^2y^2z^2\right)$ $=3x^5+\dfrac{21}{2}y^5z-6xy.$

2)- $(2x+3y)xy-(2x^3y^2+3x^2y^3)\;:\;(xy)$ $=(2x^2y+3xy^2)-(2x^2y+3xy^2)$ $=2x^2y+3xy^2-2x^2y-3xy^2$ $=2x^2y-2x^2y+3xy^2-3xy^2$ $=0.$

3)- Do $-\dfrac{1}{2}xy^2z\cdot N=5xy^2z-\dfrac{3}{4}x^2y^2z^2+1,5x^3y^2z$ nên $N=(5xy^2z-\dfrac{3}{4}x^2y^2z^2+1,5x^3y^2z)\;:\;\left(-\dfrac{1}{2}xy^2z\right)$ $=(5xy^2z)\;:\;\left(-\dfrac{1}{2}xy^2z\right)+\left(-\dfrac{3}{4}x^2y^2z^2\right)\;:\;\left(-\dfrac{1}{2}xy^2z\right)+(1,5x^3y^2z)\;:\;\left(-\dfrac{1}{2}xy^2z\right)$ $=-10+\dfrac{3}{2}xz-3x^2.$

4)- Khi người đó đi từ $A$ đến $B:$

• trong $2$ giờ đầu đi với tốc độ $v$ km/h nên quãng đường đi được là $2v$ km;
• trong $t$ giờ tiếp theo đi với tốc độ $3v$ km/h nên quãng đường đi được là $3vt$ km.

Vậy quãng đường $AB$ là: $2v+3vt$ km.

Người đó quay trở về $A$ với tốc độ $2v$ km/h nên thời gian đi từ $B$ trở về $A$ là: $(2v+3vt)\;:\;(2v)=1+\dfrac{3}{2}t$ (giờ).

Biểu thức cần tìm là $1+\dfrac{3}{2}t.$