Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 10 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.
Mức độ DỄ:
BT 1: Viết lại mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:
a) $A=\{x\in\mathbb{N}\;|\;x\leq 6\}.$
b) $B=\{x\in\mathbb{Z}\;|\;-5\leq x<3\}.$
c) $C=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x^2-7=0\}.$
a) $A=\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}.$
b) $B=\{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2\}.$
c) Giải phương trình $x^2-7=0$ trên tập $\mathbb{R},$ ta được $x=\sqrt{7}$ hoặc $x=-\sqrt{7}.$
Do đó, $C=\{\sqrt{7}; -\sqrt{7}\}.$
BT 2: Liệt kê các phần tử của tập hợp $A$ gồm các số tự nhiên chia hết cho $3$ và nhỏ hơn $20.$
$A=\{0; 3; 6; 9; 12; 15; 18\}.$
BT 3: Viết lại mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:
a) $A=\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}.$
b) $B=\{-5; 0; 5; 10; 15\}.$
a) Tập hợp $A=\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}$ gồm các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng $7.$
Vậy $A=\{x\in\mathbb{N}\;|\;x\leq 7\}.$
b) Tập hợp $B=\{-5; 0; 5; 10; 15\}$ gồm các số nguyên chia hết cho $5,$ lớn hơn hoặc bằng $-5$ và nhỏ hơn hoặc bằng $15.$
VVậy$B=\{x\in\mathbb{Z}\;|\; x\;\vdots\;5, -5\leq x\leq 15\}.$
BT 4: Gọi $X$ là tập nghiệm của phương trình $x^3-1=0.$ Trong các số $2; 1; 0; -1,$ số nào là phần tử của tập hợp $X\;?$ Dùng ký hiệu $\in$ hoặc $\notin$ để trả lời.
+) Vì $2^3-1=7\neq 0$ nên $2$ không phải là nghiệm của phương trình $x^3-1=0.$ Do đó, $2\notin X.$
+) Vì $1^3-1=0$ nên $1$ là nghiệm của phương trình $x^3-1=0.$ Do đó, $1\in X.$
+) Vì $0^3-1=-1\neq 0$ nên $0$ không phải là nghiệm của phương trình $x^3-1=0.$ Do đó, $0\notin X.$
+) Vì $(-1)^3-1=-2\neq 0$ nên $-1$ không phải là nghiệm của phương trình $x^3-1=0.$ Do đó, $-1\notin X.$
Lưu ý: Giải phương trình $x^3-1=0$ ta được nghiệm duy nhất là $x=1.$ Do đó, tập nghiệm của nó là $X=\{1\}.$ Dựa vào đây ta cũng biết được phần tử nào thuộc hoặc không thuộc $X.$
BT 5: Ký hiệu $E$ chỉ các tháng dương lịch có $30$ ngày. “Tháng Hai” có phải là phần tử của tập hợp $E$ không? Dùng ký hiệu $\in$ hoặc $\notin$ để trả lời.
Vì “tháng Hai” không thể có $30$ ngày (mà có $28$ hoặc $29$ ngày) nên “tháng Hai” không phải là phần tử của $E.$
Vậy “tháng Hai” $\notin E.$
BT 6: Cho tập hợp $M=\{x; y; 4; 5\}.$
a) Tập hợp $A=\{4; x\}$ có phải là một tập hợp con của $M$ không? Vì sao?
b) Tập hợp $B=\{x; y; 3\}$ có phải là một tập hợp con của $M$ không? Vì sao?
Hướng dẫn
Để kiểm tra xem $X$ có phải là tập con của $Y$ hay không, ta xét từng phần tử của $X$ xem có thuộc $Y$ hay không.
+) Nếu tất cả các phần tử của $X$ đều thuộc $Y$ thì $X$ là tập con của $Y.$
+) Nếu ta tìm được một phần tử của $X$ mà không thuộc $Y$ thì $X$ không phải là tập con của $Y.$
Giải
a) CÓ.
Tập hợp $A$ có hai phần tử là $4$ và $x.$ Ta thấy rằng $4\in M$ và $x\in M.$
Vậy mọi phần tử của $A$ đều thuộc $M.$ Do đó $A$ là tập hợp con của $M.$
b) KHÔNG.
Tập hợp $B$ có ba phần tử là $x; y; 3.$ Trong đó, $3\notin M.$
Vậy ta đã tìm được phần tử $3$ của $B$ mà không thuộc $M.$ Do đó, $B$ không phải là tập con của $M.$
BT 7: Viết tất cả các tập hợp con có hai phần tử của tập hợp $X=\{a; b; c\}.$
Các tập hợp con có hai phần tử của tập hợp $X$ là: $\{a; b\},$ $\{b; c\},$ $\{c; a\}.$
BT 8: Dùng ký hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết lại các tập hợp sau đây:
a) $A=\{x\in\mathbb{R}\;|\;3 < x\leq 15\}.$
b) $B=\{x\in\mathbb{R}\;|\;-4\leq x < 2\}.$
c) $C=\{x\in\mathbb{R}\;|\;2\leq x\leq 35\}.$
d) $D=\{x\in\mathbb{R}\;|\;25>x\}.$
e) $E=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x\leq -15\}.$
f) $F=\{x\in\mathbb{R}\;|\;25\geq x\geq 9\}.$
a) $A=(3; 15].$
b) $B=[-4; 2).$
c) $C=[2; 35].$
d) $D=(-\infty; 25).$
e) $E=(-\infty; -15].$
f) $F=[9; 25].$
BT 9: Tập hợp $A=[-3;3]$ có phải là tập hợp con của $B=[-3;7)$ không?
Có.
Xem mô tả sau:
BT 10: Mỗi tập hợp sau có bao nhiêu phần tử?
a) $A=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x^2+2x+1=0\}.$
b) $B$ là tập hợp các quốc gia trong khu vực Đông Nam Á.
a) Phương trình $x^2+2x+1=0$ có một nghiệm thực (kép) là $-1.$ Do đó $A=\{-1\}.$
Vậy tập hợp $A$ có $1$ phần tử.
b) Các quốc gia trong khu vực Đông Nam Á (là phần tử của tập hợp $B)$ gồm: Việt Nam, Lào, Thái Lan, Campuchia, Myanmar, Malaysia, Singapore, Indonesia, Brunei, Philippines, Đông Timor.
Vậy tập hợp $B$ có $11$ phần tử.
BT 11: Tập hợp $\{x\in\mathbb{Z}\;|\;2x+3=0\}$ có phải là tập hợp rỗng không?
Phương trình $2x+3=0$ có nghiệm duy nhất là $\dfrac{-3}{2}.$ Nhưng số này không phải là số nguyên (tức là không thuộc $\mathbb{Z}).$
Vậy không có số $x$ nào thuộc $\mathbb{Z}$ để $2x+3=0,$ nên tập hợp đã cho là tập hợp rỗng: $\{x\in\mathbb{Z}\;|\;2x+3=0\}=\varnothing$
Mức độ TRUNG BÌNH:
BT 12: Viết tập hợp $P$ gồm các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng $7.$
$P=\{16; 25; 34; 43; 52; 61; 70\}.$
BT 13: Cho $A=(2; +\infty)$ và $B=(m;+\infty).$ Tìm điều kiện cần và đủ của $m$ để $B$ là tập con của $A.$
Trả lời: $m\geq 2.$
Chứng minh: Ta phải chứng minh hai điều:
(1) Nếu $m\geq 2$ thì $B\subset A.$
Xét $x$ bất kỳ thuộc $B,$ ta có: $x > m.$ Kết hợp với $m\geq 2,$ ta suy ra $x>2.$ Do đó $x\in A.$
Suy ra $B\subset A.$
(2) Nếu $B\subset A$ thì $m\geq 2.$
Giả sử $m<2.$ Khi đó, $2\in B$ và $2\notin A.$ Suy ra $B\not \subset A.$ Điều này ngược với giả thiết.
Vậy $m\geq 2.$
BT 14: Cho hai tập hợp $A=[1; 3]$ và $B=[m; m+1].$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $B\subset A.$
Để $B\subset A$ thì $\begin{cases} m\geq 1 \\ m+1\leq 3\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} m\geq 1 \\ m\leq 2\end{cases}$ $\Leftrightarrow 1\leq m\leq 2.$
Vậy $m\in [1; 2]$ thì $B\subset A.$
Mức độ KHÓ:
BT 15: Cho hai tập hợp $A=\{2; 4; 6\}$ và $B=\{3; 5; 7\}.$ Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $P=\{x\cdot y\;|\;x\in A, y\in B\}.$
$P=\{2\cdot 3; 2\cdot 5; 2\cdot 7; 4\cdot 3; 4\cdot 5; 4\cdot 7; 6\cdot 3; 6\cdot 5; 6\cdot 7\}$ $=\{6; 10; 14; 12; 20; 28; 18; 30; 42\}.$
BT 16: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $M=\{x\in\mathbb{N}\;|\;\sqrt{x}\in Ư(8)\}.$
$\sqrt{x}\in Ư(8)=\{1; 2; 4; 8\}$ khi và chỉ khi $x\in \{1; 4; 16; 64\}.$
Vậy $M=\{1; 4; 16; 64\}.$
BT 17: Cho hai tập hợp $A=\{a; b; c\}$ và $B=\{b; c; a\}.$ Chứng minh rằng $A=B.$
Ta cần chứng minh hai điều: $A\subset B$ và $B\subset A.$
+) Chứng minh $A\subset B:$
Tập hợp $A$ có ba phần tử là $a; b; c.$ Cả ba phần tử này đều thuộc $B$ nên $A\subset B.$
+) Chứng minh $B\subset A:$
Tập hợp $B$ có ba phần tử là $b; c; a.$ Cả ba phần tử này đều thuộc $A$ nên $B\subset A.$
BT 18: Gọi $X$ là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho $9,$ và gọi $Y$ là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho $3.$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Hãy chứng minh điều đó.
a) $X\subset Y.$
b) $Y\subset X.$
a) ĐÚNG.
Xét $x$ bất kỳ thuộc $X.$ Khi đó, $x\;\vdots\;9.$ Mà $9\;\vdots\;3,$ nên $x\;\vdots\;3.$ Suy ra $x\in Y.$
Vậy $X\subset Y.$
b) SAI.
Ta thấy $6\in Y$ nhưng $6\notin X.$ Do đó $Y\not \subset X,$
BT 19: Chứng minh rằng:
a) $Ư(6)\subset Ư(18).$
b) $B(24)\subset B(4).$
a) Chứng minh $Ư(6)\subset Ư(18).$
Xét $x$ bất kỳ thuộc $Ư(6).$ Ta cần chứng minh $x\in Ư(18),$ tức là chứng minh $18\;\vdots\;x.$
Vì $x\in Ư(6)$ nên $6\;\vdots\; x.$ Mà $18\;\vdots 6,$ nên $18\;\vdots\;x.$ Suy ra $x\in Ư(18).$
Vậy $Ư(6)\subset Ư(18).$
b) Chứng minh $B(24)\subset B(4).$
Xét $x$ bất kỳ thuộc $B(24).$ Ta cần chứng minh $x\in B(4).$
Vì $x\in B(24)$ nên $x\;\vdots\;24.$ Mà $24\;\vdots\;4,$ nên $x\;\vdots\;4.$ Suy ra $x\in B(4).$
Vậy $B(24)\subset B(4).$