Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 4 – TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ. (bộ Cánh diều)

Giải

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}.$

Do đó: $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{PM}.$ (1)

Mặt khác, $PM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $PM//AC$ và $PM=\frac{1}{2}AC.$ Lại có, $AN=\frac{1}{2}AC$ (vì $N$ là trung điểm của $AC).$

Từ đó suy ra: $\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{AN}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AN}.$

Giải

Thuyền di chuyển theo hướng của véctơ màu đỏ, phù hợp với quy tắc hình bình hành.

Giải

Dựa vào tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng các véctơ, ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{CE}$ (1)

Dựa vào quy tắc hình bình hành, ta có: $ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AC}.$

Do đó: $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE}. $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE}.$

Giải

Ta có:

$$\overrightarrow{CM} – \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{BN}$$

$$\;\;\; = \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{NM}.$$

Vậy $|\overrightarrow{CM} – \overrightarrow{NB}| = |\overrightarrow{NM}| = NM$

Mà $NM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $NM=\frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.$

Tóm lại, $|\overrightarrow{CM} – \overrightarrow{NB}| = \frac{a}{2}.$

Giải

Ta có: $\overrightarrow{NP} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}.$

Do đó, ta chọn đáp án C.

Giải

Ta có: $\overrightarrow{DE} + (-\overrightarrow{DG}) = \overrightarrow{DE}+ \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GD}+ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{GE}.$

Vậy ta chọn đáp án B.

Giải

a) Ta có:

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}$$

$$\;\;\; = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}) + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}.$$

b) Ta có:

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$$

$$= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA})$$

$$= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}$$

$$= \overrightarrow{AA} = \vec{0}.$$

Giải

a) ĐÚNG.

Giải thích: Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.$ Do đó, $ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AC}| $

b) SAI.

Giải thích: Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{CB}$

c) SAI.

Giải thích: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OC} + (-\overrightarrow{OD}) = -(\overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{OD}).$

Giải

Vì $A, B$ nằm trên đường tròn nên $OA = OB$ (cùng bằng bán kính). Do đó, để hai véctơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ đối nhau thì điều kiện cần và đủ là $AB$ là đường kính của đường tròn (vì khi đó, $A, O, B$ thẳng hàng).

Giải

Ta có:

$\overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{MC} – \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

Từ các điều trên, ta có: $\overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MC} – \overrightarrow{MD}.$

Giải

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên nó cũng là hình bình hành. Do đó, theo quy tắc hình bình hành thì: $\overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}.$

Suy ra: $|\overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DC}| = |\overrightarrow{DB}| = DB.$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác $ABD$ vuông tại $D,$ ta được: $DB = \sqrt{AD^2+AB^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}.$

Vậy $|\overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DC}| = a\sqrt{2}.$

b)Ta có: $\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB}.$

Suy ra: $|\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{DB}| = DB = a\sqrt{2}.$

c) Vì $ABCD$ là hình vuông có $O$ là giao điểm của hai đường chéo nên $O$ là trung điểm của $AC.$

Do đó, $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}$

Suy ra: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CB}$

Vậy $| \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} | = |\overrightarrow{CB}| = CB = a.$

Giải

Vì ba lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào vật tại điểm $O$ và vật đứng yên nên: $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \vec{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{F_3} = -(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2})$ (1)

Vậy cần phải tính $ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} .$

Vẽ điểm $D$ sao cho $OADB$ là hình bình hành.

Theo đề bài thì cường độ $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}$ đều bằng $120\;N$ nên $OA = OB = 120.$ Do đó, $OADB$ là hình thoi.

Suy ra: $OD$ là tia phân giác của góc $AOB.$

$$\Rightarrow \widehat{AOD} = \frac{1}{2}\widehat{AOB} =\frac{1}{2}\cdot 120^o= 60^o.$$

Tam giác cân $AOD$ có $\widehat{AOD} = 60^o$ nên là tam giác đều. Do đó, $OD = OA = 120.$

Ta có: $ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $ \overrightarrow{F_3} = -\overrightarrow{OD}$

Vậy lực $\overrightarrow{F_3}$ có hướng ngược với hướng của $\overrightarrow{OD}$ và có cường độ: $|\overrightarrow{F_3}| = |\overrightarrow{OD}| = 120\;N.$

Giải

Trong hình vẽ trên, $O$ là vị trí của ca nô, $\overrightarrow{OA}$ biểu thị vận tốc của dòng nước (từ bắc xuống nam), $\overrightarrow{OB}$ biểu thị vận tốc của ca nô (từ đông sang tây).

Khi đó, $OA = 10, OB = 40$ và véctơ vận tốc của ca nô so với bờ sông là: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$

Vẽ điểm $C$ sao cho $AOBC$ là hình bình hành. Khi đó, vì $OA \perp OB$ nên $AOBC$ là hình chữ nhật. Suy ra: $OC = AB = \sqrt{40^2+10^2} = 10\sqrt{17}.$

Ta có: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}$ (quy tắc hình bình hành)

Nên: $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = OC = 10\sqrt{17}. $

Vậy vận tốc của ca nô so với bờ sông là: $10\sqrt{17}\;km/h.$