Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 4 – Chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Cánh diều.
Luyện tập 1 (Trang 84 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC.$ Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB.$ Chứng minh: $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AN}.$
Giải
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}.$
Do đó: $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{PM}.$ (1)
Mặt khác, $PM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $PM//AC$ và $PM=\frac{1}{2}AC.$ Lại có, $AN=\frac{1}{2}AC$ (vì $N$ là trung điểm của $AC).$
Từ đó suy ra: $\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{AN}.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AN}.$
Luyện tập 2 (Trang 84 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Hãy giải thích hướng đi của thuyền ở Hình 48.
Giải
Thuyền di chuyển theo hướng của véctơ màu đỏ, phù hợp với quy tắc hình bình hành.
Luyện tập 3 (Trang 85 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho hình bình hành $ABCD$ và điểm $E$ bất kỳ. Chứng minh: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE}.$
Giải
Dựa vào tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng các véctơ, ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{CE}$ (1)
Dựa vào quy tắc hình bình hành, ta có: $ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AC}.$
Do đó: $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE}. $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE}.$
Luyện tập 4 (Trang 86 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $AC,$ $N$ là trung điểm của $BC$ và $AB=a.$ Tính độ dài véctơ $\overrightarrow{CM} – \overrightarrow{NB}.$
Giải
Ta có:
$$\overrightarrow{CM} – \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{BN}$$
$$\;\;\; = \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{NM}.$$
Vậy $|\overrightarrow{CM} – \overrightarrow{NB}| = |\overrightarrow{NM}| = NM$
Mà $NM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $NM=\frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.$
Tóm lại, $|\overrightarrow{CM} – \overrightarrow{NB}| = \frac{a}{2}.$
Bài tập 1 (Trang 87 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho ba điểm $M, N, P.$ Véctơ $\vec{u} = \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{MN}$ bằng véctơ nào sau đây?
A. $\overrightarrow{PN}.$
B. $\overrightarrow{PM}.$
C. $\overrightarrow{MP}.$
D. $\overrightarrow{NM}.$
Giải
Ta có: $\overrightarrow{NP} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}.$
Do đó, ta chọn đáp án C.
Bài tập 2 (Trang 87 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho ba điểm $D, E, G.$ Véctơ $\vec{v} = \overrightarrow{DE} + (-\overrightarrow{DG})$ bằng véctơ nào sau đây?
A. $\overrightarrow{EG}.$
B. $\overrightarrow{GE}.$
C. $\overrightarrow{GD}.$
D. $\overrightarrow{ED}.$
Giải
Ta có: $\overrightarrow{DE} + (-\overrightarrow{DG}) = \overrightarrow{DE}+ \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GD}+ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{GE}.$
Vậy ta chọn đáp án B.
Bài tập 3 (Trang 87 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho bốn điểm $A, B, C, D.$ Chứng minh:
$$\mathbf{a)}\; \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB};$$
$$\mathbf{b)}\; \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}.$$
Giải
a) Ta có:
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}$$
$$\;\;\; = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}) + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}.$$
b) Ta có:
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$$
$$= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA})$$
$$= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}$$
$$= \overrightarrow{AA} = \vec{0}.$$
Bài tập 4 (Trang 87 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho hình bình hành $ABCD,$ gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$ Các khẳng định sau đúng hay sai?
$$\mathbf{a)}\; |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AC}|;$$
$$\mathbf{b)}\; \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}= \overrightarrow{CB};$$
$$\mathbf{c)}\; \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}= \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}.$$
Giải
a) ĐÚNG.
Giải thích: Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.$ Do đó, $ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AC}| $
b) SAI.
Giải thích: Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{CB}$
c) SAI.
Giải thích: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OC} + (-\overrightarrow{OD}) = -(\overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{OD}).$
Bài tập 5 (Trang 87 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho đường tròn tâm $O.$ Giả sử $A, B$ là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai véctơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ đối nhau.
Giải
Vì $A, B$ nằm trên đường tròn nên $OA = OB$ (cùng bằng bán kính). Do đó, để hai véctơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ đối nhau thì điều kiện cần và đủ là $AB$ là đường kính của đường tròn (vì khi đó, $A, O, B$ thẳng hàng).
Bài tập 6 (Trang 87 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho $ABCD$ là hình bình hành. Chứng minh $\overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MC} – \overrightarrow{MD}$ với mọi điểm $M$ trong mặt phẳng.
Giải
Ta có:
$\overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{MC} – \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$
Từ các điều trên, ta có: $\overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MC} – \overrightarrow{MD}.$
Bài tập 7 (Trang 87 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a.$ Tính độ dài của các véctơ sau:
a) $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC};$
b) $\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD};$
c) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ với $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$
Giải
a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên nó cũng là hình bình hành. Do đó, theo quy tắc hình bình hành thì: $\overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}.$
Suy ra: $|\overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DC}| = |\overrightarrow{DB}| = DB.$
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác $ABD$ vuông tại $D,$ ta được: $DB = \sqrt{AD^2+AB^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}.$
Vậy $|\overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DC}| = a\sqrt{2}.$
b)Ta có: $\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB}.$
Suy ra: $|\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{DB}| = DB = a\sqrt{2}.$
c) Vì $ABCD$ là hình vuông có $O$ là giao điểm của hai đường chéo nên $O$ là trung điểm của $AC.$
Do đó, $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}$
Suy ra: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CB}$
Vậy $| \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} | = |\overrightarrow{CB}| = CB = a.$
Bài tập 8 (Trang 87 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Cho ba lực $\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{OC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm $O$ và vật đứng yên. Cho biết cường độ $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}$ đều là $120\;N$ và $\widehat{AOB} = 120^o.$ Tìm cường độ và hướng của lực $\overrightarrow{F_3}.$
Giải
Vì ba lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào vật tại điểm $O$ và vật đứng yên nên: $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \vec{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow{F_3} = -(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2})$ (1)
Vậy cần phải tính $ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} .$
Vẽ điểm $D$ sao cho $OADB$ là hình bình hành.
Theo đề bài thì cường độ $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}$ đều bằng $120\;N$ nên $OA = OB = 120.$ Do đó, $OADB$ là hình thoi.
Suy ra: $OD$ là tia phân giác của góc $AOB.$
$$\Rightarrow \widehat{AOD} = \frac{1}{2}\widehat{AOB} =\frac{1}{2}\cdot 120^o= 60^o.$$
Tam giác cân $AOD$ có $\widehat{AOD} = 60^o$ nên là tam giác đều. Do đó, $OD = OA = 120.$
Ta có: $ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $ \overrightarrow{F_3} = -\overrightarrow{OD}$
Vậy lực $\overrightarrow{F_3}$ có hướng ngược với hướng của $\overrightarrow{OD}$ và có cường độ: $|\overrightarrow{F_3}| = |\overrightarrow{OD}| = 120\;N.$
Bài tập 9 (Trang 87 / Toán 10 – tập 1 / Cánh diều) Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là $10\;km/h.$ Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc $40\;km/h$ so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.
Giải
Trong hình vẽ trên, $O$ là vị trí của ca nô, $\overrightarrow{OA}$ biểu thị vận tốc của dòng nước (từ bắc xuống nam), $\overrightarrow{OB}$ biểu thị vận tốc của ca nô (từ đông sang tây).
Khi đó, $OA = 10, OB = 40$ và véctơ vận tốc của ca nô so với bờ sông là: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$
Vẽ điểm $C$ sao cho $AOBC$ là hình bình hành. Khi đó, vì $OA \perp OB$ nên $AOBC$ là hình chữ nhật. Suy ra: $OC = AB = \sqrt{40^2+10^2} = 10\sqrt{17}.$
Ta có: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}$ (quy tắc hình bình hành)
Nên: $|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = OC = 10\sqrt{17}. $
Vậy vận tốc của ca nô so với bờ sông là: $10\sqrt{17}\;km/h.$