Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 11 – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Giải

Vì $\triangle ABC$ là tam giác đều nên $\widehat{ABC} = 60^o.$

Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B.$ Khi đó, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD}.$

Do đó:

$$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC})$$

$$\;\;\;\;\; = \widehat{DBC} = 180^o – \widehat{ABC}$$

$$\;\;\;\;\; = 180^o – 60^o = 120^o.$$

Giải

Ta có: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC} = \widehat{A}.$

Suy ra: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=cb\cdot cosA \;\;(1).$

Mặt khác, theo định lý cosin, ta có: $a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cdot cosA.$

Suy ra: $bc\cdot cosA = \dfrac{b^2+c^2 – a^2}{2} \;\; (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{b^2+c^2 – a^2}{2}. $

Giải

Tích vô hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là: $\vec{u}\cdot \vec{v} = 0\cdot \sqrt{3} + (-5)\cdot 1 = -5.$

Ta có: $|\vec{u}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5$ và $|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2.$

Do đó: $cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|} = \dfrac{-5}{5\cdot 2} = \dfrac{-1}{2}.$

Suy ra: $(\vec{u}, \vec{v}) = 120^o.$

Giải

a) Vì $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $AH\perp BC$ và $BH\perp CA.$

Suy ra: $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} = 0$ và $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA} = 0.$

b) Gọi $H(x; y).$

+) Ta có: $\overrightarrow{AH} = (x+1; y-2)$ và $\overrightarrow{BC} = (0; 9).$

Do đó: $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} = (x+1)\cdot 0 + (y-2)\cdot 9 = 9y-18.$

Mà theo câu a), ta có: $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} = 0.$

Suy ra: $9y – 18 = 0$ $\Leftrightarrow y = 2\;\;(1)$

+) Ta có: $\overrightarrow{BH} = (x-8; y+1)$ và $\overrightarrow{CA} = (-9; -6).$

Do đó: $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA} = (x-8)\cdot (-9) + (y+1)\cdot (-6) = -9x – 6y+66.$

Mà theo câu a), ta có: $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA} = 0.$

Suy ra: $-9x-6y+66 = 0$ $\Leftrightarrow 3x + 2y = 22 \;\;(2)$

+) Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ: $\begin{cases} y = 2 \\ 3x+2y = 22\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy $H(6; 2).$

c) $A(-1; 2),$ $B(8; -1),$ $C(8; 8).$

$\overrightarrow{AB} = (9; -3)$ $\Rightarrow AB = \sqrt{9^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{10}.$

$\overrightarrow{AC} = (9; 6)$ $\Rightarrow AC = \sqrt{9^2+6^2} = 3\sqrt{13}.$

$\overrightarrow{BC} = (0; 9)$ $\Rightarrow BC = \sqrt{0^2 + 9^2} = 9.$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = 9\cdot 9 + (-3)\cdot 6 =63$ $\Rightarrow cosA = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC} = \dfrac{63}{3\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{13}} = \dfrac{7}{\sqrt{130}}$ $\Rightarrow \widehat{A} \approx 52^o.$

$\overrightarrow{CA} = (-9; -6),$ $\overrightarrow{CB} = (0; -9)$ $\Rightarrow \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB} = (-9)\cdot 0 + (-6)\cdot (-9) = 54$ $\Rightarrow cosC = \dfrac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{CA\cdot CB} = \dfrac{54}{3\sqrt{13}\cdot 9} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$ $\Rightarrow \widehat{C} \approx 56^o.$

$\widehat{B} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{C} \approx 72^o.$

Giải

a) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_1}$ là: $\varepsilon_1 = \overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{AB}.$

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_2}$ bằng: $ \varepsilon_2 = \overrightarrow{F_2}\cdot \overrightarrow{AB}.$

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng:

$ \varepsilon = \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})\cdot \overrightarrow{AB}$

$\;\;\;\;\;= \overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{F_2}\cdot \overrightarrow{AB} = \varepsilon_1 + \varepsilon_2.$

Vậy $\varepsilon = \varepsilon_1 + \varepsilon_2,$ tức là công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}.$

b) Theo đề, $(\overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{AB}) = 90^o.$ Suy ra: $\varepsilon_2 = \overrightarrow{F_2}\cdot \overrightarrow{AB} = 0.$

Do đó, từ kết quả câu a), ta có: $\varepsilon = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = \varepsilon_1 + 0 = \varepsilon_1.$

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_1}.$

Giải

$$\mathbf{a)}\; \vec{a} = (-3; 1), \vec{b} = (2; 6)$$

$\vec{a}\cdot \vec{b} = (-3)\cdot 2 + 1\cdot 6 = 0$ $\Rightarrow \vec{a}\perp \vec{b}$ $\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^o.$

$$\mathbf{b)}\; \vec{a} = (3; 1), \vec{b} = (2; 4)$$

$\vec{a}\cdot \vec{b} = 3\cdot 2 + 1\cdot 4 = 10.$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10};$ $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}.$

Suy ra: $cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} = \dfrac{10}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{20}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

Do đó: $(\vec{a}, \vec{b}) = 45^o.$

$$\mathbf{c)}\; \vec{a} = (-\sqrt{2}; 1), \vec{b} = (2; -\sqrt{2})$$

$\vec{a}\cdot \vec{b} = (-\sqrt{2})\cdot 2 + 1\cdot (-\sqrt{2}) = -3\sqrt{2}.$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3};$ $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}.$

Suy ra: $cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} = \dfrac{ -3\sqrt{2} }{\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}} = -1.$

Do đó: $(\vec{a}, \vec{b}) = 180^o.$

Giải

Ta có: $\vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cdot cos(\vec{u}, \vec{v}).$

Suy ra: $cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{ |\vec{u}|\cdot |\vec{v}| }.$

a) $ \vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot |\vec{v}| $ $\Leftrightarrow cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1$ $\Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^o.$

Vậy để $ \vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot |\vec{v}| $ thì $\vec{u},\vec{v}$ cùng hướng.

b) $ \vec{u}\cdot \vec{v} = -|\vec{u}|\cdot |\vec{v}| $ $\Leftrightarrow cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1$ $\Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^o.$

Vậy để $ \vec{u}\cdot \vec{v} = -|\vec{u}|\cdot |\vec{v}| $ thì $\vec{u},\vec{v}$ ngược hướng.

Giải

a) $\overrightarrow{AM} = (t-1; -2),$ $\overrightarrow{BM} = (t+4; -3).$

Do đó: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM} = (t-1)\cdot (t+4) + (-2)\cdot (-3) = t^2 +3t +2.$

b) $\widehat{AMB} = 90^o$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM} = 0$ $\Leftrightarrow t^2+3t+2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t = -1 \\ t = -2 \end{matrix}\right.$

Vậy $t= -1$ hoặc $t = -2$ thì $\widehat{AMB} = 90^o.$

Giải

a) $\overrightarrow{AB} = (6; 3)$ $\Rightarrow AB = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}.$

$\overrightarrow{AC} = (6; -3)$ $\Rightarrow AC = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{5}.$

$\overrightarrow{BC} = (0; -6)$ $\Rightarrow AB = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6.$

$\overrightarrow{BA} = (-6; -3)$ $\Rightarrow \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC} = (-6)\cdot 0 + (-3)\cdot (-6) = 18$ $\Rightarrow cosB = \dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{BA\cdot BC} = \dfrac{18}{3\sqrt{5}\cdot 6} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow \widehat{B} \approx 63^o.$

Vì $AB = AC = 3\sqrt{5}$ nên $\triangle ABC$ là tam giác cân tại $A.$

Do đó, $\widehat{C} = \widehat{B}$ $\Rightarrow \widehat{C} \approx 63^o.$

Suy ra: $\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C} \approx 54^o.$

b) Gọi $H(x; y)$ là trực tâm của tam giác $ABC.$ Khi đó, $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}.$

Ta có: $\overrightarrow{AH} = (x+4; y-1).$

$\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} = 0$ $\Leftrightarrow (x+4)\cdot 0 + (y-1)\cdot (-6) = 0$ $\Leftrightarrow y = 1\;\;(1)$

Ta có: $\overrightarrow{BH} = (x-2; y-4).$

$\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC} = 0$ $\Leftrightarrow (x-2)\cdot 6 +(y-4)\cdot (-3) = 0$ $\Leftrightarrow 6x -3y = 0\;\;(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ: $\begin{cases} y = 1 \\ 6x -3y = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{1}{2} \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy trực tâm của tam giác $ABC$ là $H\left(\dfrac{1}{2}; 1\right).$

Giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = AB\cdot AC\cdot cosA.$

Suy ra: $\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)^2 = AB^2\cdot AC^2 \cdot cos^2A.$

Vậy:

$$\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 – \left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)^2$$

$$= AB^2 \cdot AC^2 – AB^2\cdot AC^2 \cdot cos^2A $$

$$= AB^2\cdot AC^2 \cdot (1 – cos^2A)$$

$$= AB^2\cdot AC^2\cdot sin^2A$$

Suy ra:

$$ \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 – \left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)^2}$$

$$\;\;\;\;\; = AB\cdot AC\cdot sinA = 2S_{ABC}.$$

Suy ra: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 – \left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)^2} .$

Giải

Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \vec{0}\;\;(1)$

Theo tính chất của tích vô hướng, ta có:

$$MA^2 = \overrightarrow{MA}^2 = (\overrightarrow{MG} +\overrightarrow{GA})^2$$

$$\;\;\;\; = MG^2 + GA^2 + 2\cdot \overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{GA}\;\; (2)$$

Tương tự ta có:

$$MB^2 = MG^2 + GB^2 +2\cdot \overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{GB}\;\;(3)$$

$$MC^2 = MG^2 + GC^2 + 2\cdot \overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{GC}\;\;(4)$$

Cộng $(2),(3),(4)$ vế theo vế, ta được:

$$MA^2 + MB^2 +MC^2$$

$$\;\;\;\;\; = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2\cdot \overrightarrow{MG}\cdot (\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$$

$\;\;\;\;\; = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$ (do $(1))$