Giải Toán 10 (t1) [Chương 4] Bài 11 – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ. (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống)

Chia sẻ nếu thấy hay:

Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài 11 – Chương 4, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10 – tập 1, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.

Luyện tập 1 (Trang 66 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho tam giác đều $ABC.$ Tính $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}).$

Giải

Luyện tập 1 - Trang 66 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Vì $\triangle ABC$ là tam giác đều nên $\widehat{ABC} = 60^o.$

Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B.$ Khi đó, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD}.$

Do đó:

$$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC})$$

$$\;\;\;\;\; = \widehat{DBC} = 180^o – \widehat{ABC}$$

$$\;\;\;\;\; = 180^o – 60^o = 120^o.$$

Luyện tập 2 (Trang 67 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho tam giác $ABC$ có $BC = a,$ $CA = b,$ $AB = c.$ Hãy tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ theo $a, b, c.$

Giải

Ta có: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC} = \widehat{A}.$

Suy ra: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=cb\cdot cosA \;\;(1).$

Mặt khác, theo định lý cosin, ta có: $a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cdot cosA.$

Suy ra: $bc\cdot cosA = \dfrac{b^2+c^2 – a^2}{2} \;\; (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{b^2+c^2 – a^2}{2}. $

Luyện tập 3 (Trang 68 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; -5),$ $\vec{v} = (\sqrt{3}; 1).$

Giải

Tích vô hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là: $\vec{u}\cdot \vec{v} = 0\cdot \sqrt{3} + (-5)\cdot 1 = -5.$

Ta có: $|\vec{u}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5$ và $|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2.$

Do đó: $cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|} = \dfrac{-5}{5\cdot 2} = \dfrac{-1}{2}.$

Suy ra: $(\vec{u}, \vec{v}) = 120^o.$

Luyện tập 4 (Trang 70 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho tam giác $ABC$ với $A(-1; 2),$ $B(8; -1),$ $C(8; 8).$ Gọi $H$ là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} = 0$ và $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA} = 0.$

b) Tìm tọa độ của $H.$

c) Giải tam giác $ABC.$

Giải

a) Vì $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $AH\perp BC$ và $BH\perp CA.$

Suy ra: $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} = 0$ và $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA} = 0.$

b) Gọi $H(x; y).$

+) Ta có: $\overrightarrow{AH} = (x+1; y-2)$ và $\overrightarrow{BC} = (0; 9).$

Do đó: $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} = (x+1)\cdot 0 + (y-2)\cdot 9 = 9y-18.$

Mà theo câu a), ta có: $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} = 0.$

Suy ra: $9y – 18 = 0$ $\Leftrightarrow y = 2\;\;(1)$

+) Ta có: $\overrightarrow{BH} = (x-8; y+1)$ và $\overrightarrow{CA} = (-9; -6).$

Do đó: $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA} = (x-8)\cdot (-9) + (y+1)\cdot (-6) = -9x – 6y+66.$

Mà theo câu a), ta có: $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA} = 0.$

Suy ra: $-9x-6y+66 = 0$ $\Leftrightarrow 3x + 2y = 22 \;\;(2)$

+) Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ: $\begin{cases} y = 2 \\ 3x+2y = 22\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy $H(6; 2).$

c) $A(-1; 2),$ $B(8; -1),$ $C(8; 8).$

$\overrightarrow{AB} = (9; -3)$ $\Rightarrow AB = \sqrt{9^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{10}.$

$\overrightarrow{AC} = (9; 6)$ $\Rightarrow AC = \sqrt{9^2+6^2} = 3\sqrt{13}.$

$\overrightarrow{BC} = (0; 9)$ $\Rightarrow BC = \sqrt{0^2 + 9^2} = 9.$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = 9\cdot 9 + (-3)\cdot 6 =63$ $\Rightarrow cosA = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC} = \dfrac{63}{3\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{13}} = \dfrac{7}{\sqrt{130}}$ $\Rightarrow \widehat{A} \approx 52^o.$

$\overrightarrow{CA} = (-9; -6),$ $\overrightarrow{CB} = (0; -9)$ $\Rightarrow \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB} = (-9)\cdot 0 + (-6)\cdot (-9) = 54$ $\Rightarrow cosC = \dfrac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{CA\cdot CB} = \dfrac{54}{3\sqrt{13}\cdot 9} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$ $\Rightarrow \widehat{C} \approx 56^o.$

$\widehat{B} = 180^o – \widehat{A} – \widehat{C} \approx 72^o.$

Vận dụng (Trang 70 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Một lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ $A$ đến $B.$ Lực $\overrightarrow{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ $(\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}).$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}.$

b) Giả sử các lực thành phần $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ và lực $\overrightarrow{F_1}.$

Vận dụng - Trang 70 - Toán 10 tập 1 - bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

a) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_1}$ là: $\varepsilon_1 = \overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{AB}.$

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_2}$ bằng: $ \varepsilon_2 = \overrightarrow{F_2}\cdot \overrightarrow{AB}.$

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng:

$ \varepsilon = \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})\cdot \overrightarrow{AB}$

$\;\;\;\;\;= \overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{F_2}\cdot \overrightarrow{AB} = \varepsilon_1 + \varepsilon_2.$

Vậy $\varepsilon = \varepsilon_1 + \varepsilon_2,$ tức là công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}.$

b) Theo đề, $(\overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{AB}) = 90^o.$ Suy ra: $\varepsilon_2 = \overrightarrow{F_2}\cdot \overrightarrow{AB} = 0.$

Do đó, từ kết quả câu a), ta có: $\varepsilon = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = \varepsilon_1 + 0 = \varepsilon_1.$

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_1}.$

Bài tập 4.21 (Trang 70 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

$$\mathbf{a)}\; \vec{a} = (-3; 1), \vec{b} = (2; 6).$$

$$\mathbf{b)}\; \vec{a} = (3; 1), \vec{b} = (2; 4).$$

$$\mathbf{c)}\; \vec{a} = (-\sqrt{2}; 1), \vec{b} = (2; -\sqrt{2}).$$

Giải

$$\mathbf{a)}\; \vec{a} = (-3; 1), \vec{b} = (2; 6)$$

$\vec{a}\cdot \vec{b} = (-3)\cdot 2 + 1\cdot 6 = 0$ $\Rightarrow \vec{a}\perp \vec{b}$ $\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^o.$

$$\mathbf{b)}\; \vec{a} = (3; 1), \vec{b} = (2; 4)$$

$\vec{a}\cdot \vec{b} = 3\cdot 2 + 1\cdot 4 = 10.$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10};$ $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}.$

Suy ra: $cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} = \dfrac{10}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{20}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

Do đó: $(\vec{a}, \vec{b}) = 45^o.$

$$\mathbf{c)}\; \vec{a} = (-\sqrt{2}; 1), \vec{b} = (2; -\sqrt{2})$$

$\vec{a}\cdot \vec{b} = (-\sqrt{2})\cdot 2 + 1\cdot (-\sqrt{2}) = -3\sqrt{2}.$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3};$ $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}.$

Suy ra: $cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} = \dfrac{ -3\sqrt{2} }{\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}} = -1.$

Do đó: $(\vec{a}, \vec{b}) = 180^o.$

Bài tập 4.22 (Trang 70 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để:

$$\mathbf{a)}\; \vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot |\vec{v}|.$$

$$\mathbf{b)}\; \vec{u}\cdot \vec{v} = -|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|.$$

Giải

Ta có: $\vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cdot cos(\vec{u}, \vec{v}).$

Suy ra: $cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{ |\vec{u}|\cdot |\vec{v}| }.$

a) $ \vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot |\vec{v}| $ $\Leftrightarrow cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1$ $\Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^o.$

Vậy để $ \vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot |\vec{v}| $ thì $\vec{u},\vec{v}$ cùng hướng.

b) $ \vec{u}\cdot \vec{v} = -|\vec{u}|\cdot |\vec{v}| $ $\Leftrightarrow cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1$ $\Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^o.$

Vậy để $ \vec{u}\cdot \vec{v} = -|\vec{u}|\cdot |\vec{v}| $ thì $\vec{u},\vec{v}$ ngược hướng.

Bài tập 4.23 (Trang 70 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A(1; 2),$ $B(-4; 3).$ Gọi $M(t; 0)$ là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}$ theo $t.$

b) Tìm $t$ để $\widehat{AMB}= 90^o.$

Giải

a) $\overrightarrow{AM} = (t-1; -2),$ $\overrightarrow{BM} = (t+4; -3).$

Do đó: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM} = (t-1)\cdot (t+4) + (-2)\cdot (-3) = t^2 +3t +2.$

b) $\widehat{AMB} = 90^o$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM} = 0$ $\Leftrightarrow t^2+3t+2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t = -1 \\ t = -2 \end{matrix}\right.$

Vậy $t= -1$ hoặc $t = -2$ thì $\widehat{AMB} = 90^o.$

Bài tập 4.24 (Trang 70 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm không thẳng hàng $A(-4; 1),$ $B(2; 4);$ $C(2; -2).$

a) Giải tam giác $ABC.$

b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$

Giải

a) $\overrightarrow{AB} = (6; 3)$ $\Rightarrow AB = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}.$

$\overrightarrow{AC} = (6; -3)$ $\Rightarrow AC = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{5}.$

$\overrightarrow{BC} = (0; -6)$ $\Rightarrow AB = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6.$

$\overrightarrow{BA} = (-6; -3)$ $\Rightarrow \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC} = (-6)\cdot 0 + (-3)\cdot (-6) = 18$ $\Rightarrow cosB = \dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{BA\cdot BC} = \dfrac{18}{3\sqrt{5}\cdot 6} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow \widehat{B} \approx 63^o.$

Vì $AB = AC = 3\sqrt{5}$ nên $\triangle ABC$ là tam giác cân tại $A.$

Do đó, $\widehat{C} = \widehat{B}$ $\Rightarrow \widehat{C} \approx 63^o.$

Suy ra: $\widehat{A} = 180^o – \widehat{B} – \widehat{C} \approx 54^o.$

b) Gọi $H(x; y)$ là trực tâm của tam giác $ABC.$ Khi đó, $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}.$

Ta có: $\overrightarrow{AH} = (x+4; y-1).$

$\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} = 0$ $\Leftrightarrow (x+4)\cdot 0 + (y-1)\cdot (-6) = 0$ $\Leftrightarrow y = 1\;\;(1)$

Ta có: $\overrightarrow{BH} = (x-2; y-4).$

$\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC} = 0$ $\Leftrightarrow (x-2)\cdot 6 +(y-4)\cdot (-3) = 0$ $\Leftrightarrow 6x -3y = 0\;\;(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ: $\begin{cases} y = 1 \\ 6x -3y = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{1}{2} \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy trực tâm của tam giác $ABC$ là $H\left(\dfrac{1}{2}; 1\right).$

Bài tập 4.25 (Trang 70 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC,$

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 – \left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)^2}.$

Giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = AB\cdot AC\cdot cosA.$

Suy ra: $\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)^2 = AB^2\cdot AC^2 \cdot cos^2A.$

Vậy:

$$\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 – \left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)^2$$

$$= AB^2 \cdot AC^2 – AB^2\cdot AC^2 \cdot cos^2A $$

$$= AB^2\cdot AC^2 \cdot (1 – cos^2A)$$

$$= AB^2\cdot AC^2\cdot sin^2A$$

Suy ra:

$$ \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 – \left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)^2}$$

$$\;\;\;\;\; = AB\cdot AC\cdot sinA = 2S_{ABC}.$$

Suy ra: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 – \left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)^2} .$

Bài tập 4.26 (Trang 70 / Toán 10 – tập 1 / Kết nối tri thức với cuộc sống) Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G.$ Chứng minh rằng với mọi điểm $M,$

$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2.$$

Giải

Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \vec{0}\;\;(1)$

Theo tính chất của tích vô hướng, ta có:

$$MA^2 = \overrightarrow{MA}^2 = (\overrightarrow{MG} +\overrightarrow{GA})^2$$

$$\;\;\;\; = MG^2 + GA^2 + 2\cdot \overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{GA}\;\; (2)$$

Tương tự ta có:

$$MB^2 = MG^2 + GB^2 +2\cdot \overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{GB}\;\;(3)$$

$$MC^2 = MG^2 + GC^2 + 2\cdot \overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{GC}\;\;(4)$$

Cộng $(2),(3),(4)$ vế theo vế, ta được:

$$MA^2 + MB^2 +MC^2$$

$$\;\;\;\;\; = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2\cdot \overrightarrow{MG}\cdot (\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$$

$\;\;\;\;\; = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$ (do $(1))$

Chia sẻ nếu thấy hay:
0 0 đánh giá
Đánh giá bài viết
Theo dõi
Thông báo của
guest

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

0 Góp ý
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Rất thích suy nghĩ của bạn, hãy bình luận.x