Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Chuyên đề ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT.

Các số $2$ và $12$ là các ước chung của $48$ và $12.$ Vì $48$ và $12$ đều chia hết cho các số này.

Vì $12\;\not{\vdots}\;5$ nên $5$ không phải là ước của $12,$ và cũng không phải là ước chung của $48$ và $12.$

Vì $12\;\not{\vdots}\;8$ nên $8$ không phải là ước của $12,$ và cũng không phải là ước chung của $48$ và $12.$

a) $4\notin ƯC(12, 18).$

b) $6\in ƯC(12, 18).$

c) $2\in ƯC(4, 6, 8).$

a)

$Ư(6) = \{1; 2; 3; 6\}.$

$Ư(9) = \{1; 3; 9\}.$

b) $ƯC(6, 9) = \{1; 3\}.$

a)

$Ư(9) = \{1; 3; 9\}.$

$Ư(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}.$

$ƯC(9, 12) = \{1; 3\}.$

b) $ƯCLN(9, 12)=3.$

a) Phân tích thành thừa số nguyên tố: $56=2^3\cdot 7$ và $140 =2^2\cdot 5\cdot 7.$

Suy ra: $ƯCLN(56, 140) = 2^2\cdot 7 = 28.$

b) Phân tích thành thừa số nguyên tố: $24 = 2^3\cdot 3;$ $84 = 2^2\cdot 3\cdot 7$ và $180 =2^2\cdot 3^2\cdot 5.$

Suy ra: $ƯCLN(24, 84, 180) = 2^2\cdot 3 = 12.$

c) Phân tích thành thừa số nguyên tố: $18 = 2\cdot 3^2;$ $30 = 2\cdot 3\cdot 5$ và $77 = 7\cdot 11.$

Các số không có thừa số chung nên $ƯCLN(18, 30, 77) = 1.$

a) Ta có: $180 = 2^2\cdot 3^2\cdot 5$ và $234 = 2\cdot 3^2\cdot 13.$

Suy ra: $ƯCLN(180, 234) = 2\cdot 3^2 = 18.$

b) Vì $ƯCLN(180, 234) = 18$ nên $ƯC(180, 234) = Ư(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}.$

a) $ƯC(16, 24) = ?$

Ta có: $16=2^4$ và $24 = 2^3\cdot 3.$

Suy ra: $ƯCLN(16, 24) = 2^3 = 8.$

Suy ra: $ƯC(16, 24) = Ư(8) = \{1; 2; 4; 8\}.$

b) $ƯC(16, 80,176) = ?$

Ta có: $16 = 2^4;$ $80 = 2^4\cdot 5$ và $176 = 2^4\cdot 11.$

Suy ra: $ƯCLN(16, 80, 176) = 2^4 = 16.$

Suy ra: $ƯC(16, 80, 176) = Ư(16) = \{1; 2; 4; 8; 16\}.$

c) $ƯC(60, 90, 135) = ?$

Ta có: $60 = 2^2\cdot 3\cdot 5;$ $90 = 2\cdot 3^2\cdot 5$ và $135= 3^3\cdot 5.$

Suy ra: $ƯCLN(60, 90, 135) = 3\cdot 5 = 15.$

Suy ra: $ƯC(60, 90, 135) = Ư(15) = \{1; 3; 5; 15\}.$

a) Vì $36\;\vdots\;x$ và $24\;\vdots\;x$ nên $x$ là ước chung của $36$ và $24.$

Ta có: $36 = 2^2\cdot 3^2$ và $24 = 2^3\cdot 3.$

Suy ra: $ƯCLN(36, 24) = 2^2\cdot 3 = 12.$

Suy ra: $x\in ƯC(36, 24) = Ư(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}.$

Vì $x>3$ nên $x$ bằng $4,$ hoặc $6,$ hoặc $12.$

b) Vì $150\;\vdots\;x,$ $84\;\vdots\;x,$ $30\;\vdots\;x$ nên $x\in ƯC(150, 84, 30).$

Ta có: $150 = 2\cdot 3\cdot 5^2;$ $84 =2^2\cdot 3\cdot 7$ và $30 = 2\cdot 3\cdot 5.$

Suy ra: $ƯCLN(150, 84, 30) = 2\cdot 3 = 6.$

Suy ra: $x\in ƯC(150, 84, 30) = Ư(6) = \{1; 2; 3; 6\}.$

Vì $x>2$ nên $x=3$ hoặc $x=6.$

c) Ta có: $70 = 2\cdot 5\cdot 7$ và $84 = 2^2\cdot 3\cdot 7$

Suy ra: $ƯCLN(70, 84) = 2\cdot 7 = 14.$

Suy ra: $x\in ƯC(70, 84) = Ư(14) =\{1; 2; 7; 14\}.$

Vì $x>8$ nên $x=14.$

Vì $x$ là số tự nhiên lớn nhất mà $160\;\vdots\;x$ và $240\;\vdots\;x$ nên $x=ƯCLN(160, 240).$

Ta có: $160 = 2^5\cdot 5$ và $240 = 2^4\cdot 3\cdot 5.$

Do đó, $ƯCLN(160, 240) = 2^4\cdot 5 = 80.$

Vậy $x=80.$

Gọi $x$ là số học sinh lớp 6A.

Cô hiệu trưởng đã chia hết $129$ quyển vở và $215$ bút chì màu cho $x$ học sinh nên $129\;\vdots\;x$ và $215\;\vdots\;x.$

Do đó $x$ là ước chung của $129$ và $215.$

Ta có: $129 = 3\cdot 43$ và $215 = 5\cdot 43.$

Suy ra: $ƯCLN(129, 215) = 43.$

Suy ra: $x\in ƯC(129, 215) = Ư(43) = \{1; 43\}.$

Vì $x$ là số học sinh của lớp nên $x>1.$ Do đó, $x=43.$

Vậy lớp 6A có $43$ học sinh.

Gọi $x$ là số phần thưởng nhiều nhất chia được.

Chia đều $24$ quyển vở, $48$ bút bi và $36$ gói bánh thành $x$ phần thưởng nên $24\;\vdots\;x;$ $48\;\vdots\;x$ và $36\;\vdots\;x.$

Do đó, $x$ là ước chung của $24;$ $48$ và $36.$ Nhưng vì cần tìm số phần thưởng nhiều nhất nên $x= ƯCLN(24, 48, 36).$

Ta có: $24 = 2^3\cdot 3;$ $48 = 2^4\cdot 3$ và $36 = 2^2\cdot 3^2.$

Suy ra: $x= ƯCLN(24, 48, 36) = 2^2\cdot 3 = 12.$

Vậy chia được nhiều nhất là $12$ phần thưởng.

Khi đó mỗi phần thưởng có:

+) số quyển vở là: $24 : 12 = 2$ (quyển);

+) số bút bi là: $48 : 12 = 4$ (bút);

+) số gói bánh là: $36 : 12 = 3$ (gói).

Gọi $x$ là số cây mỗi học sinh trồng được.

Vì mỗi học sinh trồng được nhiều hơn $2$ cây nên $x>2.$

Lớp 6A trồng được $132$ cây nên $132\;\vdots\;x.$

Lớp 6B trồng được $135$ cây nên $135 \;\vdots\;x.$

Vậy $x$ là ước chung của $132$ và $135.$

Ta có: $132 =2^2\cdot 3\cdot 11$ và $135 = 3^3\cdot 5.$

Suy ra: $ƯCLN(132, 135) = 3.$

Suy ra: $x\in ƯC(132, 135) = Ư(3) = \{1; 3\}.$

Vì $x>2$ nên $x=3.$

Vậy mỗi học sinh trồng được $3$ cây.

Suy ra:

+) Số học sinh lớp 6A là: $132 : 3 =44$ (học sinh).

+) Số học sinh lớp 6B là: $135 : 3 = 45$ (học sinh).

Gọi $x$ là số tổ.

$28$ nam và $24$ nữ chia đều vào $x$ tổ nên $28\;\vdots\;x$ và $24\;\vdots\;x.$

Do đó $x$ là ước chung của $28$ và $24.$

Ta có: $28 = 2^2\cdot 7$ và $24 = 2^3\cdot 3.$

Suy ra: $ƯCLN(28, 24) = 2^2 = 4.$

Suy ra: $x\in ƯC(28, 24) = Ư(4) = \{1; 2; 4\}.$

Vì số tổ nhiều hơn $1$ nên $x>1.$ Suy ra $x=2$ hoặc $x=4.$

Vậy có hai cách chia tổ là chia thành $2$ tổ hoặc chia thành $4$ tổ.

Để mỗi tổ có số học sinh ít nhất thì số tổ nhiều nhất, tức là chia thành $4$ tổ.

Gọi $x$ là giá trị lớn nhất của cạnh hình vuông.

Khi đó, $52\;\vdots\;x$ và $36\;\vdots\;x.$

Do đó, $x$ là ước chung của $52$ và $36.$ Nhưng vì là giá trị lớn nhất nên $x=ƯCLN(52, 36).$

Ta có: $52 = 2^2\cdot 13$ và $36 = 2^2\cdot 3^2.$

Suy ra: $x=ƯCLN(52, 36) = 2^2 = 4.$

Vậy cạnh hình vuông lớn nhất bằng $4$ mét.

Mở rộng:

Khi đó, diện tích mỗi hình vuông là $4\cdot 4 = 16\;(m^2)$ và diện tích hình chữ nhật là $52\cdot 36 = 1\;872\;(m^2).$

Suy ra số hình vuông chia được là: $1\;872 : 16 = 117$ (hình vuông).

Để không viên gạch nào bị cắt xén thì chiều dài và chiều rộng căn phòng đều phải chia hết cho độ dài cạnh của viên gạch. Do đó, độ dài lớn nhất của cạnh viên gạch là ước chung lớn nhất của chiều dài và chiều rộng căn phòng, tức là $ƯCLN(680, 480).$

Ta có: $680 = 2^3\cdot 5\cdot 17$ và $480 = 2^5\cdot 3\cdot 5.$

Suy ra: $ƯCLN(680, 480) = 2^3\cdot 5 = 40.$

Vậy viên gạch có độ dài lớn nhất là $40\;cm.$

Vì $x+150$ là bội của $x$ nên $x+150\;\vdots\;x.$ Mà $x\;\vdots\;x$ nên $150\;\vdots\;x.$

Vì $x+375$ là bội của $x$ nên $x+375\;\vdots\;x.$ Mà $x\;\vdots\;x$ nên $375\;\vdots\;x.$

Vậy $x$ là số tự nhiên lớn nhất (theo đề) thỏa mãn $150\;\vdots\;x$ và $375\;\vdots\;x.$ Do đó, $x=ƯCLN(150, 375).$

Ta có: $150 = 2\cdot 3\cdot 5^2$ và $375 = 3\cdot 5^3.$

Suy ra: $ƯCLN(150, 375) = 3\cdot 5^2 = 75.$

Vậy $x=75.$

Muốn số cây phải trồng là ít nhất thì khoảng cách giữa hai cây trồng liên tiếp phải lớn nhất; gọi $a$ (mét) là khoảng cách này thì $a$ là số lớn nhất thỏa mãn $120\;\vdots\;a$ và $36\;\vdots\;a.$

Suy ra $a = ƯCLN(120, 36).$

Ta có: $36 = 2^2\cdot 3^2$ và $120 = 2^3\cdot 3\cdot 5.$

Do đó: $a = ƯCLN(120, 36) = 3\cdot 2^2 = 12.$

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai cây trồng liên tiếp là $12$ mét.

Chu vi của vườn là: $(120+36)\cdot 2 = 312\;(m).$

Tổng số cây trồng ít nhất là: $312 : 12 = 26$ (cây).

Vì $322$ chia cho $a$ thì dư $17$ nên $332-17=315\;\vdots\;a$ và $a>17.$

Vì $555$ chia cho $a$ thì dư $15$ nên $555-15=540\;\vdots\;a$ và $a>15.$

Do hai điều trên, ta suy ra: $a\in ƯC(315, 540)$ và $a>17.$

Ta có: $315 = 3^2\cdot 5\cdot 7$ và $540 = 2^2\cdot 3^3\cdot 5.$

Suy ra: $ƯCLN(315, 540) = 3^2\cdot 5 = 45.$

Do đó: $a\in ƯC(315, 540) = Ư(45) = \{1; 3; 5; 9; 15; 45\}.$

Vì $a>17$ nên $a=45.$

Vậy $a=45.$

Gọi $x$ là số học sinh được thưởng.

Vì $100$ quyển vở chia cho $x$ học sinh còn dư $4$ quyển, nên $100$ chia cho $x$ dư $4.$

Suy ra: $100-4=96\;\vdots\;x$ và $x>4.$

Vì $90$ bút chì chia cho $x$ học sịnh còn dư $18$ bút, nên $90$ chia cho $x$ dư $18.$

Suy ra: $90-18=72\;\vdots\;x,$ hay $x>18.$

Do đó: $x\in ƯC(96, 72)$ và $x>18.$

Ta có: $96 = 2^5\cdot 3$ và $72 = 2^3\cdot 3^2.$

Suy ra: $ƯCLN(96, 72) = 2^3\cdot 3 = 24.$

Do đó: $x\in ƯC(96, 72) = Ư(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}.$

Vì $x>18$ nên $x=24.$

Vậy có $24$ học sinh được thưởng.

Gọi $d$ là một ước chung của $a$ và $a+2.$ Khi đó, $a\;\vdots\;d$ và $a+2\;\vdots\;d.$

Suy ra: $(a+2) – a \;\vdots\;d,$ hay $2\;\vdots\;d.$

Do đó $d=1$ hoặc $d=2.$

+) Nếu $a$ là số lẻ thì $a+2$ là số chẵn, và $ƯCLN(a, a+2) = 1.$

+) Nếu $a$ là số chẵn thì $a+2$ là số chẵn, và $ƯCLN(a, a+2)=2.$

Gọi $ƯCLN(11a+2b, 18a+5b) = d.$

Khi đó, $11a+2b\;\vdots\;d$ và $18a+5b\;\vdots\;d.$

Suy ra: $11\cdot (18a+5b)-18\cdot (11a+2b) = 19b\;\vdots\;d$ và $5\cdot (11a+2b) – 2\cdot (18a+5b) = 19a\;\vdots\;d.$

Vì $ƯCLN(a, b) = 1$ nên $a$ và $b$ không cùng chia hết cho $d.$

Suy ra: $19\;\vdots\;d.$

Do đó $d=1$ hoặc $d=19.$

Gọi $d$ là một ước chung của $3n+4$ và $5n+1.$

Ta có $3n+4\;\vdots \;d$ và $5n+1\;\vdots\; d.$

Suy ra $5(3n+4) – 3(5n+1) \;\vdots\; d,$ tức là $17\;\vdots\; d.$

Vậy $d\in Ư(17) = \{1; 17\}.$

Để $3n+4$ và $5n+1$ có ước chung khác $1$ thì $3n+4\;\vdots\;17.$

Suy ra: $3n+4 – 34 \;\vdots\;17,$ hay $3(n-10)\;\vdots\;17.$

Ta lại có: $ƯCLN(3,17) = 1$ nên $n-10 \;\vdots\;17.$

Do $n<30$ nên $n=10$ hoặc $n=27.$

Gọi năm số tự nhiên đã cho là $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $a_4,$ $a_5,$ ước chung lớn nhất của chúng là $d.$

Ta có: $a_1=dk_1,$ $a_2=dk_2,$ $a_3=dk_3,$ $a_4=dk_4,$ $a_5=dk_5.$

Nên: $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = d(k_1+k_2+k_3+k_4+k_5)$

Do đó: $156 = d(k_1+k_2+k_3+k_4+k_5)$

Suy ra $156\;\vdots\;d,$ hay $d$ là ước của $156.$

Ta lại có $k_1+k_2+k_3+k_4+k_5\geq 5$ nên $156= d(k_1+k_2+k_3+k_4+k_5) \geq d\cdot 5,$ suy ra $d\leq 31.$

Phân tích ra thừa số nguyên tố: $156 = 2^2\cdot 3\cdot 13.$

Ước lớn nhất của $156$ không vượt quá $31$ là $26.$

Giá trị lớn nhất của $d$ là $26,$ xảy ra khi chẳng hạn $a_1=a_2=a_3=a_4=26$ và $a_5=52.$

a) Gọi $d$ là ước chung của $2n+1$ và $6n+5$ thì $2n+1\;\vdots\;d$ và $6n+5\;\vdots\;d.$

Do đó $(6n+5) – 3\cdot (2n+1) \;\vdots\; d,$ hay $2\;vdots\;d.$

Vì $d$ là ước của số lẻ $2n+1$ nên $d\neq 2.$ Vậy $d=1,$ tức là $ƯCLN(2n+1, 6n+5) = 1.$

Do đó, $2n+1$ và $6n+5$ nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi $d$ là ước chung của $3n+2$ và $5n+3$ thì $3n+2\;\vdots\;d$ và $5n+3\;\vdots\;d.$

Do đó $5\cdot (3n+2) – 3\cdot (5n+3) \;\vdots\;d,$ hay $1\;\vdots\;d.$

Suy ra: $d=1,$ tức là $ƯCLN(3n+2, 5n+3) = 1.$

Do đó, $3n+2$ và $5n+3$ nguyên tố cùng nhau.

Gọi $d$ là ước chung của $2n+1$ và $7n+2$ thì $2n+1\;\vdots\;d$ và $7n+2\;\vdots\;d.$

Do đó: $7\cdot (2n+1) – 2\cdot (7n+2) \;\vdots\;d,$ hay $3\;\vdots\;d.$

Suy ra $d\in\{1; 3\}.$

Để $2n+1$ và $7n+2$ nguyên tố cùng nhau thì $ƯCLN(2n+1, 7n+2) =1.$ Khi đó, $d\neq 3.$

Vậy ta cần tìm $n$ để $2n+1 \;\not{\vdots}\;3.$ Một cách khác, ta tìm những số $n$ để $2n+1\;\vdots\;3,$ rồi loại những số này ra để được những số cần tìm.

Khi $2n+1\;\vdots\;3$ thì $2n+1 +3\;\vdots\;3,$ tức là $2\cdot (n+2)\;\vdots\;3.$

Do $ƯCLN(2, 3) =1$ nên $n+2\;\vdots\;3.$ Suy ra $n=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}.$

Vậy khi $2n+1\;\vdots\;3$ thì $n=3k+1$ (với $k\in\mathbb{N}).$

Do đó, khi $n\neq 3k+1$ (với $k\in\mathbb{N})$ thì $2n+1\;\not{\vdots}\;3,$ tức là $d\neq 3.$ Do đó, $2n+1$ và $7n+2$ nguyên tố cùng nhau.

Đáp án: $n\neq 3k+1$ với $k\in\mathbb{N}.$

a) $a-b=96$ và $ƯCLN(a, b) = 16.$

Vì $ƯCLN(a, b) = 16$ nên $a=16m,$ $b=16n$ và $ƯCLN(m, n) =1.$

Ta có: $a-b=96$ nên $16m – 16n = 96,$ suy ra $m-n=6.$

Do $a=16m<200,$ nên $m\leq 12.$

Mặt khác, $m-n=6$ nên $m=6+n\geq 7$ (vì $n\geq 1).$

Vậy $7\leq m\leq 12,$ $m-n=6,$ $ƯCLN(m,n)=1.$

Suy ra: $m=7, n=1;$ hoặc $m=11, n=5.$

Khi đó: $a=112, b=16;$ hoặc $a=176, b= 80.$

b) $a-b=90$ và $ƯCLN(a, b) = 15.$

Vì $ƯCLN(a, b) = 15$ nên $a=15m,$ $b=15n$ và $ƯCLN(m, n) =1.$

Ta có: $a-b=90$ nên $15m – 15n = 90,$ suy ra $m-n=6.$

Do $a=15m<200,$ nên $m\leq 13.$

Mặt khác, $m-n=6$ nên $m=6+n\geq 7$ (vì $n\geq 1).$

Vậy $7\leq m\leq 13,$ $m-n=6,$ $ƯCLN(m,n)=1.$

Suy ra: $m=7, n=1;$ hoặc $m=11, n=5;$ hoặc $m=13, n=7.$

Khi đó: $a=105, b=15;$ hoặc $a=165, b= 75;$ hoặc $a=195, b=105.$

Vì $ƯCLN(a, b) = 4$ nên $a=4m,$ $b=4n$ và $ƯCLN(m, n) = 1.$

Ta có $ab=448$ nên $4m\cdot 4n = 448,$ suy ra $mn = 28.$

Suy ra: $28\;\vdots\;m,$

Suy ra: $m\in Ư(28)=\{ 1; 2; 4; 7; 14; 28\}$

Vì $a<b$ nên $m<n.$

Chú ý rằng $ƯCLN(m,n)=1,$ ta có:

+) Nếu $m= 1$ thì $n=28:m=28.$

+) Nếu $m=2$ thì $n= 28:2=14.$ (loại vì $ƯCLN(m,n) = ƯCLN(2, 14) = 2\neq 1)$

+) Nếu $m=4$ thì $n= 28:4=7.$

+) Nếu $m= 7$ thì $n= 28:7 = 4.$ (loại vì $m>n)$

+) Nếu $m=14$ thì $n=28:14=2.$ (loại vì $m>n)$

+) Nếu $m=28$ thì $n=28:28=1.$ (loại vì $m>n)$

Vậy $m=1, n=28;$ hoặc $m= 4, n=7.$

Khi đó, $a=4, b=112;$ hoặc $a=16, b=28.$