Sau đây là các bài tập TOÁN về TÍNH CHẤT CHIA HẾT dành cho học sinh lớp 6. Trước khi làm bài tập, nên xem lại lý thuyết trong các bài liên quan:
Nên xem:
Các dạng bài tập thường gặp:
Dạng 1: Xét tính chia hết của tổng hoặc hiệu
✨ Trường hợp CHIA HẾT: Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó:
Nếu a[nbsp]⋮[nbsp]m và b[nbsp]⋮[nbsp]m thì (a[nbsp]+[nbsp]b)[nbsp]⋮[nbsp]m.
✨ Trường hợp KHÔNG CHIA HẾT: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số đã cho, và tất cả các số còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.
Nếu a[nbsp]⋮[nbsp]m và b[nbsp]⋮̸[nbsp]m thì (a[nbsp]+[nbsp]b)[nbsp]⋮̸[nbsp]m.
✨ Các điều vừa nói trên đây cũng được áp dụng tương tự đối với một hiệu:
Nếu a[nbsp]⋮[nbsp]m và b[nbsp]⋮[nbsp]m thì (a[nbsp]–[nbsp]b)[nbsp]⋮[nbsp]m.
Nếu a[nbsp]⋮[nbsp]m và b[nbsp]⋮̸[nbsp] m thì (a[nbsp]–[nbsp]b)[nbsp]⋮̸[nbsp]m.
Bài tập 1.1: Không tính tổng, hãy xét xem mỗi tổng (hoặc hiệu) sau có chia hết cho 4 không?
a) 32 + 16;
b) 44 + 14;
c) 25 – 8;
d) 48 – 20.
Bài tập 1.2: Không tính tổng, xét xem tổng (hoặc hiệu) nào sau đây chia hết cho 6?
a) 9 + 12 + 48;
b) 24 + 54 – 18;
Bài tập 1.3: Xét xem tổng hoặc hiệu nào sau đây chia hết cho 7?
a) 21 – 14 + 70;
b) 25 + 38;
c) 20 – 12 + 41.
Dạng 2: Xét tính chia hết của tích
✨ Nếu có ít nhất một thừa số chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.
Nếu a[nbsp]⋮[nbsp]m thì (a[nbsp].[nbsp]b)[nbsp]⋮[nbsp]m.
Bài tập 2.1: Trong các tích sau, tích nào chia hết cho 3?
a) 25 . 6;
b) 5 . 7 . 15.
Bài tập 2.2: Hãy giải thích vì sao tích 1[nbsp].[nbsp]2[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]4[nbsp].[nbsp]5 chia hết cho 10?
Bài tập 2.3: Hãy xét xem giá trị của các biểu thức sau có chia hết cho 7 không?
a) 7 . 218 + 49;
b) 28 . 12 + 75;
c) 105 . 7 + 13;
d) 74 + 2[nbsp]021.
Dạng 3: Tìm x để biểu thức chứa x chia hết cho một số nào đó.
Bài tập 3.1: Cho tổng A[nbsp]=[nbsp]12[nbsp]+[nbsp]x, với x[nbsp]∈[nbsp]ℕ. Tìm x để:
a) A chia hết cho 2;
b) A không chia hết cho 2.
Bài tập 3.2: Cho tổng B[nbsp]=[nbsp]15[nbsp]+[nbsp]x[nbsp]+[nbsp]3, với x ∈ ℕ. Tìm x để:
a) B chia hết cho 3;
b) B không chia hết cho 3.
Bài tập 3.3: Tìm x để giá trị của biểu thức 25[nbsp].[nbsp]29[nbsp]+[nbsp]x chia hết cho 5.
Dạng 4: Nâng cao – Chứng minh một tính chất nào đó
Bài tập 4.1:
a) Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
b) Theo em, tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 không?
Bài tập 4.2:
a) Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.
b) Theo em, tích của ba số tự nhiên liên tiếp là số chẵn hay số lẻ?
Bài tập 4.3:
a) Chứng minh rằng số có dạng thì chia hết cho 7.
b) Số có dạng có chia hết cho 11 hay không? Vì sao?
Bài tập 4.1:
a) Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
b) Theo em, tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 không?
Bài tập 4.2:
a) Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.
b) Theo em, tích của ba số tự nhiên liên tiếp là số chẵn hay số lẻ?
Bài tập 4.3:
a) Chứng minh rằng số có dạng thì chia hết cho 7.
b) Số có dạng có chia hết cho 11 hay không? Vì sao?
Nên xem:
Đáp án các bài tập:
Dạng 1:
Bài tập 1.1:
a) Vì 32 và 16 đều chia hết cho 4 nên tổng 32[nbsp]+[nbsp]16 chia hết cho 4.
b) Vì 44 chia hết cho 4, nhưng 14 không chia hết cho 4 nên tổng 44[nbsp]+[nbsp]14 không chia hết cho 4.
c) Vì 25 không chia hết cho 4 và 8 chia hết cho 4 nên hiệu 25[nbsp]–[nbsp]8 không chia hết cho 4.
d) Vì 48 và 20 đều chia hết cho 4 nên hiệu 48[nbsp]–[nbsp]20 chia hết cho 4.
Bài tập 1.2:
a) Vì 9[nbsp]⋮̸[nbsp]6; 12[nbsp]⋮[nbsp]6 và 48[nbsp]⋮[nbsp]6 nên (9[nbsp]+[nbsp]12[nbsp]+[nbsp]48)[nbsp]⋮̸[nbsp]6.
b) Vì 24[nbsp]⋮[nbsp]6; 54[nbsp]⋮[nbsp]6 và 18[nbsp]⋮[nbsp]6 nên (24[nbsp]+[nbsp]54[nbsp]–[nbsp]18)[nbsp]⋮[nbsp]6.
Bài tập 1.3:
a) Vì 21; 14 và 70 đều chia hết cho 7 nên 21[nbsp]–[nbsp]14[nbsp]+[nbsp]70 chia hết cho 7.
b) Ta có: 25[nbsp]+[nbsp]38[nbsp]=[nbsp]63
Vì 63 chia hết cho 7 nên 25[nbsp]+[nbsp]38 chia hết cho 7.
c) Ta có: 20[nbsp]–[nbsp]12[nbsp]+[nbsp]41[nbsp]=[nbsp]49.
Vì 49 chia hết cho 7 nên 20[nbsp]–[nbsp]12[nbsp]+[nbsp]41 chia hết cho 7.
Lưu ý: Trong câu b), mặc dù 25 và 38 đều không chia hết cho 7 nhưng ta không được quyền kết luận 25[nbsp]+[nbsp]38 không chia hết cho 7. Ở đây, ta bắt buộc phải tính tổng 25[nbsp]+[nbsp]38 = 63 mới biết được nó có chia hết cho 7 hay không.
Dạng 2:
Bài tập 2.1:
a) Vì 6[nbsp]⋮[nbsp]3 nên tích 25[nbsp].[nbsp]6 chia hết cho 3.
b) Vì 15[nbsp]⋮[nbsp]3 nên tích 5[nbsp].[nbsp]7[nbsp].[nbsp]15 chia hết cho 3.
Bài tập 2.2: Ta có: 1[nbsp].[nbsp]2[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]4[nbsp].[nbsp]5 = 1[nbsp].[nbsp](2[nbsp].[nbsp]5)[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]4 = 10[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]4.
Tích này nhận 10 làm một thừa số nên chia hết cho 10.
Bài tập 2.3:
a) Vì tích 7[nbsp].[nbsp]218 có chứa thừa số 7 nên chia hết cho 7.
Mặt khác, 49 cũng chia hết cho 7.
Do đó, tổng 7[nbsp].[nbsp]218[nbsp]+[nbsp]49 chia hết cho 7.
b) Vì 28 chia hết cho 7 nên tích 28[nbsp].[nbsp]12 chia hết cho 7.
75 chính là tích của năm số 7 nên chia hết cho 7.
Do đó, tổng 28[nbsp].[nbsp]12[nbsp]+[nbsp]75 chia hết cho 7.
c) Vì tích 105[nbsp].[nbsp]7 có chứa thừa số 7 nên chia hết cho 7.
Nhưng 13 không chia hết cho 7.
Do đó, tổng 105[nbsp].[nbsp]7[nbsp]+[nbsp]13 không chia hết cho 7.
d) 74 là tích của bốn số 7 nên chia hết cho 7.
Nhưng 2[nbsp]021 không chia hết cho 7.
Do đó, tổng 74[nbsp]+[nbsp]2[nbsp]021 không chia hết cho 7.
Dạng 3:
Bài tập 3.1:
a) Vì 12 chia hết cho 2 nên để tổng A[nbsp]=[nbsp]12[nbsp]+[nbsp]x chia hết cho 2 thì x phải chia hết cho 2, tức x là số tự nhiên chẵn.
b) Vì 12 chia hết cho 2 nên để tổng A[nbsp]=[nbsp]12[nbsp]+[nbsp]x không chia hết cho 2 thì x không chia hết cho 2, vậy x là số tự nhiên lẻ.
Bài tập 3.2:
a) Vì 15 và 3 đều chia hết cho 3 nên để tổng B[nbsp]=[nbsp]15[nbsp]+[nbsp]x[nbsp]+[nbsp]3 chia hết cho 3 thì x phải chia hết cho 3.
b) Vì 15 và 3 đều chia hết cho 3 nên để tổng B[nbsp]=[nbsp]15[nbsp]+[nbsp]x[nbsp]+[nbsp]3 không chia hết cho 3 thì x không chia hết cho 3.
Bài tập 3.3: Vì 25 chia hết cho 5 nên tích 25[nbsp].[nbsp]29 cũng chia hết cho 5. Do đó, để tổng 25[nbsp].[nbsp]29[nbsp]+[nbsp]x chia hết cho 5 thì x phải chia hết cho 5.
Dạng 4:
Bài tập 4.1:
a) Gọi n là số tự nhiên nhỏ nhất thì hai số liên tiếp theo nó sẽ là (n[nbsp]+[nbsp]1) và (n[nbsp]+[nbsp]2).
Vậy tổng của ba số liên tiếp này là:
n + (n[nbsp]+[nbsp]1) + (n[nbsp]+[nbsp]2) = 3n[nbsp]+[nbsp]3 = 3[nbsp].[nbsp](n[nbsp]+[nbsp]1)
Tích 3[nbsp].[nbsp](n[nbsp]+[nbsp]1) có chứa thừa số 3 nên chia hết cho 3.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì luôn chia hết cho 3.
b) Tương tự câu a), gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là n; n[nbsp]+[nbsp]1; n[nbsp]+[nbsp]2; n[nbsp]+[nbsp]3.
Khi đó, tổng của chúng là:
n + (n[nbsp]+[nbsp]1) + (n[nbsp]+[nbsp]2) + (n[nbsp]+[nbsp]3) = 4n[nbsp]+[nbsp]6.
Vì tích 4n có chứa thừa số 4 nên chia hết cho 4. Nhưng 6 không chia hết cho 4 nên 4n[nbsp]+[nbsp]6 không chia hết cho 4.
Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Bài tập 4.2:
a) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp đó là n và (n[nbsp]+[nbsp]1).
Tích của chúng là: n[nbsp].[nbsp](n[nbsp]+[nbsp]1)
Nếu n là số chẵn thì n[nbsp]⋮[nbsp]2, do đó tích n[nbsp].[nbsp](n[nbsp]+[nbsp]1) chia hết cho 2.
Nếu n là số lẻ thì (n[nbsp]+[nbsp]1) là số chẵn, do đó (n[nbsp]+[nbsp]1)[nbsp]⋮[nbsp]2. Suy ra, n[nbsp].[nbsp](n[nbsp]+[nbsp]1) chia hết cho 2.
Vậy trong mọi trường hợp (của n) thì tích n[nbsp].[nbsp](n[nbsp]+[nbsp]1) đều chia hết cho 2. Vậy n[nbsp].[nbsp](n[nbsp]+[nbsp]1) là có giá trị là một số chẵn.
Tóm lại, tích của hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.
b) Vì tích của hai số liên tiếp là một số chẵn nên dù số liên tiếp thứ ba là chẵn hay lẻ thì tích của ba số này cũng là một số chẵn.
Bài tập 4.3:
a) Ta có:
Mà 1[nbsp]001 chia hết cho 7 nên tích cũng chia hết cho 7.
Vậy số có dạng thì chia hết cho 7.
b) Vì 1[nbsp]001 chia hết cho 11 nên số có dạng cũng chia hết cho 11.