Khái niệm số vô tỷ.
Hoạt động ghép hình sau đây sẽ giúp chúng ta khám phá ra một loại số mới, đó là số vô tỷ!
Dùng hai miếng bìa hình vuông có cạnh là $1$ dm, ta có thể cắt và ghép chúng thành một hình vuông mới như mô tả dưới đây. (?!!)
Ta thấy ngay rằng:
+) Mỗi hình vuông ban đầu có diện tích bằng $1$ (dm2).
+) Sau khi cắt ghép, ta được hình vuông mới. Nếu gọi $x$ (dm) là độ dài cạnh của hình vuông mới thì diện tích của hình vuông mới bằng $x^2$ (dm2).
Vì hình vuông mới được ghép từ hai hình vuông ban đầu mà không thừa mảnh nào nên diện tích của hình vuông mới bằng tổng diện tích hai hình vuông ban đầu. Do đó: $x^2=2.$
Người ta chứng minh được rằng số $x$ thỏa mãn $x^2=2$ (như trên vừa đề cập) không thể là số hữu tỷ (tức là không biểu diễn được dưới dạng phân số). Điều này làm nảy sinh một loại số mới, được gọi là số vô tỷ.
Số vô tỷ không viết được dưới dạng phân số.
Số vô tỷ không phải là số hữu tỷ.
Tập hợp các số vô tỷ được ký hiệu là $\mathbb{I}.$
Ví dụ 1: Số $-2\;023$ có phải là số vô tỷ không? Vì sao?
Giải:
Số $-2\;023$ viết được dưới dạng phân số là $-2\;023=\dfrac{-2\;023}{1}.$ Do đó, $-2\;023$ không phải là một số vô tỷ (mà nó là số hữu tỷ).
Căn bậc hai số học.
Cho trước một số $a$ không âm. Nếu số $x$ không âm và thỏa $x^2=a$ thì $x$ được gọi là căn bậc hai số học của $a,$ ký hiệu là $\sqrt{a}.$
Chẳng hạn, vì $5$ không âm và $5^2=25$ nên $5$ là căn bậc hai số học của $25.$ Viết bằng ký hiệu là: $\sqrt{25}=5$ (đọc là “căn bậc hai số học của $25$ bằng $5$”).
Ví dụ 2:
a) Số $0,4$ có phải là căn bậc hai số học của $0,16$ không? Vì sao?
b) Số $-3$ có phải là căn bậc hai số học của $9$ không? Vì sao?
c) Số $8$ có phải là căn bậc hai số học của $72$ không? Vì sao?
Giải:
a) PHẢI. Vì $0,4$ không âm và $(0,4)^2=0,16$ nên $0,4$ là căn bậc hai số học của $0,16.$
b) KHÔNG. Vì $-3 < 0$ nên $-3$ không phải là căn bậc hai số học của $9$ (cũng không phải là căn bậc hai số học của bất cứ số không âm nào).
c) KHÔNG. Vì $8^2=64\neq 72$ nên $8$ không phải là căn bậc hai số học của $72.$
Mẹo: Muốn biết một số $x$ có phải là căn bậc hai số học của số $a$ $(a\geq 0)$ hay không, ta kiểm tra hai điều:
+) $x\geq 0$ (tức là không âm).
+) $x^2=a.$
Ví dụ 3: Hãy giải thích vì sao $\sqrt{9}=3,$ $\sqrt{239^2}=239?$
Giải:
+) $\sqrt{9}=3$ vì $3 > 0$ và $3^2=9$ (nên $3$ là căn bậc hai số học của $9).$
+) $\sqrt{239^2}=239$ vì $239 > 0$ và hiển nhiên $239^2=239^2$ (nên $239$ là căn bậc hai số học của $239^2).$
Mẹo: Hãy nhớ $\sqrt{a}=x$ nếu $x\geq 0$ và $x^2=a.$
Lưu ý:
+) Căn bậc hai số học của $0$ bằng $0$ $(\sqrt{0}=0).$
+) Số âm không có căn bậc hai số học.
Dùng máy tính cầm tay để tính căn bậc hai số học.
Sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính được (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai số học của một số không âm bất kỳ. Chẳng hạn:
Ví dụ 4: Một mảnh đất hình vuông có diện tích bằng $144$ m2.
a) Gọi $a$ là độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông đó. Hãy giải thích vì sao $a=\sqrt{144}?$
b) Tính độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông đó.
Giải:
a) Vì $a$ là độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông đó nên diện tích mảnh đất đó bằng $a^2=144.$
Vì $a$ biểu thị độ dài nên $a\geq 0.$
Do $a\geq 0$ và $a^2=144$ nên $a$ là căn bậc hai số học của $144.$ Tức là $a=\sqrt{144}.$
b) Dùng máy tính cầm tay, ta tính được $\sqrt{144}=12.$
Vậy độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông đó là $a=12$ m.
Bài tập:
1)- Chứng tỏ rằng:
a) $1,2$ là căn bậc hai số học của $1,44.$
b) $\sqrt{100}=10.$
2)- Mỗi cách viết sau đây đúng hay sai? Vì sao?
a) $\sqrt{8^2}=8.$
b) $\sqrt{(-8)^2}=-8.$
c) $\sqrt{(-8)^2}=8.$
3)- Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
a) Nếu $a\in\mathbb{Q}$ thì $a$ không thể là số vô tỷ.
b) Nếu $a\in\mathbb{Z}$ thì $a$ không thể là số hữu tỷ.
c) Số $-1,903$ là số vô tỷ vì nó không phải là một phân số.
d) $20,22\in\mathbb{I}.$
e) Mọi số vô tỷ đều khác $0.$
4)- Tính độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng:
a) $3\;600$ m2.
b) $1$ ha.
Giải:
1)-
a) Vì $1,2 > 0$ và $(1,2)^2=1,44$ nên $1,2$ là căn bậc hai số học của $1,44.$
b) Vì $10 > 0$ và $10^2=100$ nên $\sqrt{100}=10.$
2)-
a) $\sqrt{8^2}=8$ đúng (vì $8 > 0).$
b) $\sqrt{(-8)^2}=-8$ sai (vì $-8 < 0$ nên $-8$ không thể là căn bậc hai số học của $(-8)^2$ được.)
c) $\sqrt{(-8)^2}=8$ đúng (vì $\sqrt{(-8)^2}=\sqrt{64}=8).$
3)-
a) ĐÚNG. Vì $a\in\mathbb{Q}$ thì $a$ là số hữu tỷ; do đó, $a$ không thể là số vô tỷ được (mọi số hữu tỷ đều không phải là số vô tỷ).
b) SAI. Vì $a\in\mathbb{Z}$ thì $a$ là số nguyên; mà mọi số nguyên đều là số hữu tỷ; nên $a$ là số hữu tỷ.
c) SAI. Vì $-1,903=\dfrac{-1903}{1\;000}$ là số hữu tỷ, nên không phải là số vô tỷ.
d) SAI. Ta có $20,22=\dfrac{2022}{100}$ là số hữu tỷ, không phải số vô tỷ; do đó, viết $20,22\in\mathbb{I}$ là sai.
e) ĐÚNG. Ta có $0$ là số hữu tỷ, không phải số vô tỷ; do đó, mọi số vô tỷ đều khác $0.$
4)-
a) $\sqrt{3\;600}=60$ (m).
b) Ta có: $1$ ha = $10\;000$ m2. Do đó, độ dài cạnh hình vuông cần tìm bằng: $\sqrt{10\;000}=100$ (m).