Khái niệm số tự nhiên.
Các số $0;1;2;3;4;5;…$ là các số tự nhiên.
Chẳng hạn, số $345$ là một số tự nhiên có $3$ chữ số: hàng đơn vị là $5,$ hàng chục là $4,$ hàng trăm là $3.$
Đối với các số tự nhiên có từ $4$ chữ số trở lên, nên viết tách riêng từng nhóm ba chữ số kể từ phải sang trái cho dễ đọc. Chẳng hạn: $30\;000\;000.$
Ví dụ 1: Từ các chữ số $0;3;9,$ hãy viết tất cả các số tự nhiên:
a) có ba chữ số khác nhau.
b) có ba chữ số.
c) có hai chữ số.
Giải:
a) Bắt đầu bởi số $3,$ ta có các số: $309; 390.$
Bắt đầu bởi số $9,$ ta có các số: $903;930.$
Vậy tất cả các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lập được từ ba chữ số $0;3;9$ là: $309;390;903;930.$
b) Các số tự nhiên có ba chữ số lập được từ ba chữ số $0;3;9$ gồm:
+) $300;303;309;$ (bắt đầu bởi $30)$
+) $330;333;339;$ (bắt đầu bởi $33)$
+) $390;393;399;$ (bắt đầu bởi $39)$
+) $900;903;909;$ (bắt đầu bởi $90)$
+) $930;933;939;$ (bắt đầu bởi $93)$
+) $990;993;999$ (bắt đầu bởi $99).$
c) Các số tự nhiên có hai chữ số lập được từ ba chữ số $0;3;9$ gồm:
+) $30;33;39$ (bắt đầu bởi $3)$
+) $90;93;99$ (bắt đầu bởi $9).$
Lưu ý:
- Số tự nhiên thì không được bắt đầu bởi chữ số $0.$
- Sự khác nhau giữa câu a) và câu b) là: Trong câu a) thì mỗi chữ số chỉ được viết một lần; còn trong câu b) thì các chữ số có quyền lặp lại.
Ví dụ 2: Viết tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số bằng $7.$
Giải:
Ta cần tìm các cặp chữ số khác nhau có tổng bằng $7.$
Ta có: $1+6$ $=2+5$ $=3+4$ $=4+3$ $=5+2$ $=6+1$ $=7+0$ $=7.$
Vậy tất cả các số tự nhiên cần tìm là: $16;$ $25;$ $34;$ $43;$ $52;$ $61;$ $70.$
Cấu tạo thập phân của một số tự nhiên.
Với một số tự nhiên có nhiều chữ số, mỗi chữ số ở những vị trí khác nhau thì có giá trị khác nhau.
Chẳng hạn, số $3\textbf{2}\;021$ có hai chữ số $2.$ Tuy nhiên, giá trị của mỗi chữ số $2$ này khác nhau:
- chữ số $\textbf{2}$ (in đậm, nằm ở hàng nghìn) có giá trị bằng $2\times 1\;000=2\;000.$
- chữ số $2$ (nằm ở hàng chục) có giá trị bằng $2\times 10=20.$
Mỗi số tự nhiên đều viết được thành tổng giá trị các chữ số của nó.
Chẳng hạn: $236=2\times 100+3\times 10+6.$
Một số ký hiệu.
Ta dùng ký hiệu $\overline{ab}$ để chỉ số tự nhiên có hai chữ số (hàng chục là $a,$ hàng đơn vị là $b).$ Ta có: $\overline{ab}=a\times 10+b.$
Tương tự, ta dùng ký hiệu $\overline{abc}$ để chỉ số tự nhiên có ba chữ số (hàng trăm là $a,$ hàng chục là $b,$ hàng đơn vị là $c).$ Ta có: $\overline{abc}=1\times 100+b\times 10+c.$
Ta cũng dùng cách tương tự như trên cho các số tự nhiên có nhiều chữ số. Chẳng hạn, $\overline{abcd}$ là số có bốn chữ số là $a,b,c,d.$
Ví dụ 3: Một số tự nhiên có ba chữ số sẽ thay đổi như thế nào nếu ta thêm:
a) một chữ số $5$ vào đằng trước nó?
b) một chữ số $0$ vào đằng sau nó?
Giải:
Gọi số có ba chữ số là $\overline{abc}.$
a) Nếu ta thêm một chữ số $5$ vào trước số $\overline{abc}$ thì ta được số: $\overline{5abc}.$
Ta có:
+) $\overline{abc}=a\times 100+b\times 10+c.$
+) $\overline{5abc}=5\times 1\;000+a\times 100+b\times 10+c$ $=5\times 1\;000+\overline{abc}.$
Vậy từ số $\overline{abc}$ thành số $\overline{5abc}$ đã tăng $5\times 1\;000=5\;000$ đơn vị.
Kết luận: Nếu ta thêm một chữ số $5$ vào trước một số có ba chữ số thì ta được số mới hơn số cũ $5\;000$ đơn vị.
b) Nếu ta thêm một chữ số $0$ vào sau số $\overline{abc0}$ thì ta được số: $\overline{abc0}.$
Ta có:
+) $\overline{abc}=a\times 100+b\times 10+c.$
+) $\overline{abc0}=a\times 1\;000+b\times 100+c\times 10+0$ $=10\times(a\times 100+b\times 10+c)$ $=10\times \overline{abc}.$
Vậy nếu ta thêm một chữ số $0$ vào sau số có ba chữ số thì được số mới gấp $10$ lần số cũ.
Bài tập:
1)- Hãy viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số sao cho tổng các chữ số bằng $10,$ chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị.
2)- Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà:
a) chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị?
b) chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
c) chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị?
d) trong đó có ít nhất một chữ số $5?$
Giải:
1)- Nếu chữ số hàng đơn vị là $1,$ ta được các số: $721;$ $631;$ $541.$
Nếu chữ số hàng đơn vị là $2,$ ta được số: $532.$
Nếu chữ số hàng đơn vị từ $3$ trở lên, ta không tìm được số nào thỏa mãn đề bài.
Vậy tất cả các số cần tìm là: $721;$ $631;$ $541;$ $532.$
2)-
a) Các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị gồm: $21;$ $42;$ $63;$ $84.$ Vậy có $4$ số tự nhiên thỏa mãn đề bài.
b) Các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị gồm:
+) nếu hàng đơn vị là $0,$ ta được: $10;$ $20;$ $30;$ $40;$ $50;$ $60;$ $70;$ $80;$ $90.$ Vậy ta được $9$ số.
+) nếu hàng đơn vị là $1,$ ta được: $21;$ $31;$ $41;$ $51;$ $61;$ $71;$ $81;$ $91.$ Vậy ta được $8$ số.
+) nếu hàng đơn vị là $2,$ ta được: $32;$ $42;$ $52;$ $62;$ $72;$ $82;$ $92.$ Vậy ta được $7$ số.
+) nếu hàng đơn vị $3,$ ta được: $43;…;93.$ Vậy ta được $6$ số.
+) nếu hàng đơn vị là $4,$ ta được $5$ số.
+) nếu hàng đơn vị là $5,$ ta được $4$ số.
+) nếu hàng đơn vị là $6,$ ta được $3$ số.
+) nếu hàng đơn vị là $7,$ ta được $2$ số.
+) nếu hàng đơn vị là $8,$ ta được $1$ số.
+) nếu hàng đơn vị là $9,$ ta không tìm được số nào thỏa đề bài.
Tóm lại, ta đã tìm được tất cả $9+8+7+6+5+4+3+2+1=45$ số thỏa mãn đề bài.
c) Làm tương tự câu b). Đáp số: $36$ số.
d) Các số tự nhiên có hai chữ số mà trong đó có ít nhất một chữ số $5$ gồm:
+) $50;$ $51;$ $52;$ $53;$ $54;$ $55;$ $56;$ $57;$ $58;$ $59$ (hàng chục là $5).$
+) $15;$ $25;$ $35;$ $45;$ $65;$ $75;$ $85;$ $95$ (hàng đơn vị là $5,$ số $55$ đã kể ở trên nên không kể lại).
Vậy ta có tất cả $18$ số thỏa mãn đề bài.