Phép cộng.
Phép cộng hai số tự nhiên $a$ và $b$ (ký hiệu là $a+b)$ cho ta kết quả là một số tự nhiên. Kết quả này được gọi là tổng của $a$ và $b$ (trong đó, $a,b$ được gọi là các số hạng).
Có thể hình dung phép cộng hai số tự nhiên $a$ và $b$ như sau: Đếm ra $a$ viên bi rồi cho vào túi, đếm thêm $b$ viên bi khác rồi cho vào cùng chiếc túi đó; khi đó, đếm tất cả số bi hiện có trong túi, ta được $a+b.$
Theo trên, việc cho $a$ viên bi hay $b$ viên bi vào túi trước hay sau thì không ảnh hưởng đến tổng số bi có trong túi, tức là $a+b=b+a.$ Đây được gọi là tính chất giao hoán của phép cộng.
Tính chất của phép cộng:
- Giao hoán: $a+b=b+a.$
- Kết hợp: $(a+b)+c=a+(b+c).$
- Cộng với số $0$ thì bằng chính nó: $a+0=0+a=a.$
Chú ý rằng, do $(a+b)+c=a+(b+c)$ (tính chất kết hợp) nên ta có thể định nghĩa $a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).$ Tương tự như vậy cho một tổng có nhiều số hạng hơn.
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau một cách hợp lý nhất:
$1+2+3+4+5+6+7+8+9.$
Hướng dẫn:
– Dùng tính chất giao hoán, ta có quyền đổi chỗ và đưa các cặp số hạng có tổng tròn chục lại gần nhau: $1+2+3+4+5+6+7+8+9$ $=1+9+2+8+3+7+4+6+5.$
– Dùng tính chất kết hợp, ta tính riêng từng nhóm tròn chục: $1+9+2+8+3+7+4+6+5$ $=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5.$
Giải:
$1+2+3+4+5+6+7+8+9$
$=1+9+2+8+3+7+4+6+5$
$=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5$
$=10+10+10+10+5=45.$
Ví dụ 2:
a) Tính: $A=1+2+3+4+…+100.$
(Lưu ý: $A$ là tổng của các số tự nhiên từ $1$ đến $100.)$
b) Cho $x\in\mathbb{N}.$ Hãy thu gọn biểu thức sau: $B=(x+1)+(x+2)+(x+3)+…+(x+100).$
Hướng dẫn:
a) Đổi chỗ và nhóm theo cặp $(1+100),$ $(2+99),$ $(3+98),…,$ mỗi cặp đều có tổng bằng $101.$ Vì dãy $1;2;3;…;100$ có $100$ số nên ta có $100:2=50$ cặp như vậy. Do đó, $A=50\times 101.$
b) Vì có $100$ số từ $1$ đến $100$ nên có $100$ số $x$ đi theo đó.
Giải:
a) $A=1+2+3+…+100$
$=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)$
$=101+101+101+…+101$
$=50\times 101=5050.$
b) Ta có: $B=(x+1)+(x+2)+(x+3)+…+(x+100)$ $=(x+x+x+…+x)+(1+2+3+…+100).$
Vì dãy $1;2;3;…;100$ bao gồm $100$ số nên có $100$ số $x$ đi theo đó. Vậy $(x+x+x+…+x)=x\times 100.$
Theo kết quả ở câu a) thì $(1+2+3+…+100)=5050.$
Tóm lại, $B=x\times 100+5050.$
Phép trừ.
Ta định nghĩa phép trừ số tự nhiên dựa vào phép cộng: “Với $a,b$ là các số tự nhiên, nếu ta tìm được số $t$ sao cho $a=b+t$ thì ta gọi $t$ là hiệu của $a$ và $b,$ ký hiệu là $a-b$”.
Trong phép trừ $a-b$ thì $a$ được gọi là số bị trừ và $b$ là số trừ.
Ta có thể hình dung phép trừ số tự nhiên $a$ cho số tự nhiên $b$ như sau: Trong túi đang có $a$ viên bi, đếm và lấy ra ngoài $b$ viên bi từ trong túi; khi đó, đếm số bi còn lại trong túi, ta được $a-b.$
Nếu để ý, ta thấy việc lấy ra $b$ viên bi từ trong túi đang có $a$ viên bi chỉ thực hiện được khi $b$ không lớn hơn $a,$ tức là $a\geq b.$ Như vậy, trong phạm vi số tự nhiên, phép trừ chỉ thực hiện được khi $a\geq b.$
Ví dụ 3:
a) Tìm $x,$ biết: $17+x=23.$
b) Viết lại tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó: $B=\{x\in\mathbb{N}\;|\;17+x=23\}.$
Giải:
a) Để $17+x=23$ thì $x=23-17=6.$
b) Tập hợp $B$ bao gồm các số tự nhiên $x$ sao cho $17+x=23.$
Theo câu a) thì $x=6.$
Vậy $B=\{6\}.$
Ví dụ 4: Hãy sắp xếp sáu số $1;2;3;4;5;6$ vào các hình tròn đặt trên các cạnh của tam giác sao cho tổng các số trên cạnh nào của tam giác cũng bằng $9.$
Hướng dẫn:
Tìm các số ở ba đỉnh của tam giác trước. Sau đó, trên mỗi cạnh của tam giác, số ở giữa bằng hiệu giữa $9$ với tổng hai đỉnh.
Giải:
Giả sử khi xếp sáu số $1;2;3;4;5;6$ vào các hình tròn để thỏa mãn đề bài, ta có thứ tự các số $a;b;c;d;e;f$ như hình dưới:
Theo tính chất giao hoán của phép cộng, ta có:
$$a+b+c+d+e+f=1+2+3+4+5+6=21\;\;\;(i)$$
Tổng các số trên cạnh nào của tam giác cũng bằng $9$ nên: $a+b+c=9;$ $c+d+e=9;$ $e+f+a=9.$
Do đó: $(a+b+c)+(c+d+e)+(e+f+a)=9+9+9=27.$
Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, ta suy ra:
$$(a+b+c+d+e+f)+(c+e+a)=27\;\;\;(ii)$$
Từ $(i)$ và $(ii),$ ta suy ra: $21+(c+e+a)=27,$ hay $c+e+a=27-21=6.$
Vậy tổng các số ở ba đỉnh bằng $6.$ Do đó, các số ở ba đỉnh chỉ có thể là $1;2;3.$
Từ đó ta điền sáu số vào tam giác như sau:
Bài tập:
1)- Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:
a) Tập hợp $A$ các số tự nhiên $x$ sao cho $15-x=8.$
b) Tập hợp $B$ các số tự nhiên $x$ sao cho $x+7=14.$
c) Tập hợp $C$ các số tự nhiên $x$ sao cho $35-x=45.$
d) Tập hợp $D$ các số tự nhiên $x$ sao cho $x+13=12.$
2)- Có thể viết được hay không chín số vào một bảng ô vuông $3\times 3$ sao cho: Tổng các số trong ba dòng theo thứ tự bằng $352, 463, 541;$ tổng các số trong ba cột theo thứ tự bằng $335, 687, 234?$
3)- Điền các số tự nhiên vào các ô trống sau đây sao cho tổng ba số ở ba ô liền nhau bất kỳ đều bằng $17.$
4)- Hãy xếp chín số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ vào các hình tròn đặt trên các cạnh của tam giác bên dưới, sao cho tổng các số trên cạnh nào của tam giác cũng bằng $17.$
Giải:
1)-
a) Để $15-x=8$ thì $x=15-8=7.$ Vậy $A=\{7\}.$
b) Để $x+7=14$ thì $x=14-7=7.$ Vậy $B=\{7\}.$
c) Vì $45 > 35$ nên không có số tự nhiên nào để $35-x=45$ (do hiệu thì không được lớn hơn số bị trừ). Vậy $C=\varnothing.$
d) Vì $12 < 13$ nên không có số tự nhiên nào để $x+13 = 12$ (do tổng thì không được nhỏ hơn số hạng). Vậy $D=\varnothing.$
2)- Tổng của chín số theo dòng bằng: $352+463+541=1356.$
Tổng của chín số theo cột bằng: $335+687+234=1256.$
Ta thấy tổng của chín số theo dòng khác với theo cột $(1356\neq 1256)$ là điều vô lý nên không thể viết được chín số vào bảng ô vuông như đề bài yêu cầu.
3)- Giả sử ta xếp được các số $a, b, c, d, e, f, g$ vào các ô vuông như hình sau:
Vì tổng của ba ô liền nhau bất kỳ đều bằng $17$ nên $4+a+b=a+b+c.$ Do đó, $c=4.$
Làm tương tự như trên, vì $e+f+g=f+g+8$ nên $e=8.$
Vậy ta đã được:
Ta có $4+d+8=17,$ hay $12+d=17.$ Do đó, $d=17-12=5.$
Làm theo cách tương tự ta tìm được các số còn lại.
Kết quả là:
4)- Hãy xếp chín số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ vào các hình tròn đặt trên các cạnh của tam giác bên dưới, sao cho tổng các số trên cạnh nào của tam giác cũng bằng $17.$
Giả sử ta xếp được chín số vào tam giác như hình sau:
Tổng của chín số đó bằng: $a+b+c+d+e+f+g+h+i$ $=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.$
Tổng các số trên mỗi cạnh của tam giác đều bằng $17$ nên: $a+b+c+d$ $=d+e+f+g$ $=g+h+i+a=17.$
Do đó: $(a+b+c+d)+(d+e+f+g)+(g+h+i+a)=17+17+17=51.$
Suy ra: $(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+(d+g+a)=51.$
Suy ra: $45+(d+g+a)=51,$ hay $d+g+a=51-45=6.$
Vậy tổng các số ở ba đỉnh bằng $6,$ chỉ có thể là ba số $1, 2, 3.$ Ta chọn $a=1, d=2, g=3.$
Khi đó: $b+c=17-(a+d)=14.$ Ta chọn $b=5, c=9.$
Tương tự:
+) $e+f=17-(d+g)=12.$ Ta chọn $e=4, g=8.$
+) $h+i=17-(g+a)=13.$ Ta chọn $h=6, i=7.$
Vậy ta có thể điền chín số vào tam giác như sau để thỏa mãn đề bài:
