Phân biệt số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn, vô hạn không tuần hoàn.
Số thập phân hữu hạn thì có phần thập phân dừng lại ở một số chữ số nào đó. Chẳng hạn: $3,579;\;$ $287,1099;$ $0,04.$
Số thập phân vô hạn tuần hoàn và số thập phân vô hạn không tuần hoàn đều có phần thập phân kéo dài mãi mãi (thường được biểu thị bởi dấu ba chấm …). Trong đó:
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn thì phần thập phân của nó có một hoặc một số chữ số lặp đi lặp lại. Chẳng hạn: $56,12121212…$ (lặp lại cụm $12)$ hoặc $1,03555555…$ (lặp lại các chữ số $5).$
- Số thập phân vô hạn không tuần hoàn thì phần thập phân của nó không có sự lặp lại. Chẳng hạn: $1,23456…$ (viết liên tiếp tăng dần các số tự nhiên vào sau dấu phẩy).$
Ví dụ 1:
a) Thực hiện phép chia $33:20.$ Kết quả của phép chia này là loại số thập phân nào?
b) Thực hiện phép chia $4:3.$ Kết quả của phép chia này là loại số thập phân nào?
c) Cho số thập phân $-10,2468…$ có phần thập phân được lập nên bằng cách viết liên tiếp tăng dần các số tự nhiên chẵn vào sau dấu phẩy. Số như vậy thuộc loại số thập phân nào?
Giải:
a) Thực hiện phép chia $33:20$
Kết quả của phép chia là $1,65.$ Đây là một số thập phân hữu hạn.
b) Thực hiện phép chia $4:3$
Kết quả của phép chia là $1,333…$ Đây là một số thập phân vô hạn tuần hoàn.
c) Khi viết liên tiếp tăng dần các số tự nhiên chẵn vào sau dấu phẩy thì phần thập phân sẽ kéo dài mãi mãi và không có sự lặp lại. Vậy số $-10,2468…$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Trong số thập phân vô hạn tuần hoàn, mỗi cụm chữ số lặp đi lặp lại được gọi là một chu kỳ. Chẳng hạn, số $4,15151515…$ có chu kỳ là $15;$ số $-0,0133333…$ có chu kỳ là $3.$
Khi viết số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta để chu kỳ vào trong cặp dấu ngoặc đơn và bỏ dấu ba chấm. Chẳng hạn $4,15151515… = 4,(15)$ và $0,0133333… = 0,01(3).$
Ví dụ 2: Viết lại các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau bằng cách không dùng dấu ba chấm:
a) $4,723723723723…$
b) $51,12345454545…$
Giải:
a) $4,(723)$ (chu kỳ là $723).$
b) $51,123(45)$ (chu kỳ là $45).$
Đối chiếu với các loại số đã học.
Người ta chứng minh được rằng:
+) Mỗi số hữu tỷ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
+) Mỗi số vô tỷ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Ví dụ 3: Hãy biểu diễn mỗi số hữu tỷ sau dưới dạng số thập phân: $\dfrac{-12}{25};$ $-\dfrac{27}{2};$ $\dfrac{10}{9}.$
Hướng dẫn:
Dùng máy tính cầm tay, lấy tử số chia cho mẫu số để nhận được kết quả.
Giải:
$\dfrac{-12}{25} = -0,48.$
$-\dfrac{27}{2} = -13,5.$
$\dfrac{10}{9} = 1,11111… = 1,(1).$
Ví dụ 4: Hoàn thành các phát biểu sau bằng cách điền “vô tỷ” hoặc “hữu tỷ” vào $..?..$
a) Số $a = 1,234$ là một số thập phân hữu hạn nên $a$ là số $..?..$
b) Số $b = 6,15555… = 6,1(5)$ là một số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $b$ là số $..?..$
c) Người ta chứng minh được $\pi = 3,14159265…$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy $\pi$ là số $..?..$
d) Cho biết $c = 2,23606…$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy $c$ là số $..?..$
Giải:
a) Số $a = 1,234$ là một số thập phân hữu hạn nên $a$ là số “hữu tỷ“.
b) Số $b = 6,15555… = 6,1(5)$ là một số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $b$ là số “hữu tỷ“.
c) Người ta chứng minh được $\pi = 3,14159265…$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy $\pi$ là số “vô tỷ“.
d) Cho biết $c = 2,23606…$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy $c$ là số “vô tỷ“.
Bài tập:
1)- Biểu diễn mỗi số hữu tỷ sau dưới dạng số thập phân và cho biết chúng thuộc loại số thập phân nào: $\dfrac{19}{25};$ $-\dfrac{27}{6};$ $\dfrac{8}{-7}.$
2)- Số $-0,1010010001…$ (sau dấu phẩy viết liên tiếp các số $10; 100; 1000; …)$ thuộc loại số thập phân nào? Đó là số hữu tỷ hay số vô tỷ?
Giải:
1)-
+) $\dfrac{19}{25}=0,76.$ Đây là số thập phân hữu hạn.
+) $-\dfrac{27}{6}=-4,5.$ Đây là số thập phân hữu hạn.
+) $\dfrac{8}{-7}=-1,142857142857…=-1,(142857).$ Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn (chu kỳ là $142857).$
2)- Số $-0,1010010001…$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Do đó, nó là một số vô tỷ.