Tương tự như đối với số nguyên, phép cộng và phép nhân số hữu tỷ cũng có tính chất giao hoán và kết hợp; phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép cộng.
Ví dụ 1: Tính một cách hợp lý:
a) $\dfrac{1}{3}+0,7+\dfrac{-4}{3}+(-0,7).$
b) $\dfrac{7}{23}\cdot 2023\cdot \dfrac{23}{7}.$
c) $\dfrac{1}{2}\cdot\left(4+\dfrac{2}{3}\right).$
d) $1,25\cdot\dfrac{202}{203}+\dfrac{202}{203}\cdot(-0,25).$
Giải:
a) $\dfrac{1}{3}+0,7+\dfrac{-4}{3}+(-0,7)$ $=\dfrac{1}{3}+\dfrac{-4}{3}+0,7+(-0,7)$ $=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{-4}{3}\right)+[0,7+(-0,7)]$ $=-1+0=-1.$
b) $\dfrac{7}{23}\cdot 2023\cdot \dfrac{23}{7}$ $=\dfrac{7}{23}\cdot\dfrac{23}{7}\cdot 2023$ $=\left(\dfrac{7}{23}\cdot\dfrac{23}{7}\right)\cdot 2023$ $=1\cdot 2023$ $=2023.$
c) $\dfrac{1}{2}\cdot\left(4+\dfrac{2}{3}\right)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot 4+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}$ $=2+\dfrac{1}{3}$ $=2\dfrac{1}{3}.$
d) $1,25\cdot\dfrac{202}{203}+\dfrac{202}{203}\cdot(-0,25)$ $=\dfrac{202}{203}\cdot\left[1,25+(-0,25)\right]$ $=\dfrac{202}{203}\cdot 1$ $=\dfrac{202}{203}.$
Mẹo:
+) Khi cộng hoặc nhân nhiều số, ta có quyền đổi chỗ và nhóm các số một cách hợp lý để được:
- các nhóm có tổng hoặc tích tròn chục, tròn trăm, …
- các nhóm phân số đơn giản được.
+) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $ab+ac=a(b+c)$ còn được gọi là đặt thừa số chung (với thừa số chung là $a).$
Phép trừ cho một số hữu tỷ có thể chuyển thành phép cộng với số đối của nó: $a-b=a+(-b).$ Mặt khác, trong phép cộng, ta có quyền đổi chỗ tùy ý các số hạng (tính chất giao hoán). Do đó, trong thực hành, với biểu thức chỉ gồm phép cộng và phép trừ, ta có thể đổi chỗ tùy ý các số kèm theo dấu của chúng.
Chẳng hạn: $\dfrac{1}{5}-8,2-\dfrac{1}{10}+9,2$ $=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}+9,2-8,2.$
Ví dụ 2: Tính một cách hợp lý: $\dfrac{5}{23}+\dfrac{7}{17}-0,25-\dfrac{5}{23}+\dfrac{10}{17}.$
Giải:
$\dfrac{5}{23}+\dfrac{7}{17}-0,25-\dfrac{5}{23}+\dfrac{10}{17}$ $=\dfrac{5}{23}-\dfrac{5}{23}+\dfrac{7}{17}+\dfrac{10}{17}-0,25$ $=\left(\dfrac{5}{23}-\dfrac{5}{23}\right)+\left(\dfrac{7}{17}+\dfrac{10}{17}\right)-0,25$ $=0+\dfrac{17}{17}-0,25$ $=1-0,25$ $=0,75.$
Bài tập:
1)- Tính một cách hợp lý:
a) $\dfrac{-4}{27}-\dfrac{7}{12}+\dfrac{-23}{27}+\dfrac{17}{12}.$
b) $\dfrac{-2}{5}\cdot\dfrac{9}{7}+\dfrac{9}{7}\cdot\dfrac{-3}{10}.$
c) $\dfrac{-3}{4}-7-\dfrac{1}{4}.$
2)- Tính một cách hợp lý:
a) $\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{11}{8}-\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{-19}{8}.$
b) $\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{-3}{11}+\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{-8}{11}+2\dfrac{5}{7}.$
c) $\dfrac{-3}{17}\;:\;1,25+\dfrac{-3}{17}\;:\;5.$
Giải:
1)-
a) $\dfrac{-4}{27}-\dfrac{7}{12}+\dfrac{-23}{27}+\dfrac{17}{12}$ $=\dfrac{-4}{27}+\dfrac{-23}{27}+\dfrac{17}{12}-\dfrac{7}{12}$ $=\left(\dfrac{-4}{27}+\dfrac{-23}{27}\right)+\left(\dfrac{17}{12}-\dfrac{7}{12}\right)$ $=\dfrac{-27}{27}+\dfrac{10}{12}$ $=-1+\dfrac{5}{6}$ $=\dfrac{-6}{6}+\dfrac{5}{6}$ $=\dfrac{-1}{6}.$
b) $\dfrac{-2}{5}\cdot\dfrac{9}{7}+\dfrac{9}{7}\cdot\dfrac{-3}{10}$ $=\dfrac{9}{7}\cdot\left(\dfrac{-2}{5}+\dfrac{-3}{10}\right)$ $=\dfrac{9}{7}\cdot\left(\dfrac{-4}{10}+\dfrac{-3}{10}\right)$ $=\dfrac{9}{7}\cdot\dfrac{-7}{10}$ $=\dfrac{-9}{10}.$
c) $\dfrac{-3}{4}-7-\dfrac{1}{4}$ $=\dfrac{-3}{4}-\dfrac{1}{4}-7$ $=\dfrac{-4}{4}-7$ $=-1-7$ $=-8.$
2)-
a) $\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{11}{8}-\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{-19}{8}$ $=\dfrac{5}{9}\cdot\left(\dfrac{11}{8}-\dfrac{-19}{8}\right)$ $=\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{11-(-19)}{8}$ $=\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{30}{8}$ $=\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{15}{4}$ $=\dfrac{5\cdot 5}{3\cdot 4}$ $=\dfrac{25}{12}.$
b) $\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{-3}{11}+\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{-8}{11}+2\dfrac{5}{7}$ $=\dfrac{5}{7}\cdot\left(\dfrac{-3}{11}+\dfrac{-8}{11}\right)+2+\dfrac{5}{7}$ $=\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{-11}{11}+2+\dfrac{5}{7}$ $=\dfrac{5}{7}\cdot(-1)+\dfrac{5}{7}+2$ $=-\dfrac{5}{7}+\dfrac{5}{7}+2$ $=2.$
c) $\dfrac{-3}{17}\;:\;1,25+\dfrac{-3}{17}\;:\;5$ $=\dfrac{-3}{17}\;:\;\dfrac{5}{4}+\dfrac{-3}{17}\;:\;5$ $=\dfrac{-3}{17}\cdot\dfrac{4}{5}+\dfrac{-3}{17}\cdot\dfrac{1}{5}$ $=\dfrac{-3}{17}\cdot\left(\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5}\right)$ $=\dfrac{-3}{17}\cdot\dfrac{5}{5}$ $=\dfrac{-3}{17}.$