$\S\;$ 1.7. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỶ.

Lũy thừa của một số hữu tỷ.

Tương tự như lũy thừa của số tự nhiên, ta định nghĩa lũy thừa của một số hữu tỷ như sau:

Lũy thừa bậc $n$ của một số hữu tỷ $a,$ ký hiệu $a^n,$ là tích của $n$ thừa số $a$ (với $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1:$

• $a^n$ được đọc là “$a$ mũ $n$” hoặc “$a$ lũy thừa $n$” hoặc “lũy thừa bậc $n$ của $a$”.
• $a$ được đọc là “cơ số”; $n$ được gọi là “số mũ”.

Ngoài ra, ta quy ước $a^0=1\;\;(a\neq 0)$ và $a^1=a.$

Chú ý: Khi viết lũy thừa của phân số hoặc số âm, ta phải để cơ số vào bên trong dấu ngoặc, chẳng hạn: $\left(\dfrac{4}{7}\right)^{25};$ $(-3,9)^5;…$

Nhân, chia hai lũy thừa có cùng cơ số.

$\star$ Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: $x^m\cdot x^n=x^{m+n}.$

$\star$ Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số khác $0,$ ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ: $x^m\;:\;x^n=x^{m-n}\;\;(x\neq 0, m\geq n).$

Nhân, chia hai lũy thừa có cùng số mũ.

$\star$ Khi nhân hai lũy thừa có cùng số mũ, ta giữ nguyên số mũ và nhân các cơ số: $a^k\cdot b^k=(a\cdot b)^k.$

$\star$ Khi chia hai lũy thừa có cùng số mũ, ta giữ nguyên số mũ và chia các cơ số: $a^k\;:\;b^k=(a\;:\;b)^k\;\;(b\neq 0).$

Nếu viết ở dạng tỷ số, ta có: $\dfrac{a^k}{b^k}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^k.$

Lũy thừa của một lũy thừa.

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: $\left(x^m\right)^n=x^{m\cdot n}.$

Bài tập:

1)- Tính các lũy thừa sau: $(-0,1)^4;\;$ $\left(\dfrac{2023}{2024}\right)^0;\;$ $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2.$

2)- Viết kết quả mỗi biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỷ:

a) $6^5\cdot\left(\dfrac{1}{6}\right)^5.$

b) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{4}\right)^3.$

c) $\left(-\dfrac{3}{7}\right)^3\cdot\left(-\dfrac{3}{7}\right)^4.$

d) $(-4,3)^9\;:\;(-4,3)^3.$

3)- Viết mỗi số sau đây dưới dạng lũy thừa cơ số $\dfrac{1}{2}:$

a) $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]^3.$

b) $\left[\left(0,5\right)^3\right]^2.$

4)- Cho $A=\dfrac{16^{20}}{8^5}.$

a) Viết tử và mẫu của $A$ dưới dạng lũy thừa cơ số $2.$

b) Viết $A$ dưới dạng một lũy thừa.

Giải:

1)- $(-0,1)^4=(-0,1)\cdot(-0,1)\cdot(-0,1)\cdot(-0,1)=0,0001;\;$ $\left(\dfrac{2023}{2024}\right)^0=1;\;$ $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2=\left(-\dfrac{2}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{9}.$

2)-

a) $6^5\cdot\left(\dfrac{1}{6}\right)^5$ $=\left(6\cdot\dfrac{1}{6}\right)^5$ $=1^5.$

b) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{4}\right)^3$ $=\left(\dfrac{3}{4}\;:\;\dfrac{1}{4}\right)^3$ $=\left(\dfrac{3}{4}\cdot 4\right)^3$ $=3^3.$

c) $\left(-\dfrac{3}{7}\right)^3\cdot\left(-\dfrac{3}{7}\right)^4$ $=\left(-\dfrac{3}{7}\right)^{3+4}$ $=\left(-\dfrac{3}{7}\right)^7.$

d) $(-4,3)^9\;:\;(-4,3)^3$ $=(-4,3)^{9-3}$ $=(-4,3)^6.$

3)-

a) $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]^3=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2\cdot 3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6.$

b) $\left[\left(0,5\right)^3\right]^2$ $=(0,5)^{3\cdot 2}$ $=(0,5)^6$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6.$

4)-

a) $16^{20}=\left(2^4\right)^{20}=2^{4\cdot 20}=2^{80};\;$ $8^5=\left(2^3\right)^5=2^{3\cdot 5}=2^{15}.$

b) $A=\dfrac{16^{20}}{8^5}$ $=\dfrac{2^{80}}{2^{15}}$ $=2^{80-15}$ $=2^{65}.$