Lũy thừa của một số hữu tỷ.
Tương tự như lũy thừa của số tự nhiên, ta định nghĩa lũy thừa của một số hữu tỷ như sau:
Lũy thừa bậc $n$ của một số hữu tỷ $a,$ ký hiệu $a^n,$ là tích của $n$ thừa số $a$ (với $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1:$
- $a^n$ được đọc là “$a$ mũ $n$” hoặc “$a$ lũy thừa $n$” hoặc “lũy thừa bậc $n$ của $a$”.
- $a$ được đọc là “cơ số”; $n$ được gọi là “số mũ”.
Ngoài ra, ta quy ước $a^0=1\;\;(a\neq 0)$ và $a^1=a.$
Ví dụ 1: Tính: $(-2,1)^3;$ $\left(\dfrac{-1}{3}\right)^2.$
Giải:
+) $(-2,1)^3=(-2,1)\cdot(-2,1)\cdot(-2,1)=-9,261.$
+) $\left(\dfrac{-1}{3}\right)^2=\dfrac{-1}{3}\cdot\dfrac{-1}{3}=\dfrac{1}{9}.$
Chú ý: Khi viết lũy thừa của phân số hoặc số âm, ta phải để cơ số vào bên trong dấu ngoặc, chẳng hạn: $\left(\dfrac{4}{7}\right)^{25};$ $(-3,9)^5;…$
Nhân, chia hai lũy thừa có cùng cơ số.
$\star$ Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: $x^m\cdot x^n=x^{m+n}.$
$\star$ Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số khác $0,$ ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ: $x^m\;:\;x^n=x^{m-n}\;\;(x\neq 0, m\geq n).$
Ví dụ 2: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỷ: $\left(\dfrac{4}{7}\right)^2\cdot\left(\dfrac{4}{7}\right)^3;$ $(-1,6)^8\;:\;(-1,6)^5.$
Giải:
+) $\left(\dfrac{4}{7}\right)^2\cdot\left(\dfrac{4}{7}\right)^3$ $=\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2+3}$ $=\left(\dfrac{4}{7}\right)^5.$
+) $(-1,6)^8\;:\;(-1,6)^5$ $=(-1,6)^{8-5}$ $=(-1,6)^3.$
Ví dụ 3: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:
a) $(0,75)^2\cdot\dfrac{3}{4}.$
b) $\dfrac{(2,4)^8}{(2,4)^3}.$
Hướng dẫn:
a) Biến đổi $\dfrac{3}{4}=0,75,$ ta đưa biểu thức cần tính về dạng có cùng cơ số: $(0,75)^2\cdot\dfrac{3}{4}=(0,75)^2\cdot(0,75)^1$ (hoặc $(0,75)^2\cdot\dfrac{3}{4}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^1.$
b) Biểu thức viết ở dạng tỷ số, thực chất là phép chia: $\dfrac{(2,4)^8}{(2,4)^3}=(2,4)^8\;:\;(2,4)^3.$
Giải:
+) $(0,75)^2\cdot\dfrac{3}{4}$ $=(0,75)^2\cdot(0,75)^1$ $=(0,75)^{2+1}$ $=(0,75)^3.$
+) $\dfrac{(2,4)^8}{(2,4)^3}$ $=(2,4)^8\;:\;(2,4)^3$ $=(2,4)^{8-3}$ $=(2,4)^5.$
Nhận xét: $\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n},$ (trong đó, $x\neq 0$ và $m\geq n).$
Nhân, chia hai lũy thừa có cùng số mũ.
$\star$ Khi nhân hai lũy thừa có cùng số mũ, ta giữ nguyên số mũ và nhân các cơ số: $a^k\cdot b^k=(a\cdot b)^k.$
$\star$ Khi chia hai lũy thừa có cùng số mũ, ta giữ nguyên số mũ và chia các cơ số: $a^k\;:\;b^k=(a\;:\;b)^k\;\;(b\neq 0).$
Nếu viết ở dạng tỷ số, ta có: $\dfrac{a^k}{b^k}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^k.$
Ví dụ 4: Tính:
a) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\cdot (-4)^3.$
b) $(-4,8)^2\;:\;4^2.$
c) $\dfrac{18^5}{(-9)^5}.$
Giải:
a) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\cdot (-4)^3$ $=\left[\dfrac{3}{4}\cdot(-4)\right]^3$ $=\left[-3\right]^3$ $=-27.$
b) $(-4,8)^2\;:\;4^2$ $=(-4,8\;:\;4)^2$ $=(-1,2)^2$ $=1,44.$
c) $\dfrac{18^5}{(-9)^5}$ $=\left(\dfrac{18}{-9}\right)^5$ $=(-2)^5$ $=-32.$
Lũy thừa của một lũy thừa.
Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: $\left(x^m\right)^n=x^{m\cdot n}.$
Ví dụ 5: Viết kết quả biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỷ: $\left[\left(0,7\right)^5\right]^2.$
Giải: $\left[\left(0,7\right)^5\right]^2$ $=(0,7)^{5\cdot 2}$ $=(0,7)^{10}.$
Bài tập:
1)- Tính các lũy thừa sau: $(-0,1)^4;\;$ $\left(\dfrac{2023}{2024}\right)^0;\;$ $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2.$
2)- Viết kết quả mỗi biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỷ:
a) $6^5\cdot\left(\dfrac{1}{6}\right)^5.$
b) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{4}\right)^3.$
c) $\left(-\dfrac{3}{7}\right)^3\cdot\left(-\dfrac{3}{7}\right)^4.$
d) $(-4,3)^9\;:\;(-4,3)^3.$
3)- Viết mỗi số sau đây dưới dạng lũy thừa cơ số $\dfrac{1}{2}:$
a) $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]^3.$
b) $\left[\left(0,5\right)^3\right]^2.$
4)- Cho $A=\dfrac{16^{20}}{8^5}.$
a) Viết tử và mẫu của $A$ dưới dạng lũy thừa cơ số $2.$
b) Viết $A$ dưới dạng một lũy thừa.
Giải:
1)- $(-0,1)^4=(-0,1)\cdot(-0,1)\cdot(-0,1)\cdot(-0,1)=0,0001;\;$ $\left(\dfrac{2023}{2024}\right)^0=1;\;$ $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2=\left(-\dfrac{2}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{9}.$
2)-
a) $6^5\cdot\left(\dfrac{1}{6}\right)^5$ $=\left(6\cdot\dfrac{1}{6}\right)^5$ $=1^5.$
b) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\;:\;\left(\dfrac{1}{4}\right)^3$ $=\left(\dfrac{3}{4}\;:\;\dfrac{1}{4}\right)^3$ $=\left(\dfrac{3}{4}\cdot 4\right)^3$ $=3^3.$
c) $\left(-\dfrac{3}{7}\right)^3\cdot\left(-\dfrac{3}{7}\right)^4$ $=\left(-\dfrac{3}{7}\right)^{3+4}$ $=\left(-\dfrac{3}{7}\right)^7.$
d) $(-4,3)^9\;:\;(-4,3)^3$ $=(-4,3)^{9-3}$ $=(-4,3)^6.$
3)-
a) $\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]^3=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2\cdot 3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6.$
b) $\left[\left(0,5\right)^3\right]^2$ $=(0,5)^{3\cdot 2}$ $=(0,5)^6$ $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6.$
4)-
a) $16^{20}=\left(2^4\right)^{20}=2^{4\cdot 20}=2^{80};\;$ $8^5=\left(2^3\right)^5=2^{3\cdot 5}=2^{15}.$
b) $A=\dfrac{16^{20}}{8^5}$ $=\dfrac{2^{80}}{2^{15}}$ $=2^{80-15}$ $=2^{65}.$