Khái niệm chia hết và chia có dư.
Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ (với $b\neq 0).$
+) Nếu $a$ chia $b$ có số dư bằng $0$ thì $a$ chia hết cho $b,$ ký hiệu $a\;\vdots\;b.$
+) Nếu $a$ chia $b$ có số dư khác $0$ thì $a$ không chia hết cho $b,$ ký hiệu $a\;\not{\vdots}\;b.$
Chú ý: Gọi $r$ là số dư thì $0\leq r<b$ (tức SỐ DƯ phải nhỏ hơn SỐ CHIA).
Chẳng hạn:
- Vì $35$ chia $5$ được thương là $7$ và dư $0$ nên $35$ chia hết cho $5,$ ký hiệu là $35\;\vdots\;5.$
- Vì $47$ chia $5$ được thương là $9$ và dư $2$ (khác $0)$ nên $47$ không chia hết cho $5,$ ký hiệu là $47\;\not{\vdots}\;5.$
Ví dụ 1:
a) Có thể chia đều $72$ chiếc bánh cho $8$ bạn được không? Khi đó, mỗi bạn được bao nhiêu chiếc bánh?
b) May mỗi bộ màn cần dùng $3$ mét vải (khổ $0,9$ m). Nếu có $53$ mét vải thì may được nhiều nhất là bao nhiêu bộ màn?
Giải:
a) Thực hiện phép chia, ta có:
$72\;:\;8=9$ (dư $0).$
Vậy $72$ chia hết cho $8.$ Do đó, có thể chia đều $72$ chiếc bánh cho $8$ bạn được. Khi đó, mỗi bạn được $9$ chiếc bánh.
b) Thực hiện phép chia, ta có:
$53\;:\;3=17$ (dư $2).$
Vậy nếu có $53$ mét vải thì may được nhiều nhất là $17$ bộ màn (và còn thừa $2$ mét vải không đủ để may một bộ màn).
Dạng tổng quát của phép chia các số tự nhiên.
Trong phép chia số tự nhiên, ta luôn có:
SỐ BỊ CHIA = SỐ CHIA $\times$ THƯƠNG $+$ SỐ DƯ.
Nếu $a$ chia $b$ được thương là $q$ và số dư là $r,$ ta viết:
$a\;:\;b=q$ (dư $r).$
Khi đó, $a=b\cdot q+r$ $(0\leq r < b).$
Chẳng hạn, ta có $47\;:\;5=9$ (dư $2)$ nên $47=5\cdot 9+2.$
Ví dụ 2: Một cửa hàng có $465$ kg gạo cần đóng vào các bao nhỏ, mỗi bao có thể chứa được nhiều nhất là $8$ kg. Cần ít nhất bao nhiêu cái bao để chứa hết số gạo đó?
Giải:
Ta có: $465\;:\;8=58$ (dư $1).$
Vậy $465=58\cdot 8+1.$
Do đó, ta dùng $58$ cái bao để đựng $58\cdot 8$ kg $(=464$ kg) gạo, còn dư $1$ kg gạo, ta dùng thêm $1$ cái bao nữa để đựng.
Tóm lại, cần dùng ít nhất là $59$ cái bao để chứa hết số gạo đó.
Bài tập:
1)- Trong các phép chia sau, đâu là phép chia hết, đâu là phép chia có dư? Xác định số dư trong mỗi trường hợp.
a) $25\;:\;5.$
b) $112\;:\;11.$
2)- Một số tự nhiên không chia hết cho $2$ thì số dư là bao nhiêu khi thực hiện phép chia?
3)- Cho tập hợp $A=\{11; 14; 35; 26; 36; 20; 2\;022\}.$ Viết tập hợp $M$ các số $x$ thuộc $A$ và chia hết cho $2.$
4)- Một đoàn khách gồm $55$ người muốn qua sông, nhưng mỗi thuyền chỉ chở được $5$ người kể cả người lái thuyền. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu thuyền để chở hết số khách đó?
Lưu ý: “mỗi thuyền chỉ chở được $5$ người kể cả người lái thuyền” tức là mỗi thuyền chỉ chở được $4$ khách.
Giải:
1)-
a) $25\;:\;5$ là phép chia hết (số dư bằng $0).$
b) $112\;:\;11$ là phép chia có dư (số dư bằng $2).$
2)- Một số tự nhiên không chia hết cho $2$ thì số dư là $1$ vì số dư phải nhỏ hơn số chia (tức là nhỏ hơn $2).$
3)- $M=\{14; 26; 36; 20; 2\;022\}.$
4)- Mỗi thuyền chở được nhiều nhất là $4$ khách.
Ta có: $55\;:\;4=13$ (dư $3).$
Vậy ta dùng $13$ thuyền để chở $13\cdot 4=52$ khách, còn lại $3$ khách thì dùng thêm $1$ thuyền nữa để chở. Tóm lại, cần dùng ít nhất $13+1=14$ thuyền để chở hết số khách đó.