Mệnh đề. Một câu khẳng định đúng hoặc sai được gọi là một mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề). Những câu mà ta không xác định được tính đúng – sai của nó thì không phải là mệnh đề. Chẳng hạn: +) Câu “Số 15 là một số tự nhiên lẻ” là một […]
Trong toán học, dùng các từ “với mọi” (ký hiệu là $\forall)$ hay “tồn tại” (ký hiệu là $\exists),$ ta có thể tạo ra các mệnh đề. Chẳng hạn: +) Câu “Mọi số tự nhiên đều chia hết cho $3$” có thể hiểu là “Với mọi số tự nhiên $x,$ $x$ chia hết cho $3$”. […]
Mệnh đề phủ định. Cho trước một mệnh đề $P,$ luôn có một mệnh đề $\overline{P}$ có tính đúng – sai trái ngược với $P$ (nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai; nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng). Mệnh đề $\overline{P}$ như vậy được gọi là mệnh đề phủ định của $P$ (gọi tắt là phủ […]
Mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q.$ Với $P,Q$ là hai mệnh đề cho trước thì phát biểu “Nếu $P$ thì $Q$” cũng là một mệnh đề, được gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu là $P\Rightarrow Q.$ Chẳng hạn, với hai mệnh đề: $P:$ “Gió mùa đông bắc về” và $Q:$ “Trời trở lạnh”, […]
Mệnh đề đảo. Cho trước mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q.$ Mệnh đề đảo của nó là mệnh đề $Q\Rightarrow P.$ Chẳng hạn, mệnh đề “Vì $12$ chia hết cho $6$ nên $12$ chia hết cho $2$” có mệnh đề đảo là “Vì $12$ chia hết cho $2$ nên $12$ chia hết cho $6$”. Lưu […]
Khái niệm tập hợp. Tập hợp (gọi tắt là tập) là một nhóm các đối tượng; mỗi đối tượng này được gọi là một phần tử của tập hợp. Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa $A,B,C,…$ và ký hiệu phần tử bằng các chữ cái thường $a,b,c,…$ Nếu […]
Tập hợp con. Nếu mọi phần tử của tập hợp $A$ đều thuộc tập hợp $B$ thì ta nói $A$ là tập hợp con (hay tập con) của $B,$ ký hiệu là $A\subset B$ (đọc là “$A$ chứa trong $B$”). Quy ước: Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Ví dụ 1: Xét […]
Các tập con thường dùng của tập hợp số thực $\mathbb{R}:$ Trong bảng trên: Để ý rằng khi dùng dấu ngoặc vuông thì tại đó xảy ra dấu bằng “=”, khi dùng dấu ngoặc tròn thì tại đó không xảy ra dấu bằng “=”. Chẳng hạn, $(3;7]$ là tập hợp các số thực $x$ mà […]
Hợp, giao của hai tập hợp. Cho trước hai tập hợp $A$ và $B.$ Giao của hai tập hợp: Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp $A$ và $B$ được gọi là giao của hai tập hợp $A$ và $B,$ ký hiệu là $A\cap B.$ $A\cap B=\{x\;|\;x\in A \;và\;x\in B\}.$ Hợp […]
Hiệu của hai tập hợp. Cho trước hai tập hợp $A$ và $B.$ Tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ được gọi là hiệu của hai tập hợp $A$ và $B,$ ký hiệu là $A\setminus B.$ $A\setminus B=\{x\;|\;x\in A \;và\;x\notin B\}.$ Chẳng hạn, với hai tập hợp $A=\{1;2;3;4\}$ và $B=\{3;4;5\}$ […]
Là một tập hợp thì có thể có một phần tử, nhiều phần tử, vô số phần tử, và cũng có thể không có phần tử nào. Nếu có thể đếm được hết số phần tử của một tập hợp thì ta nói tập hợp đó là tập hợp hữu hạn. Nếu $E$ là tập […]