Là một tập hợp thì có thể có một phần tử, nhiều phần tử, vô số phần tử, và cũng có thể không có phần tử nào.
Nếu có thể đếm được hết số phần tử của một tập hợp thì ta nói tập hợp đó là tập hợp hữu hạn. Nếu $E$ là tập hợp hữu hạn, ta dùng ký hiệu $n(E)$ để chỉ số phần tử của tập hợp $E.$ Đặc biệt, ta quy ước $n(\varnothing)=0.$
Chẳng hạn:
+) Tập hợp $A=\{7;13;a\}$ có $3$ phần tử nên $n(A)=3.$
+) Tập hợp $B=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x^2=-3\}$ là tập rỗng nên $n(A)=0.$
+) Các tập hợp $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ đều có vô số phần tử.
+) Tập hợp các bội của $4$ có vô số phần tử.
Ví dụ 1: Nêu số phần tử của mỗi tập hợp sau: $A=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x^2<0\},$ $B=\{0\},$ $C=\{98;99\},$ $D=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x>0\}.$
Giải:
+) Vì $x^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên $A=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x^2<0=\varnothing\}.$ Do đó, $n(A)=n(\varnothing)=0.$
+) $B$ chỉ có một phần tử (là $0)$ nên $n(B)=1.$
+) $C$ có hai phần tử nên $n(C)=2.$
+) Tập hợp $D$ có vô số phần tử.
Ví dụ 2: Cho hai tập hợp $A=\{a;b;c;d\}$ và $B=\{c;d;e\}.$
a) Xác định các tập hợp $A\cup B$ và $A\cap B.$
b) So sánh $n(A\cup B)$ với $n(A)+n(B)-n(A\cap B).$
Giải:
a) $A\cup B=\{a;b;c;d;e\}$ và $A\cap B=\{c;d\}.$
b) Ta thấy: $n(A\cup B)=5$ và $n(A)+n(B)-n(A\cap B)=4+3-2=5.$
Vậy $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B).$
Khi $A,B$ là các tập hợp hữu hạn, ta có nhận xét: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B).$
Ví dụ 3: Một trường học có $25$ bạn thi học sinh giỏi hai môn văn và toán, trong đó có $14$ bạn thi toán và có $16$ bạn thi văn (giả sử hai môn thi không cùng một ngày). Gọi $A$ là tập hợp các bạn thi toán, $B$ là tập hợp các bạn thi văn.
a) Mô tả các tập hợp $A\cup B$ và $A\cap B.$
b) Tìm $n(A),$ $n(B),$ $n(A\cup B).$
c) Có bao nhiêu bạn (trong $25$ bạn đã nêu ở đề bài) thi cả hai môn văn và toán?
Giải:
a) $A\cup B$ là tập hợp các bạn thi văn hay toán (tức là thi ít nhất một trong hai môn văn, toán).
$A\cap B$ là tập hợp các bạn thi cả hai môn văn và toán.
b) $n(A)=14,$ $n(B)=16,$ $n(A\cup B)=25.$
c) Ta cần tìm $n(A\cap B).$
Ta có: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B).$
Suy ra: $n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)$ $=14+16-25=5.$
Vậy có $5$ bạn thi cả hai môn văn và toán.
Bài tập:
1)- Cho tập hợp $M=\{x\in\mathbb{R}\;|\;2x-9\leq 0\}.$
a) Hãy viết tập hợp $\mathbb{N}\cap M$ bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
b) Tập hợp $\mathbb{N}\cap M$ có bao nhiêu phần tử?
2)- Lớp 10A có $15$ bạn thích môn văn và $20$ bạn thích môn toán. Biết rằng có $8$ bạn thích cả hai môn học trên.
a) Có bao nhiêu học sinh lớp 10A thích môn văn mà không thích môn toán?
b) Biết rằng trong lớp 10A vẫn còn $10$ bạn không thích môn nào trong hai môn văn và toán. Tìm số học sinh của lớp 10A.
3)- Mỗi học sinh của lớp 10E đều chơi bóng đá hay bóng chuyền. Biết rằng có $25$ bạn chơi bóng đá, $20$ bạn chơi bóng chuyền, $10$ bạn chơi cả hai môn thể thao trên. Hỏi lớp 10E có bao nhiêu học sinh?
Giải:
1)-
a) Ta có: $2x-9\leq 0\Leftrightarrow x\leq\dfrac{9}{2}=4,5$ nên $\mathbb{N}\cap M=\{0;1;2;3;4\}.$
b) Tập hợp $\mathbb{N}\cap M$ có $5$ phần tử.
2)-
a) Số học sinh lớp 10A thích môn văn mà không thích môn toán là: $15-8=7$ (bạn).
b) Số bạn chỉ thích môn văn là: $7$ bạn (câu a).
Số bạn chỉ thích môn toán là: $20-8=12$ (bạn).
Số bạn thích cả hai môn văn và toán là: $8$ bạn (theo đề).
Vậy số bạn thích văn hay toán là: $7+12+8=27$ (bạn)
Suy ra số học sinh của lớp 10A là: $27+10=37$ (bạn).
3)- Gọi $A,B$ là tập hợp các học sinh chơi bóng đá và tập hợp các học sinh chơi bóng chuyền (của lớp 10E). Ta có: $n(A)=25,$ $n(B)=20,$ $n(A\cap B)=10.$
Suy ra: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ $=25+20-10=35.$
Vậy số học sinh lớp 10E chơi bóng đá hay bóng chuyền là $35$ học sinh.
Vì mỗi học sinh lớp 10E đều chơi bóng đá hay bóng chuyền nên số học sinh của lớp 10E là $35$ học sinh.