Khái niệm tập hợp.
Tập hợp (gọi tắt là tập) là một nhóm các đối tượng; mỗi đối tượng này được gọi là một phần tử của tập hợp.
Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa $A,B,C,…$ và ký hiệu phần tử bằng các chữ cái thường $a,b,c,…$
Nếu $a$ là một phần tử của tập hợp $M,$ ta viết $a\in M.$ Nếu $b$ không là phần tử của tập $M,$ ta viết $b\notin M.$
Ví dụ 1: Cho $A$ là tập hợp các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn $10.$ Trong các số $1;2;3;4;12,$ số nào thuộc, số nào không thuộc tập $A?$ (Dùng ký hiệu $\in, \notin)$ để trả lời.)
Giải: $1\notin A;$ $2\in A;$ $3\notin A;$ $4\in A;$ $12\notin A.$
Người ta cũng xét cả những tập hợp không chứa phần tử nào. Tập hợp như vậy được gọi là tập rỗng và được ký hiệu là $\varnothing.$
Chẳng hạn, tập hợp gồm những tháng dương lịch có $32$ ngày là tập rỗng (vì không có tháng nào có $32$ ngày cả, một tháng chỉ có tối đa là $31$ ngày). Tập hợp các nghiệm của phương trình $x^2+5=0$ là tập rỗng (vì phương trình $x^2+5=0$ vô nghiệm).
Người ta thường ký hiệu các tập hợp số như sau: $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên, $\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên, $\mathbb{Q}$ là tập hợp các số hữu tỷ, $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực.
Ví dụ 2: Dùng ký hiệu $\in, \notin$ để viết các mệnh đề sau:
a) $-3$ là một số nguyên.
b) $\sqrt{3}$ không phải là một số hữu tỷ.
Giải:
a) $-3\in\mathbb{Z}.$
b) $\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}.$
Cách mô tả một tập hợp.
Ta có thể viết (mô tả) một tập hợp bằng một trong hai cách sau:
- Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp.
- Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Chú ý rằng khi “liệt kê các phần tử”, mỗi phần tử chỉ được viết một lần với thứ tự tùy ý.
Chẳng hạn, tập hợp $M$ gồm các nghiệm của phương trình $x^2=6$ có thể được viết bằng hai cách:
+) Cách 1: $M=\{\sqrt{6};-\sqrt{6}\}.$
+) Cách 2: $M=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x^2=6\}.$
Ví dụ 3: Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn $5.$ Viết tập hợp $A$ bằng hai cách.
Giải:
+) Cách 1: $A=\{0;1;2;3;4\}.$
+) Cách 2: $A=\{x\in\mathbb{N}\;|\;x<5\}.$
Người ta thường minh họa tập hợp bằng một vòng kín, mỗi phần tử thuộc tập hợp được biểu diễn bởi một chấm nhỏ bên trong vòng kín, còn mỗi phần tử không thuộc tập hợp được biểu diễn bởi một chấm nhỏ bên ngoài vòng kín. Cách minh họa tập hợp như vậy được gọi là biểu đồ Ven.
Chẳng hạn, trong hình sau đây, $a,b,c$ thuộc $A$ và $d$ không thuộc $A.$
Bài tập:
1)- Gọi $X$ là tập nghiệm của phương trình $x^3-1=0.$ Trong các số $2;1;0;-1,$ số nào thuộc hoặc không thuộc tập $X?$ (dùng ký hiệu $\in, \notin$ để trả lời.)
2)- Viết lại mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:
a) $A=\{x\in\mathbb{N}\;|\;x\leq 6\}.$
b) $B=\{x\in\mathbb{Z}\;|\;-5\leq x < 3\}.$
c) $C=\{x\in\mathbb{R}\;|\;x^2-7=0\}.$
3)- Viết tập hợp $B$ gồm các nghiệm của bất phương trình $2x-3<7.$
Giải:
1)- Phương trình $x^3-1=0$ có một nghiệm duy nhất là $x=1.$ Do đó, $X=\{1\}.$
Vậy $2\notin X,$ $1\in X,$ $0\notin X,$ $-1\notin X.$
2)-
a) $A=\{0;1;2;3;4;5;6\}.$
b) $B=\{-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2\}.$
c) $C=\{\sqrt{7};-\sqrt{7}\}.$
3)- $B=\{x\in\mathbb{R}\;|\;2x-3<7\}.$